各种等腰三角形难题

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1、各类等腰三角形难题例1. 在ABC中,AB=AC,且A=20,在为AB上一点,AD=BC,连接CD.试求:BDC的度数.分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造全等三角形.解:作DAE=B=80,使AE=BA,(点D,E在AC两侧)连接DE,CE.AE=BA;AD=BC;DAE=B.DAECBA(SAS),DE=AE;DEA=BAC=20.CAE=BAE-BAC=60,又AE=AB=AC.AEC为等边三角形,DE=CE;DEC=AEC-DEA=40.则:CDE=70;又ADE=80.故ADC=150,BDC=30.例2.已知,如图:ABC中,AB=AC,BAC=20.点D和E分别在AB,A

2、C上,且BCD=50,CBE=60.试求DEB的度数.本题貌似简单,其实不然.解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知GEF,GBC均为等边三角形.FEG=EFG=60;AFG=140,DFG=40;BCG=50;CBD=60.BDC=50=BCD,则BD=BC=BG;又ABE=20.故BGD=80,DGF=180-BGD-FGE=40.即DGF=DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.DGEDFE(SSS),得:DEG=DEF=30.所以,DEB=30.例3.已知,等腰ABC中,AB=AC,BAC=20,D和E分别为AB和AC上的点,且ABE=10,A

3、CD=20.试求:DEB的度数.本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.解:在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则CMB=CBM=50.作DGBC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.易知BCF和DGF为等边三角形,CM=CB=CF.CMF=CFM=80,GMF=100.GFM=GFC-CFM=40;FGM=A+ABG=40.即GFM=FGM;FM=GM;又DF=DG,DM=DM.则DMFDMG,DMG=DMF=50.故DMC=130=EMB;又DCM=EBM=20.DMCEMB,DM/MC=EM/MB;又DME=BMC=50.DMECMB,DEM=CBM=50

4、.又BEC=ABE+A=30.所以,DEB=DEG-BEC=50-30=20.例4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 思路点拨：欲证M是BE的中点，已知DMBC，所以想到连结BD，证BDED。因为ABC是等边三角形，DBE ABC，而由CECD，又可证E ACB，所以1E，从而问题得证。证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点所以1 ABC又因为CECD，所以CDEE所以ACB2E即1E所以BDBE，又DMBC，垂足为M所以M是BE的中点 （等腰三角形三线合一定理）例5.如图，在ABC中，BA

5、C=90，AB=AC，ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE 思路点拨：根据已知条件，易证BFEBCE，所以BF=BC，所以F=BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明ABDACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE证明：ABC的平分线交AC于D，FBE=CBE，又BE=BE，BECF，BEF=BEC，BFEBCE（ASA），CE=EF，CF=2CE，BAC=90，且AB=AC，FAC=BAC=90，ABC=ACB=45，FBE=CBE=22.5，F=ADB=67.5，又AB=AC，ABDACF（AAS），BD=C

6、F，BD=2CE例6. 如图，在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，DE过O且平行于BC，已知ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求ABC的周长 思路点拨根据题意先证明BDO和CEO是等腰三角形，再结合等腰三角形的性质得BD=OD，CE=EO，根据已知ADE的周长为10cm，再加上BC的长即可得ABC的周长解：BO平分ABC，CO平分ACB，DBO=OBC，ECO=OCB，DEBC，DOB=OBC，EOC=OCB，DBO=DOB，ECO=EOC，BD=OD，CE=EO（等角对等边）AD+DE+AE=10cm，AD+BD+CE+EA=10cm，又BC的长为5cm，所以ABC的周长是：

7、AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm例7.TA共获得： 评分共：0 条 三角形ABC，AB=AC，边BC的中点为D（1）画图：作一个等边三角形DEF，使顶点E,F分别在边AB和AC上（2）你所作的等边三角形DEF的边EF与BC平行吗？理由是什么？（3）是否可能作一个等边三角形DEF，使它的边EF与BC不平行？如有可能，指出角A的度数；如不可能，说出理由解：见图作法：在三角形ABC内部作BDECDF60度，角的两边分别交AB、AC于E、F，连接EF则三角形DEF就是所要求作的等边三角形平行。理由：因为ABAC所以BC因为D是BC中点所以BDCD因为BDECDF60度所以BDECDF（

8、ASA），EDF60度所以DEDF所以三角形DEF是等边三角形所以BDEDEF60度所以EF/BC可能。A120度证明要点：因为EF与BC不平行，所以AEAF，不妨设AEAF过F作FG/BC，交AB于G，连接DG容易证明BDGCDF所以DGDFDE，BGDCFD由DEDG得DEGDGE所以DEGCFD所以A、E、D、F四点共圆所以AEDF180度所以A120度 例8.三角形ABC中，AB=AC,D在AC上,E在AB上，连结DE，已知顶角等于20,CBD=60,ECB=50.求ADE的度数 解：以B为圆心，BC为半径画弧，交AC于G，连接DG， 则：BG=BC，BGC=ACB； 已知：AB=AC

