数值分析实验报告之数值积分

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1、数学与计算科学学院实 验 报 告实验项目名称 数值积分 所属课程名称 数值方法B 实 验 类 型 验证 实 验 日 期 2013.10.21 班 级 学 号 姓 名 成 绩 一、实验概述：【实验目的】1熟悉C语言与MATLAB的编程；2学会使用梯形公式、辛普森公式、复化梯形公式、复化辛普森公式求积分的方法；3比较各方法的精度；4用编程软件写出上述四个公式，并实例化。5此外，本实验还附加了cotes公式以及复化cotes公式的C语言源程序。【实验原理】1梯形公式：2辛普森公式：3复化梯形公式：4复化辛普森公式：其中。【实验环境】1.硬件环境：HPMicrosoft76481-640-883400

2、5-23929HP CorporationIntel(R) Core(TM)I5-2400 CPU 3.10GHz3.09GHz,3.16GB的内存2.软件环境：Microsoft Windows XPProfessional版本 2002Service Pack 3二、实验内容：【实验方案】1用复合求积公式计算、，并比较各方法的精度；2.分别讨论当区间n等分，当n=8，10, 100, 1000, 10000时比较n取值不同时对数值精度的影响的结果【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1.用MATLAB中的int求积函数(源程序详见附录1)得到该积分的准确值为x*=0.111571776

3、 梯形公式：0.1000000000 精度：一位有效数字 辛普森公式：0.1117647059 精度：三位有效数字该问C语言编程详见附录1-4/1-5（1）当n=8时，结果为： Tn=0.1114023545 Sn=0.1115718133（2）当n=10时，结果为： Tn=0.1114633808 Sn=0.1115717910（3）当n=100时，结果为： Tn=0.1115706923 Sn=0.1115717757表1 各积分方法的比较等分段数n值备注复化梯形公式复合辛普生公式n=8积分值0.11140235450.1115718133精度三位有效数字七位有效数字n=10积分值0.11

4、146338080.1115717910精度三位有效数字七位有效数字n=100积分值0.11157069230.1115717757精度五位有效数字八位有效数字n=1000积分值0.11157176480.1115717757精度七位有效数字八位有效数字n=10000积分值0.11157177550.1115717757精度八位有效数字八位有效数字2.用MATLAB中的int求积函数得到该积分的准确值为x*=1.852112521 梯形公式：0.897530048810325 精度：一位有效数字 辛普森公式：1.135538476301203 精度：一位有效数字该问MATLAB编程详见附录1-

5、6/1-7（1）当n=8时，结果为： Tn=1.337355373803341 Sn=1.537749799432108（2）当n=10时，结果为： Tn=1.391477663937609 Sn=1.570881071946639（3）当n=100时，结果为： Tn=1.706124330945894 Sn=1.763114638290155表2 各积分方法的比较等分段数n值备注复化梯形公式复合辛普生公式n=8积分值1.3373553738033411.537749799432108精度一位有效数字二位有效数字n=10积分值1.3914776639376091.570881071946639

6、精度一位有效数字二位有效数字n=100积分值1.7061243309458941.763114638290155精度二位有效数字三位有效数字n=1000积分值1.8059336531563621.823966876760183精度三位有效数字三位有效数字n=10000积分值1.8375090274939211.843212022270629精度三位有效数字四位有效数字3.用MATLAB中的int求积函数得到该积分的准确值为x*=17.33333333 梯形公式：16.0000000000 精度：一位有效数字 辛普森公式：17.2590292133 精度：二位有效数字该问C语言编程详见附录1-8

7、/1-9（1）当n=8时，结果为： Tn=17.2277401923 Sn=17.3320873040（2）当n=10时，结果为： Tn=17.3157464834 Sn=17.3332868525（3）当n=100时，结果为： Tn=17.3331555768 Sn=17.3333333280表3 各积分方法的比较等分段数n值备注复化梯形公式复合辛普生公式n=8积分值17.227740192317.3320873040精度二位有效数字四位有效数字n=10积分值17.315746483417.3332868525精度二位有效数字五位有效数字n=100积分值17.333155576817.333

8、3333280精度五位有效数字九位有效数字n=1000积分值17.333331555617.3333333333精度七位有效数字九位有效数字n=10000积分值17.333333315617.3333333333精度九位有效数字九位有效数字【实验结论】（结果）1.当n逐渐增大（n=8n=10000）时，复化梯形的结果也逐渐接近复化辛普森的结果，其精度越来越高，越趋于理想值。2.当n达到一定值时，由于小数位数的限制，结果会出现不变的情况。3.当n很小（n=0，1,2,）时，其利用复化梯形公式得到的近似值与准确值误差较大，而复化辛普森公式则更精确一些。4.梯形公式的精度较辛普森公式所得结果的精度低

9、，四种方式中，复化辛普森的精度最高，复化梯形次之。【实验小结】（收获体会）通过本次试验，让我巩固了C语言以及MATLAB的编程知识，也让我认识到各算法的优越之处，并且通过此次试验很好的回归课本，得出了各算法精度的差异之处，如何抉择和取舍要用的算法。三、指导教师评语及成绩：评 语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）4实验结论正确. 成 绩： 指导教师签名： 批阅日期：附录1：源 程 序1.准确值x*的计算程序：clearclcsyms x yy=(sqrt(1-exp(-x)/

10、x;f=vpa(int(y,0,1),10)2.梯形公式：#include#includedouble fun(double x)double t;t=sqrt(x);return (t);main()double a,b;double T,fa=1.0;printf(请输入积分上下限a,b（数字间以空格键隔开）:);scanf(%lf %lf,&a,&b);T=(b-a)*(fa+fun(b)/2;printf(T=%.10lfn,T);3.辛普森公式：#include#includedouble fun(double x)double t;t=x/(4+x*x);return (t);ma

