平稳时间序列分析ppt课件

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1、9.2 9.2 随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型一、时间序列模型的根本概念及其适用性一、时间序列模型的根本概念及其适用性二、随机时间序列模型的平稳性条件二、随机时间序列模型的平稳性条件三、随机时间序列模型的识别三、随机时间序列模型的识别四、随机时间序列模型的估计四、随机时间序列模型的估计五、随机时间序列模型的检验五、随机时间序列模型的检验 经典计量经济学模型与时间序列模型经典计量经济学模型与时间序列模型 确定性时间序列模型与随机性时间序列确定性时间序列模型与随机性时间序列模型模型一、时间序列模型的根本概念及其适用性一、时间序列模型的根本概念及其适用性1 1、时间序列模型的根本概念、时间

2、序列模型的根本概念 随机时间序列模型随机时间序列模型time series modeling是指仅是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其普通方式为普通方式为 Xt=F(Xt-1,Xt-2,t)建立详细的时间序列模型，需处理如下三个问题：建立详细的时间序列模型，需处理如下三个问题：(1)模型的详细方式模型的详细方式 (2)时序变量的滞后期时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的构造随机扰动项的构造 例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项项 t=t，模型将是一个，模型将是一个1阶自回归过程阶自回

3、归过程AR(1)：Xt=Xt-1+t这里，这里，t特指一白噪声。特指一白噪声。普通的p阶自回归过程AR(p)是 Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (*)(1)假设随机扰动项是一个白噪声(t=t)，那么称(*)式为一纯AR(p)过程pure AR(p)process，记为 Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (2)假设t不是一个白噪声，通常以为它是一个q阶的挪动平均moving average过程MA(q)：t=t-1t-1-2t-2-qt-q 该式给出了一个纯MA(q)过程pure MA(p)process。将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个普通的自回归挪动平均a

4、utoregressive moving average过程ARMAp,q：Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t-1t-1-2t-2-qt-q 该式阐明：1一个随机时间序列可以经过一个自回归挪动平均过程生成，即该序列可以由其本身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。2假设该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以经过该序列过去的行为来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。经典回归模型的问题：经典回归模型的问题：迄今为止，对一个时间序列迄今为止，对一个时间序列Xt的变动进展解释或预测，的变动进展解释或预测，是经过某个一方程回归模型或联立方程回归模型进展

5、的，是经过某个一方程回归模型或联立方程回归模型进展的，由于它们以因果关系为根底，且具有一定的模型构造，因由于它们以因果关系为根底，且具有一定的模型构造，因此也常称为构造式模型此也常称为构造式模型structural model。然而，假设然而，假设Xt动摇的主要缘由能够是我们无法解释的动摇的主要缘由能够是我们无法解释的要素，如气候、消费者偏好的变化等，那么利用构造式模要素，如气候、消费者偏好的变化等，那么利用构造式模型来解释型来解释Xt的变动就比较困难或不能够，由于要获得相应的变动就比较困难或不能够，由于要获得相应的量化数据，并建立令人称心的回归模型是很困难的。的量化数据，并建立令人称心的回归

6、模型是很困难的。有时，即使能估计出一个较为称心的因果关系回归方有时，即使能估计出一个较为称心的因果关系回归方程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系的甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系的回归模型及其预测技术就不适用了。回归模型及其预测技术就不适用了。2 2、时间序列分析模型的适用性、时间序列分析模型的适用性 例如，时间序列过去能否有明显的增长趋势，假设增长趋势在过去的行为中占主导位置，能否以为它也会在未来的行为里占主导位置呢？或者时间序列显示出循环周期性行为，我们能否利

7、用过去的这种行为来外推它的未来走向？随机时间序列分析模型，就是要经过序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势。运用时间序列分析模型的另一个缘由在于：假设经济实际正确地阐释了现实经济构造，那 么 这 一 构 造 可 以 写 成 类 似 于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的方式。在这些情况下，我们采用另一条预测途径：经过时间在这些情况下，我们采用另一条预测途径：经过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进展推断。对时间序列未来行为进展推断。例如，对于如下最简单的宏观经济模型：例如，对于如下最简单的宏观经济模型：

