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1、精品文档第四章约束优化设计概述约束坐标轮换法 随机方向法罚函数法概述结构优化设计的问题，大多属于约束优化设计问题，其数学模型为:min f(x)stgu(x) 0hv(x)0根据求解方式的不同，可分为 直接解法和间接解法两类。直接解法是在仅满足不等式约束的可行设计区域内直接求出问题的约束最优解。属于这类方法的有：随机实验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。其基本思路:在由m个不等式约束条件 gu(x) 0所确定的可行 域0内，选择一个初始点X 0然后确定一个可行搜索方向S,且以适当的步长沿 S方向进行搜索，取得一 个目标函数有所改善的可行的新点X1即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上
2、述搜索过程，每次均按 如下的基本迭代格式进行计算： Xk+1=Xk+ kSk(k=0,1,2,.)逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：1) 由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论何时终止，都可以获得比初始点好 的设计点。2) 若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域最优解，否则，可能存在多个局部 最优解，当选择的初始点不同，而搜索到不同的局部最优解。3) 要求可行域有界的非空集精品文档a）可行域是凸集；b）可行域是非凸集间接解法间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约
3、束优化方法，并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而在机械优化设计得到广泛的应用。间接解法中具有代表性的是惩罚函数法。将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数， 题。X, 1, 2 F X即将原约束优化问题转化为一个或一系列的无约束优化问新目标函数l加权因子hk X然后对新目标函数进行无约束极小化计算。卜间接法是结构优化设计中广泛使用的有效方法，其特点：1）由于无约束优化方法的研究日趋成熟，为间接法提供可靠基础。这类算法的计算效率和 数值计算的稳定性大有提高；2）可以有效处理具有等式约束的约束优化问题；3）目前存在的主要问题，选取加权因子较为困难，选
4、取不当，不仅影响收敛速度和计算精 度，甚至导致计算失败。约束坐标轮换法约束坐标轮换法是在无约束坐标轮换法的基础上，再加上由约束条件构成的可行性逻辑判断而构成的方法， 这样可以使搜索点保持在可行域内，求得最优解。迭代步长不是采用最优步长，而是加速步长。其基本思路：在可行域任取一点 X0，取一个初始步长0，1o按X! Xe,，取得沿为坐标轴第一个迭代点，检查该点是否满足可行性和适用性：1Xi D (可行性条件)1 0F(Xi) F(X )(适用性条件)若两者均满足，步长加倍，迭代计算1 0X2 X 2 e，只要迭代点满足条件，力口倍增大步长，继续迭代获得新点；当迭代点不j满足条件，取前一个迭代点，
5、转而沿X2坐标轴方法搜索，不满足条件时，取负步长进行,如图所示，直到逼近最优点 X。约束坐标轮换法虽然方法简单、算法明确，便于设计，但当维数较高时收敛速度慢，还 会出现“死点”，导致出现伪最优点。约束随机方法随机方向法的基本思路：在可行域内选择一个初始点，利用 随机数的概率特性，产生若干个随机 方向，并从中选择一个能使目标函数 值下降最快的随机方向作为搜索方向S。从初始点X0出发，沿S方向以一定步 长进行搜索，得到新点X，新点X应 满足约束条件且f (X) f (X0)，至 此完成一次迭代。随机方向法程序设 计简单，搜索速度快，是解决小型机 械优化问题的十分有效的算法。如图 所示。1. 随机数