9、，A=20， 则：ABC=ACB=80， BGC=ACB=80， GBC=20， ABG=60； 已知：CBD=60， 则：ABD=20，DBG=40， BDG=BGC-DBG=40，BG=DG； 已知：ECB=50， 则：BRC=180-ABC-ECB=50； 已知：圆孤，ABG=60， 则：BE=BC=BG=DG，BGE为正三角形， EG=BE=BC=BG=DG，EGB=60， DGE=180-BGC-EGB=40；已知：EG=DG, 则：GED=EDG=(180-DGE)/2=70， ADE=180-EDG=110。 例9. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线

10、上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DMBC，所以想到连结BD，证BDED。因为ABC是等边三角形，DBEABC，而由CECD，又可证EACB，所以1E，从而问题得证。 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点 所以1ABC 又因为CECD，所以CDEE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足为M 所以M是BE的中点 （等腰三角形三线合一定理）例10. 如图，已知：中，D是BC上一点，且，求的度数。 分析：题中所要求的在中，但仅靠是无法求出来的。因此需要考虑和在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外

11、角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解：因为，所以 因为，所以； 因为，所以（等边对等角） 而 所以 所以 又因为 即 所以 即求得 说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。 2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。 3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。 例11. 已知：如图，中，于D。求证：。 分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，是等腰三角形的顶角，于是想到构造

12、它的一半，再证与的关系。 证明：过点A作于E， 所以（等腰三角形的三线合一性质） 因为 又，所以 所以（直角三角形两锐角互余） 所以（同角的余角相等） 即 说明： 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线； 2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出的等角等。 例12已知：如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，DEAB，DFAC，E、F分别是垂足。求证：AEAF。 证明：因为，所以 又因

13、为 所以 又D是BC的中点，所以 所以 所以，所以 说明：证法二：连结AD，通过 证明即可 例13. 如图，中，BD平分。求证：。 分析一：从要证明的结论出发，在BC上截取，只需证明，考虑到，想到在BC上截取，连结DE，易得，则有，只需证明，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出。 证明一：在BC上截取，连结DE、DF 在和中， 又 而 即例题14：如图，可以考虑延长BD到E，使DEAD，这样BDAD=BD+DE=BE，只需证明BEBC，由于，只需证明易证，故作的角平分线，则有，进而证明，从而可证出。 证明二：延长BD到E，使DEAD，连结CE，作DF平分交BC于F。 由证明一知： 则有 DF

14、平分 ，在和中 ，而 在和中， 在中， 说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。 例15. 如图，是等边三角形，则的度数是_。分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。 解：因为是等边三角形 所以 因为，所以 所以 在中，因为 所以，所以 所以例16. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.已知：如图，在中，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。求证：点O在BC的垂直平分线上。 分析：欲证本题结论，实际上就是证明。而O

15、B、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有的两个三角形全等。证明：因为在中，所以（等边对等角）又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以（中线定义）在和 中，所以所以（全等三角形对应角相等）。所以（等角对等边）。即点O在BC的垂直平分线上。说明：（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在底边的垂直平分线上”正确地理解成“OBOC”是关键的一点。（2）实际上，本题也可改成开放题：“ABC中，ABAC，D、E分别为AC、AB上的中点，BD、CE交于O。连结AO后，试判断AO与BC的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。例

16、17. 中，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：。分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点。证明：过点A作BC边的垂线AF，垂足为F。31在中，所以 所以（等腰三角形三线合一性质）。所以（邻补角定义）。所以又因为ED垂直平分AB，所以（直角三角形两锐角互余）。（线段垂直平分线定义）。又因为（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）。所以在和中，所以所以即。例18：如图，在 ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE分析：()折半法：取CD中点F，连接BF，再证C

17、EBCFB.这里注意利用BF是ACD中位线这个条件。证明：取CD中点F，连接BF BF=AC,且BFAC （三角形中位线定理） ACB2 (两直线平行内错角相等)又 AB=AC ACB3 （等边对等角） 32在CEB与CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形对应边相等）即CD=2CE （）加倍法证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.在AEC与BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形对应边、对应角相等) BFAC (内错角相等两直线平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （

18、等角的补角相等）在CFB与CDB中， CFBCDB (SAS) CF=CD即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.(4)证明线段相互垂直例19：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ADC、BDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AOBC.证明：延长AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形对应边、对应角相等） AODCOE （对顶角相等） COE+OCE=90o AOBC