8、这里，Ct、It、Yt分别表示消费、投资与国民收入。Ct与Yt作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的投资It的运动及随机扰动项t的变化决议的。tttCYC12110tttICY上述模型可作变形如下：两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It的行为。假设It是一个白噪声，那么消费序列Ct就成为一个1阶自回归过程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶的自回归挪动平均过程ARMA(1,1)。ttttICC1111011211111tttttIIYY11121101121111111二、随机时间序列模型的平稳性条件二、随机时间序列模型的平稳

9、性条件 自回归挪动平均模型ARMA是随机时间序列分析模型的普遍方式，自回归模型AR和挪动平均模型MA是它的特殊情况。关于这几类模型的研讨，是时间序列分析的重点内容：主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。1、AR(p)模型的平稳性条件模型的平稳性条件 随机时间序列模型的平稳性，可经过它所生成的随机时间随机时间序列模型的平稳性，可经过它所生成的随机时间序列的平稳性来判别。序列的平稳性来判别。假设一个假设一个p阶自回归模型阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，生成的时间序列是平稳的，就说该就说该AR(p)模型是平稳的，模型是平稳的，否那么，就说该否那么，就说该AR(p)模型是非平

10、稳的。模型是非平稳的。思索p阶自回归模型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (*)引入滞后算子lag operator L：LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,LpXt=Xt-p(*)式变换为 (1-1L-2L2-pLp)Xt=t 记(L)=(1-1L-2L2-pLp),那么称多项式方程 (z)=(1-1z-2z2-pzp)=0为AR(p)的特征方程(characteristic equation)。可以证明，假设该特征方程的一切根在单位圆外根的模大于1，那么AR(p)模型是平稳的。例9.2.1 AR(1)模型的平稳性条件。对1阶自回归模型AR(1)tttXX1方程两边平

11、方再求数学期望，得到Xt的方差)(2)()()(122122tttttXEEXEXE由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0。假设该模型稳定，那么有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：22201X在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有|1。而AR(1)的特征方程01)(zz的根为 z=1/AR(1)稳定，即|1，意味着特征根大于1。例例9.2.2 AR(2)9.2.2 AR(2)模型的平稳性。模型的平稳性。对对AR(2)AR(2)模型模型 ttttXXX2211方程两边同乘以Xt，再取期望得：)(22110ttXE又由于222211)()()()(tttttttEXEX

12、EXE于是 222110同样地，由原式还可得到0211212011于是方差为)1)(1)(1()1(21212220由平稳性的定义，该方差必需是一不变的正数，于是有 1+21,2-11,|2|1这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点分别为-2,-1，2,-1，0,1的三角形。2 (0,1)1 (-2,-1)(2,-1)图图 9.2.1 AR(2)模模型型的的平平稳稳域域 对应的特征方程1-1z-2z2=0 的两个根z1、z2满足：z1z2=-1/2 ,z1+z2=-1/2 ttttXXX2211AR(2)模型解出1，22121zz21211zzzz 由AR(2)的平稳性，|2|

13、=1/|z1|z2|1，有1)11)(11(112121212121zzzzzzzz0)11)(11(21zz于是|z2|1。由 2-1 1可推出同样的结果。对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规那么可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(1)AR(p)模型稳定的必要条件是：模型稳定的必要条件是：1+2+p1 (2)由于由于i(i=1,2,p)可正可负，可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是：模型稳定的充分条件是：|1|+|2|+|p|1 对于挪动平均模型MR(q)：Xt=t-1t-1-2t-2-qt-q 其中t是一个白噪声，于是 2、MA(