6、的产生下面介绍一种常用的产生随机数的数学模型首先令ri235,r2 236, g 237取=2657863，按一下步骤计算:令 r 5r若rr3贝 Urra若r2贝 yrrr2若 rr1贝 Vr r r1则qr/r(0, i)之间的随机数在任意(a,b)区间内的随机数x a q(b a)2. 初始点的选择随机方向法的初始点 X0必须是一个可行点，既满足全部不等式约束条件。初始点可以通过随机选择的方法产生。1) 输入设计变量的下限值和上限值，即aibi2) 在区间(0, 1)内产生n个伪随机数qi3) 计算随机点x的各分量 Xi a qi(bi ai)4) 判别随机点x是否可行，若随机点可行，用
7、 x代替x0为初始点；若非可行点，转到步骤2)重新产生随机点，只到可行为止。3. 可行搜索方向的产生产生可行随机方向的方法：从k个随机方向中，选取一个较好的方向。其计算步骤为:1)在(-1,1)区间内产生伪随机数rij，得随机单位向量ej1n 2 riji 12)取一试验步长0，按下式计算k个随机点Xj X0 aej3) 检验k个随机点是否为可行点，除去非可行点，计算余下的可行点的目标函数值，比较其大小，选出目标函数最小的点XL。4) 比较XL和X0两点的目标函数值，若 F(XL) F(X0)，则取XL和X0连线方向为可行 搜索方向；若F(XL) F(X0)，则步长缩小，转步骤1)重新计算，直
8、至f(xl) F(X0)为止。如果a 0缩小到很小，仍然找不到一个xl，使f（xl） F（X0）则说明xl是一个局部极小点，此时可更换初始点，转步骤1 ）。产生可行搜索方向的条件为：gj XL 0f X L min f X j | j 1,2,., kf XL f X0则可行搜索方向为：S XL X04. 搜索步长的确定步长由加速步长法确定。复合形法复合形法是求解约束优化问题的一种重要的直接解法。它的基本思路是在可行域内构造一个具有k个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的目标函数值进行比较，找到目标函数最大的顶点（最坏点），然后按一定的法则求出目标函数值有所下降的可行的新点，并用此点代替最坏点
9、， 构成新的复合形，复合形的形状没改 变一次，就向最优点移动一步，直至逼近最优点。由于复合形的形状不必保持规则的图形，对目标函数和约束函数无特殊要求，因此这种方法适应性强，在机械优化设计中应用广泛。1. 初始复合形生成的方法：1）由设计者决定 k个可行点，构成初始复合 形。设计变量少时适用。2）由设计者选定一个可行点，其余的 k-1个 可形点用随机法产生。人 ar, （b a ）1 L Xc XjXl 1xc 0.5 xL 1Xc3）由计算机自动生成初始复合形的所有顶点。L j 12. 复合形法的搜索方法1）反射（1）计算复合形各顶点的目标函数值，并比较其大小，求出最好点X,、最坏点X 及LH
10、次坏点XG，即xL : fXlmin f xj | j1,2,., kXh : fXhmax fxj j1,2,.,kXg : fXgmax fxj j1,2,.,k, j(2 )计算除去最坏点xh外的(k-1)个顶点的中心XCLXj1Xc1k 1 j(3)从统计的观点来看，一般情况下，最坏点XuH点XC的连线方向为目标函数的下降方向。如图所示。XrXca XcXh(4)判别反射点X的位置R和中心若XR为可行点，贝吐匕较XR和XH两点的目标函数值， 如果f(X R) =f(X H)，则将a缩小0.7倍，重新 计算新的反射点，若仍不行，继续缩小a,直至 1 。内点法的特点：1 初始点必须为严格内
11、点 2 不适于具有等式约束的数学模型3 迭代过程中各个点均为可行设计方案 4一般收敛较慢 5 初始罚因子要选择得当 6 罚因子为递减，递减率 c有 0c1。精品文档例题:用外点法求问题2 2min f x x-i x2s.t g x 1 x-i 0 约束最优解。首先构造外点惩罚函数：x, rxf xf r 1 x,用解析法求解2x, 2r 1 x,2x20Xf解得：为 rr精品文档三、混合惩罚函数法由于内点法容易处理不等式约束优化设计问题，而外点法又容易处理等式约束优化设计问 题，因而可将内点法与外点法结合起来，处理同时具有等式约束和不等式约束的优化设计问x,rj 1 gjx1_ 1r k 1hk x题。在构造惩罚函数时，可以同时包括障碍项与惩罚项，并将惩罚因子统一用这种同时处理等式和不等式约束的惩罚函数法称为混合惩罚函数法。混合惩罚函数法与前述内点法和外点法一样，也属于序列无约束极小化（SUMT）方法中的一种方法。习题：设约束优化问题的数学模型为2 2min f xx-i x2s.t g x x-i x2 1 0试用内点惩罚函数法求该问题的约束极小点。（至少2步迭代）
约束优化设计复习过程