11、in()double a,b;double S,fa=1.0;printf(请输入积分上下限a,b（数字间以空格键隔开）:);scanf(%lf %lf,&a,&b);S=(b-a)*(fun(a)+4*fun(a+b)/2)+fun(b)/6;printf(S=%.10lfn,S);4.复化梯形公式#include#includedouble fun(double x)double t;t=x/(4+x*x);return (t);main()double a,b,j,k;int n;double Tn,h,s1=0.0;printf(请输入积分上下限a,b以及等分段数n（数字间以空格键隔开

12、）:);scanf(%lf %lf %d,&a,&b,&n);h=(b-a)/n;for(k=1;k=n-1;k+)fun(a+k*h);s1=s1+2*fun(a+k*h);Tn=h*(fun(a)+s1+fun(b)/2;printf(Tn=%.10lfn,Tn);5.复化辛普森公式#include#includedouble fun(double x)double t;t=x/(4+x*x);return (t);main()double a,b,j,k,p; int n;double Sn,h,s1=0.0,s2=0.0; printf(请输入积分上下限a,b以及等分段数n（数字间以空

13、格键隔开）:);scanf(%lf %lf %d,&a,&b,&n); h=(b-a)/n;for(k=0;k=n-1;k+)fun(a+(k+0.5)*h);s1+=fun(a+(k+1.0/2.0)*h);for(k=1;k=n-1;k+)fun(a+k*h);s2+=fun(a+k*h);Sn=h*(fun(a)+4*s1+2*s2+fun(b)/6;printf(Sn=%.10lfn,Sn);6.复化梯形公式%函数文件function y=f(x)y=(1-exp(-x)(1/2)/x;%调用函数clearclcformat longn=input(请输入等分段数:);x=0:1/n:

14、1;y=;N=length(x);for i=2:N y(i)=f(x(i);endT=0;for j=1:N-1 b=(1/2).*(x(j+1)-x(j).*(y(j+1)+y(j); T=T+b;enddisp(复化梯形积分值);disp(T)7.复化辛普森公式%函数文件function y=f(x)y=(sqrt(1-exp(-x)/x;%调用函数clearclcformat longn=input(请输入等分段数:);x=0:1/n:1;y=;N=length(x);for i=2:N y(i)=f(x(i);ends=0;H=(1-0)./n;for j=1:N-1 m=(x(j)

15、+x(j+1)./2; b=(1/6).*H.*(y(j)+4*f(m)+y(j+1); s=s+b;enddisp(复化的simpson公式);disp(s)8.复化梯形公式#include#include#define e 2.7double fun(double x)double t;t=sqrt(x);return (t);main()double a,b,j,k;int n;double Tn,h,s1=0.0,fa=1.0;printf(请输入积分上下限a,b以及等分段数n（数字间以空格键隔开）:);scanf(%lf %lf %d,&a,&b,&n);h=(b-a)/n;for(

16、k=1;k=n-1;k+)fun(a+k*h);s1=s1+2*fun(a+k*h);Tn=h*(fa+s1+fun(b)/2;printf(Tn=%lfn,Tn);9.复化辛普森公式#include#includedouble fun(double x)double t;t=sqrt(x);return (t);main()double a,b,j,k,p;int n;double Sn,h,s1=0.0,s2=0.0;printf(请输入积分上下限a,b以及等分段数n（数字间以空格键隔开）:);scanf(%lf %lf %d,&a,&b,&n);h=(b-a)/n;for(k=0;k=n

17、-1;k+)fun(a+(k+0.5)*h);s1+=fun(a+(k+1.0/2.0)*h);for(k=1;k=n-1;k+)fun(a+k*h);s2+=fun(a+k*h);Sn=h*(fun(a)+4*s1+2*s2+fun(b)/6;printf(Sn=%.10lfn,Sn);10.附加程序（以为例）：Cotes公式：#include#includedouble fun(double x)double t;t=sin(x)/x;return (t);double p(double y)double a,k,b;double m,h;h=(b-a)/4;m=a+k*h;return

18、(m);main()double a,b,k;double C,fa=1;printf(请输入两个数a,b（ab）:);scanf(%lf,%lf,&a,&b);for(k=0;k=4;k+)fun(p(k);C=(b-a)*(7*fa+32*fun(p(1)+12*fun(p(2)+32*fun(p(3)+7*fun(p(4)/90;printf(C=%.10lfn,C);11.复化Cotes公式：#include#includedouble fun(double x)double t;t=sin(x)/x;return (t);double p(int y)double a,k,b;int

19、 n=8;double m,h;m=a+k*h;return (m);main()double a,b,j,k;int n=8;double Cn,h,fa=1.0,c1=0.0,c2=0.0,c3=0.0,c4=0.0;printf(请输入两个数a,b（aa)&(jb)for(k=0;k=n-1;k+)p(k+1/4);fun(p(k+1/4);c2+=fun(p(k+1/4);for(k=0;k=n-1;k+)p(k+1/2);fun(p(k+1/2);c3+=fun(p(k+1/2);for(k=0;k=n-1;k+)p(k+3/4);fun(p(k+3/4);c4+=fun(p(k+3

20、/4);for(k=1;k=n-1;k+)p(k);fun(p(k);c1+=fun(p(k);Cn=h*(7*fa+32*c4+12*c3+32*c2+14*c1+7*fun(b)/90;printf(Cn=%.10lfn,Cn);附录2：实验报告填写说明 1实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。2实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。3实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。4实验环境：实验用的软、硬件环境。5实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。6实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。7实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。8实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。9指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。