14、q)模型的平稳性模型的平稳性 0)()()()(11qqtttEEEXE22111121322111122210),cov()(),cov()(),cov()1(varqqttqqqqttqqqttqtXXXXXXX 当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。因此:有限阶挪动平均模型总是平稳的。由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t-1t-1-2t-2-qt-q 3、ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性 而MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA(p,q)模型的平稳性取决于AR(p)部分的平稳性。当AR(p)部分平稳时

15、，那么该ARMA(p,q)模型是平稳的，否那么，不是平稳的。最后最后 1 1一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；2 2一个非平稳的随机时间序列通常可以经过差分的方法将它变换为一个非平稳的随机时间序列通常可以经过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。因此，假设我们将一个非平稳时间序列经过因此，假设我们将一个非平稳时间序列经过d d次差分，将它变为平稳的，次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的然后用一个平稳的

16、ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型作为它的生成模型，那么我们就说该原模型作为它的生成模型，那么我们就说该原始时间序列是一个自回归单整挪动平均始时间序列是一个自回归单整挪动平均autoregressive integrated autoregressive integrated moving averagemoving average时间序列，记为时间序列，记为ARIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)。例如，一个例如，一个ARIMA(2,1,2)ARIMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个次，然后用一个ARMA(

17、2,2)ARMA(2,2)模型作为它的生成模型的。模型作为它的生成模型的。当然，一个当然，一个ARIMA(p,0,0)ARIMA(p,0,0)过程表示了一个纯过程表示了一个纯AR(p)AR(p)平稳过程；一个平稳过程；一个ARIMA(0,0,q)ARIMA(0,0,q)表示一个纯表示一个纯MA(q)MA(q)平稳过程。平稳过程。三、随机时间序列模型的识别三、随机时间序列模型的识别 所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的适宜的随个平稳的随机时间序列，找出生成它的适宜的随机过程或模型，即判别该时间序列是遵照一纯机过程或模型，即

18、判别该时间序列是遵照一纯AR过程、还是遵照一纯过程、还是遵照一纯MA过程或过程或ARMA过程。过程。所运用的工具主要是时间序列的自相关函数所运用的工具主要是时间序列的自相关函数autocorrelation function，ACF及偏自相关及偏自相关函数函数partial autocorrelation function，PACF。1、AR(p)过程过程 (1)自相关函数ACF 1阶自回归模型AR(1)Xt=Xt-1+t 的k阶滞后自协方差为：011)(kkttktkXXE=1,2,因此，AR(1)模型的自相关函数为 kkk0=1,2,由AR(1)的稳定性知|1，因此，k时，呈指数形衰减，直

19、到零。这种景象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆infinite memory。留意，0时，呈振荡衰减状。Xt=1Xt-1+2Xt-2+t该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1,2分别为阶自回归模型阶自回归模型AR(2)AR(2)2221100211212011类似地,可写出普通的k期滞后自协方差：22112211)(kktttktkrXXXE(K=2,3,)于是,AR(2)的k 阶自相关函数为：2211kkk(K=2,3,)其中:1=1/(1-2),0=1假设假设AR(2)AR(2)稳定，那么由稳定，那么由1+1+2121知知|k|k|衰减趋于零，呈衰减趋于零，呈拖尾状。拖尾状。至于衰减

20、的方式，要看至于衰减的方式，要看AR(2)AR(2)特征根的实虚性，假设为实根，特征根的实虚性，假设为实根，那么呈单调或振荡型衰减，假设为虚根，那么呈正弦波型衰那么呈单调或振荡型衰减，假设为虚根，那么呈正弦波型衰减。减。普通地，p阶自回归模型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+tk期滞后协方差为:pkpkktptpttKtkXXXXE22112211)(从而有自相关函数:pkpkkk2211 可见，无论k有多大，k的计算均与其到p阶滞后的自相关函数有关，因此呈拖尾状。假设AR(p)是稳定的，那么|k|递减且趋于零。其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p

21、)平稳的条件知，|zi|p，Xt与Xt-k间的偏自相关系数为零。AR(p)的一个主要特征是:kp时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的。一随机时间序列的识别原那么：一随机时间序列的识别原那么：假设假设Xt的偏自相关函数在的偏自相关函数在p以后截尾，即以后截尾，即kp时，时，k*=0，而它的自相关函数而它的自相关函数k是拖尾的，那么此序列是自回归是拖尾的，那么此序列是自回归AR(p)序列。序列。在实践识别时，由于样本偏自相关函数rk*是总体偏自相关函数k*的一个估计，由于样本的随机性，当kp时，rk*不会全为0，而是在0的上下动摇。但可以证明，当kp时，rk*服从如下渐

22、近正态分布:rk*N(0,1/n)式中n表示样本容量。因此，假设计算的rk*满足 需指出的是，需指出的是，我们就有95.5%的把握判别原时间序列在p之后截尾。nrk2|*对MA(1)过程 2、MA(q)过程 1tttX可容易地写出它的自协方差系数：0)1(3221220于是，MA(1)过程的自相关函数为：0)1(3221可见，当k1时，k0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自相关函数是截尾的。MA(1)过程可以等价地写成过程可以等价地写成t关于无穷序列关于无穷序列Xt，Xt-1，的线性组合的方式：的线性组合的方式：221ttttXXX或ttttXXX221*(*)是一个AR()过程，它的偏自

23、相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的。留意:(*)式只需当|1时才有意义，否那么意味着距Xt越远的X值，对Xt的影响越大，显然不符合常理。因此，我们把|q时，Xt与Xt-k不相关，即存在截尾景象，因此，当kq时，k=0是MA(q)的一个特征。于是：可以根据自相关系数能否从某一点开场不断为0来判别MA(q)模型的阶。与MA(1)相仿，可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。MA(q)模型的识别规那么：假设随机序列的自相关函数截尾，即自q以后，k=0 kq；而它的偏自相关函数是拖尾的，那么此序列是滑动平均MA(q)序列。同样需求留意的是：在实践

24、识别时，由于样本自相关函数rk是总体自相关函数k的一个估计，由于样本的随机性，当kq时，rk不会全为0，而是在0的上下动摇。但可以证明，当kq时，rk服从如下渐近正态分布:rkN(0,1/n)式中n表示样本容量。因此，假设计算的rk满足：nrk2|我们就有95.5%的把握判别原时间序列在q之后截尾。ARMA(p,q)的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p、q都不为0时，它具有拖尾性质 从识别上看，通常：ARMA(p，q)过程的偏自相关函数PACF能够在p阶滞后前有几项明显的尖柱spikes，但从

25、p阶滞后项开场逐渐趋向于零；而它的自相关函数ACF那么是在q阶滞后前有几项明显的尖柱，从q阶滞后项开场逐渐趋向于零。3 3、ARMA(p,q)ARMA(p,q)过程过程 表表 9.2.1 ARMA(p,q)模模型型的的 ACF 与与 PACF 理理论论模模式式 模型 ACF PACF 白噪声 0k 0*k AR(p)衰减趋于零（几何型或振荡型）P 阶后截尾：0*k，kp MA(q)q阶后截尾：，0k，kq 衰减趋于零（几何型或振荡型）ARMA(p,q)q阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）图图 9.2.2 ARMA(p,q)模型的模型的 ACF与与 PACF理论模

26、式理论模式 ACF PACF 模型模型 1：tttXX17.00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1 模型 2：tttXX17.0 模型 3：17.0tttX-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF2-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF2-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678ACF3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678PACF3 模型 4：ttttXXX2149.07.0 模型 5：117.07.0ttttXX

27、-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF4-0.4-0.20.00.20.40.612345678PACF4-1.2-0.8-0.40.00.40.812345678ACF5-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF5四、随机时间序列模型的估计四、随机时间序列模型的估计 AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法较多，大体上分为3类：1最小二乘估计；2矩估计；3利用自相关函数的直接估计。下面有选择地加以引见。构造阶数模型识别确定估计参数 AR(p)AR(p)模型的模型的Yule WalkerYule Walker方程估计方程估计

28、在AR(p)模型的识别中，曾得到 pkpkkk2211利用k=-k，得到如下方程组：kppppppppp12112211211211 此方程组被称为Yule Walker方程组。该方程组建立了AR(p)模型的模型参数1,2,p与自相关函数1,2,p的关系，利用实践时间序列提供的信息，首先求得自相关函数的利用实践时间序列提供的信息，首先求得自相关函数的估计值估计值 然后利用然后利用Yule Walker方程组，求解模型参数的估计方程组，求解模型参数的估计值值,12p,12p12011102120112pppppp由于 ptptttXXX11于是 pjiijjitE1,022从而可得2的估计值 p

29、jiijji1,02在详细计算时，k可用样本自相关函数rk替代。MA(q)MA(q)模型的矩估计模型的矩估计 将MA(q)模型的自协方差函数中的各个量用估计量替代，得到：qkqkkqkqkkqk当当当01)(0)1(112222212 首先求得自协方差函数的估计值，(*)是一个包含(q+1)个待估参数(*)221,q的非线性方程组，可以用直接法或迭代法求解。常用的迭代方法有线性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。1MA(1)模型的直接算法 对于MA(1)模型，*式相应地写成1212120)1(于是 211021204或0212410有于是有解)411(22102)411(2211211

30、 由于参数估计有两组解，可根据可逆性条件|1|1的MA(q)模型，普通用迭代算法估计参数：由*式得 qkqkkkkq12211222102第一步，给出第一步，给出的一组初值，比如k,21202)0(0)0()0()0(21k代入*式，计算出第一次迭代值 02)1(0)1(kk*第二步，将第一次迭代值代入*式，计算出第二次迭代值)1()1()1()1()2()1()1(1/()2(11022102qkqkkkq 按此反复迭代下去，直到第m步的迭代值与第m-1步的迭代值相差不大时满足一定的精度，便停顿迭代，并用第m步的迭代结果作为*的近似解。ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的矩估计模型的矩

31、估计 在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)个待估参数1,2,p与1,2,q以及2，其估计量计算步骤及公式如下：第一步，估计1,2,p 1211112112pqqqpqqqpqpqpqqqqp k是总体自相关函数的估计值，可用样本自相关函数rk替代。第二步，改写模型，求1,2,q以及2的估计值 将模型 tptptttXXXX2211qtqtt2211 改写为：tptptttXXXX2211qtqtt2211令 ptpttttXXXXX2211于是(*)可以写成：(*)qtqttttX2211 构成一个MA模型。按照估计MA模型参数的方法，可以得到1,2,q以及2的估计值。AR(p)AR(p)

32、的最小二乘估计的最小二乘估计 假设模型AR(p)的参数估计值曾经得到，即有 tptptttXXXX2211 残差的平方和为：21221112)()(nptptptttnpttXXXXS(*)根据最小二乘原理，所要求的参数估计值是以下方程组的解：Sj 0即 0)(12211jtnptptptttXXXXXj=1,2,p (*)解该方程组，就可得到待估参数的估计值。为了与AR(p)模型的Yule Walker方程估计进展比较，将(*)改写成：nptjttnptjtptpnptjttnptjttXXnXXnXXnXXn111221111j=1,2,p由自协方差函数的定义，并用自协方差函数的估计值 k

33、npttktkXXn11代入，上式表示的方程组即为：jpjpjj2211或 jpjpjjrrrr2211j=1,2,pj=1,2,p解该方程组，得到：pppppprrrrrrrrrrrr21102120111021即为参数的最小二乘估计。Yule Walker方程组的解12011102120112pppppp比较发现，当n足够大时，二者是类似的。2的估计值为：pnSpnnptt1221 需求阐明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中，ARMA(p,q)模型中均未包含常数项。假设包含常数项，该常数项并不影响模型的原有性质，由于经过适当的变形，可将包含常数项的模型转换为不含常数项的模型。下面

34、以普通的ARMA(p,q)模型为例阐明。对含有常数项的模型 qtqttptpttXXX1111方程两边同减/(1-1-p)，那么可得到 qtqttptpttxxx1111其中piiXx11pttti,1,五、模型的检验五、模型的检验 由于ARMA(p,q)模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声的根底上进展的，因此，假设估计的模型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列。假设经过所估计的模型计算的样本残差不代表一白噪声，那么阐明模型的识别与估计有误，需重新识别与估计。在实践检验时，主要检验残差序列能否存在自相关。1 1、残差项的白噪声检验、残差项的白噪声检验 可用可用QLB的统计量进展的统计量

35、进展2检验：在给定显著性程度下，检验：在给定显著性程度下，可计算不同滞后期的可计算不同滞后期的QLB值，经过与值，经过与2分布表中的相应临分布表中的相应临界值比较，来检验能否回绝残差序列为白噪声的假设。界值比较，来检验能否回绝残差序列为白噪声的假设。假设大于相应临界值，那么应回绝所估计的模型，需假设大于相应临界值，那么应回绝所估计的模型，需重新识别与估计。重新识别与估计。2 2、AICAIC与与SBCSBC模型选择规范模型选择规范 另外一个遇到的问题是，在实践识别另外一个遇到的问题是，在实践识别ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型时，需多次反复偿试，有能够存在不止模型时，需多次反复偿试，有

36、能够存在不止一组一组p,qp,q值都能经过识别检验。值都能经过识别检验。显然，添加显然，添加p p与与q q的阶数，可添加拟合优度，但的阶数，可添加拟合优度，但却同时降低了自在度。却同时降低了自在度。因此，对能够的适当的模型，存在着模型的因此，对能够的适当的模型，存在着模型的“简简约性与模型的拟合优度的权衡选择问题。约性与模型的拟合优度的权衡选择问题。其中，n为待估参数个数p+q+能够存在的常数项，T为可运用的观测值，RSS为残差平方和Residual sum of squares。在选择能够的模型时，AIC与SBC越小越好 显然，假设添加的滞后项没有解释才干，那么对RSS值的减小没有多大协助

37、，却添加待估参数的个数，因此使得AIC或SBC的值添加。需留意的是：在不同模型间进展比较时，必需选取一样的时间段。常用的模型选择的判别规范有：赤池信息法常用的模型选择的判别规范有：赤池信息法Akaike information criterion，简记为，简记为AIC与施瓦兹贝叶斯法与施瓦兹贝叶斯法Schwartz Bayesian criterion，简记为，简记为SBC：)ln()ln(2)ln(TnRSSTSBCnRSSTAIC 由第一节知：中国支出法由第一节知：中国支出法GDP是非平稳的，但它的一阶是非平稳的，但它的一阶差分是平稳的，即支出法差分是平稳的，即支出法GDP是是I(1)时间

38、序列。时间序列。可以对经过一阶差分后的可以对经过一阶差分后的GDP建立适当的建立适当的ARMA(p,q)模模型。型。记记GDP经一阶差分后的新序列为经一阶差分后的新序列为GDPD1，该新序列的，该新序列的样本自相关函数图与偏自相关函数图如下：样本自相关函数图与偏自相关函数图如下：-0.4-0.20.00.20.40.60.81.024681012141618GDPD1AC-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.024681012141618GDPD1PAC 例例9.2.3 中国支出法中国支出法GDP的的ARMA(p,q)模型估计。模型估计。图形：样本自相关函数图形呈正弦线型衰

39、减波，而偏自相关函数图形那么在滞后两期后迅速趋于0。因此可初步判别该序列满足2阶自回归过程AR(2)。表表 9.2.2 中国中国 GDP一阶差分序列的样本自相关函数与偏自相关函数一阶差分序列的样本自相关函数与偏自相关函数kkr*krkkr*krkkr*kr10.8590.8597-0.034-0.25213-0.361-0.08620.622-0.4418-0.1120.01214-0.3630.07630.378-0.0659-0.1750.0415-0.3080.04340.1910.06610-0.228-0.11716-0.216-0.02250.0870.07711-0.282-0.

40、19217-0.128-0.04860.036-0.05112-0.32-0.0218-0.059-0.002426.0222|*kr 自相关函数与偏自相关函数的函数值：自相关函数与偏自相关函数的函数值：相关函数具有明显的拖尾性；相关函数具有明显的拖尾性；偏自相关函数值在偏自相关函数值在k2以后，以后，可以为：偏自相关函数是截尾的。再次验证了一阶差分后的可以为：偏自相关函数是截尾的。再次验证了一阶差分后的GDP满足满足AR(2)随机过程。随机过程。设序列GDPD1的模型方式为 ttttGDPDGDPDGDPD2211111有如下Yule Walker 方程：622.0859.01859.085

41、9.01121解为：442.0,239.121用用OLSOLS法回归的结果为：法回归的结果为：ttttGDPDGDPDGDPD211653.01593.11 7.91)(-3.60)r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15 有时，在用回归法时，也可参与常数项。本例中参与常数项的回归为：ttttGDPDGDPDGDPD211678.01495.159.9091 1.99 7.74 -3.58 r2=0.8758 R2=0.8612 DW.=1.22 模型检验模型检验 下表列出三模型的残差项的自相关系数及QLB检验值。模型1与模型3的残差项接近于一白噪声，但模型2存在4阶滞后相关问题

42、，Q统计量的检验也得出模型2回绝一切自相关系数为零的假设。因此:模型1与3可作为描画中国支出法GDP一阶差分序列的随机生成过程。表表 9.2.3 模模型型残残差差项项的的自自相相关关系系数数及及 Q检检验验值值 模型1 模型2 模型3 K Resid-ACF Q Resid-ACF Q Resid-ACF Q 1 0.382 3.3846 0.258 1.5377 0.257 1.5263 2 0.014 3.3893-0.139 2.0077-0.040 1.5646 3-0.132 3.8427-0.246 3.5677-0.059 1.6554 4-0.341 7.0391-0.529

43、11.267-0.328 4.6210 5-0.170 7.8910-0.300 13.908-0.151 5.2864 6 0.253 9.9097 0.271 16.207 0.345 9.0331 7 0.144 10.613 0.158 17.051 0.155 9.8458 8 0.057 10.730 0.116 17.541 0.076 10.059 9-0.019 10.745 0.097 17.914 0.011 10.064 10-0.146 11.685-0.036 17.969-0.123 10.728 11-0.233 14.329-0.136 18.878-0.23

44、0 13.319 12-0.049 14.461 0.064 19.104-0.012 13.328 用建立的用建立的AR(2)AR(2)模型对中国支出法模型对中国支出法GDPGDP进展外推预测。进展外推预测。模型1可作如下展开：)()(3222111ttttttGDPGDPGDPGDPGDPGDP3221211)()1(ttttGDPGDPGDPGDP 于是，当知t-1、t-2、t-3期的GDP时，就可对第t期的GDP作出外推预测。模型3的预测式与此相类似，只不过多出一项常数项。对2001年中国支出法GDP的预测结果亿元 预测值 实践值 误差 模型1 95469 95933 -0.48%模型

45、3 97160 95933 1.28%由于中国人均居民消费由于中国人均居民消费CPC与人均国内消费总值与人均国内消费总值GDPPC这两时间序列是非平稳的，因此不宜直接建立这两时间序列是非平稳的，因此不宜直接建立它们的因果关系回归方程。它们的因果关系回归方程。但它们都是但它们都是I(2)时间序列，因此可以建立它们的时间序列，因此可以建立它们的ARIMA(p,d,q)模型。模型。下面只建立中国人均居民消费下面只建立中国人均居民消费CPC的随机时间序列的随机时间序列模型。模型。中国人均居民消费中国人均居民消费CPC经过二次差分后的新序列记经过二次差分后的新序列记为为CPCD2，其自相关函数、偏自相关

46、函数及，其自相关函数、偏自相关函数及Q统计量的值统计量的值列于下表：列于下表：例例9.2.4 中国人均居民消费的中国人均居民消费的ARMA(p,q)模型模型 在5%的显著性程度下，经过Q统计量容易验证该序列本身就接近于一白噪声，因此可思索采用零阶MA(0)模型:表表 9 9.2 2.4 4 C CP PC CD D2 2 序序列列的的自自相相关关函函数数、偏偏自自相相关关函函数数与与 Q Q 统统计计量量值值 k ACF PACF Q k ACF PACF Q 1 0.125 0.125 0.269 7 0.196 0.014 6.286 2-0.294-0.314 1.882 8-0.218

47、-0.335 8.067 3-0.034 0.060 1.906 9-0.010 0.024 8.072 4-0.213-0.350 2.919 10 0.102-0.147 8.650 5-0.258-0.193 4.576 11-0.071 0.001 9.025 6 0.131 0.017 5.057 12 0.006-0.119 9.029 ttCPCD2 由于k=2时，|r2|=|-0.29|14/1因此,也可思索采用下面的MA模型：222tttCPCD 当然，还可察看到自相关函数在滞后4、5、8时有大于0.2的函数值，因此，可思索在模型中添加MA(4)、MA(5)、MA(8)。不同

48、模型的回归结果列于表9.2.5。表表 9 9.2 2.5 5 中中国国居居民民人人均均消消费费水水平平的的 A AR RM MA A 模模型型 模型 a MA(2)MA(4)MA(5)MA(8)AR(1)R2 SSR AIC 1 24.57 0 93137.4 8.94 2 32.4-0.89 0.42 53699.9 8.54 (3.62)(-7.43)3 14.07-0.72-1.71 0.7 28128.8 8.03 (8.75)(-3.07)(-5.08)4 11.73-1.09-1.99-1.3 0.82 17480.8 7.7 (17.81)(-3.38)(-4.61)(-1.58

49、)5 11.79-1.07-1.91-1.25-0.34 0.81 17402.7 7.84 (14.93)(-3.10)(-2.56)(-1.42)(-0.15)6 14.95-0.66-1.27 -1.99 0.75 22924.2 7.97 (5.16)(-2.14)(-1.77)(-1.29)7 214.25-2.53-2.45 -6.52 1.39 0.99 8943.7 7.06 (63.83)(-2.25)(-2.53)(-2.23)(98.26)可以看出可以看出:在纯在纯MAMA模型中，模型模型中，模型4 4具有较好的性质，但由具有较好的性质，但由于于MA(5)MA(5)的的t

50、 t检验偏小，因此可选取模型检验偏小，因此可选取模型3 3。最后，给出经过模型最后，给出经过模型3 3的外推预测。的外推预测。模型3的展开式为：42212111271.172.007.142)()(tttttttttttttCPCCPCCPCCPCCPCCPCCPCCPCCPCCPC即 422171.172.007.142ttttttCPCCPCCPC 由于t表示预测期的随机扰动项，它未知，可假设为0，于是t期的预测式为:422171.172.007.142tttttCPCCPCCPC为模型3中滞后2期与滞后4期的相应残差项的估计值。2t4t 表9.2.6列出了采用模型3对中国居民人均居民消费程度的2期外推预测。为了对照，表中也同时列出了采用2.10的模型的预测结果。表表 9 9.2 2.6 6 中中国国居居民民人人均均消消费费水水平平 2 2 期期外外推推预预测测比比较较（单单位位：元元）实际值 ARMA模型 因果关系模型 预测值 相对误差（%）预测值 相对误差（%）1997 2834 3048 7.6 2822-0.4 1998 2972 3407 14.6 2977 0.2