上海市高二数学上学期期末考试试题

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1、2016 学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷（考试时间： 120 分钟 满分： 150 分 ）一. 填空题（ 1-6 每小题 4 分， 7-12 每小题 5 分，共 54 分）1已知复数zi2i( i 为虚数单位 ) ，则 | z| 2若 d (2, 1) 是直线 l 的一个方向向量，则 l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示） 3抛物线2y 4x 的焦点坐标为 6 14 2x的展开式中的常数项的值是 xx y 55已知实数 x 、 y 满足不等式组2x y 6x 0，则 z 3x 4y 的最大值是 y 02 x a6已知虚数 z cos i sin 是方程 3x 2 0 的一个

2、根 , 则实数 a 2 y 27已知 F1, F2 为双曲线 C： x 1 的左右焦点，点 P在双曲线 C上， F1PF2 60 , 则| PF1 | | PF2 | 8某校高二年级共有六个班 , 现从外地转入 4 名学生 , 要安排到该年级的两个班级且每班安排2 名, 则不同的安排方案种数为 9 设曲线 C 的参数方程为xy2 3cos1 3sin（ 为参数），直线 l 的方程为 x 3y 2 0，则曲线 C 上到直线 l 距离为 7 1010的点的个数为 _210已知抛物线 x 3y2 px q上的两点 A、B 的横坐标恰是关于 x 的方程 x 0（ p,q是常数）的两个实根，则直线 AB

3、 的方程是 11 在 ABC 中 ， AB 边 上 的 中 线 CO 2 ， 若 动 点 P 满 足12 2AP sin AB cos AC ( R) ，则 ( PA PB) PC 的最小值是 22 2x y12已知椭圆 C： 1 ( 0)a b2 2a b的左右焦点分别为F1 ,F ，P为椭圆 C上任一点，2M=| PF1 | | PF | | PF | | PF |。M的最大值为 2 1 2- 2 -二. 选择题（每小题 5 分，共 20 分）13. 已知复数满足 | z 3 4i | 2 ，则 | z 1|的取值范围是（ ）（A） 2 5 2,2 5 2 （B） 3 2,5 2 （C）

4、2 2,5 2 （D） 3 2, 4 22 ， 那 么 直 线 14 设 a,b, c 是 ABC 三 个 内 角 A, B,C 所 对 应 的 边 ， 且 b acx sin sin 0与直线 x sin sin 0 的位置关系是（ ）2 A y A a 2 B y C c（A）平行 （B）垂直（ C）相交但不垂直 （D）重合15O是 ABC所在平面内的一点，且满足 (OB OC) (OB OC 2OA) 0，则 ABC的形状是（ ）（A）等腰三角形 （B）等腰直角三角形 （C）直角三角形 （D）等边三角形16若曲线 f (x, y) 0 上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自

5、公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）（A）2 1 0x y （B）2x 4 y 1 0（C）2 2 1 0x y x x （D）23x xy 1 0三. 解答题（ 14 分14 分14 分16 分18 分，共 76 分）17（本题满分 14 分）设复数 z 满足 | z | 5 ，且 (3 4i) z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，| 2z m | 5 2 (m R) ，求 z 和m 的值- 3 -18（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知 | a | 2 , |b | 1, a 与b 的夹角为 135 .(1) 求(a b) (2a

6、b) 的值；（2）若 k 为实数，求 |a kb |的最小值- 4 -19（本题满分 14 分, 第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）（1）一条光线通过点 P 2, 1 ，被直线 l : x y 1 0 反射，如果反射光线通过点 Q 3 ,1 ，求反射光线所在的直线方程；（2）已知 ABC 的一顶点 A 1,4 ， ABC 与 ACB 的平分线所在直线的方程分别是x 2y 0 和 x y 1 0 ，求边 BC所在直线方程20（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）2y2 b已知点 F1 ,F2为双曲线 C ： x 1

7、( 0) 的左、右焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线，2b在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M ，且 MF1F2 30 ，圆 O的方程是2 y2 b2x （1）求双曲线 C 的方程；（2）过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线， 垂足分别为P1 ,P ，求 PP1 PP22的值；（3）过圆 O上任意一点Q(x , y ) 作圆 O 的切线 L 交双曲线 C 于 A, B 两点， AB 中点为 D ，0 0求证: AB 2 OD - 5 - 6 -21（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）教材曾有介绍：圆2 y

8、r2 2x 上的点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程为2x0 x y y r 。我们将其结02 2x y论推广：椭圆 12 2a bx x y y（ a b 0）上的点 ( , ) 0 0x0 y 处的切线方程为 1，在02 2a b2x2解本题时可以直接应用。已知，直线 x y 3 0 与椭圆 E ： 1y2a（a 1）有且只有一个公共点（1）求 a 的值；（2）设 O为坐标原点，过椭圆 E 上的两点 A、B 分别作该椭圆的两条切线 l1 、l2 ，且 l1 与l 2交于点 M (2, m) 设 m 0，直线 AB、OM 的斜率分别为k 、k2 ，求证： k1k2 为定值1设 m R ，

9、求 OAB 面积的最大值- 7 -金山中学 2016 学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷（考试时间： 120 分钟 满分： 150 分 ）一. 填空题（ 1-6 每小题 4 分， 7-12 每小题 5 分，共 54 分）1已知复数zi2i( i 为虚数单位 ) ，则 | z| 332若 d (2, 1) 是直线 l 的一个方向向量，则 l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示） arctan123抛物线2y 4x 的焦点坐标为 10,166 14 2x 的展开式中的常数项的值是 60xx y 55已知实数 x 、 y 满足不等式组2x y 6x 0，则 z 3x 4y 的最大值是

10、20y 0 2 x a6已知虚数 z cos i sin 是方程 3 2 0 x 的根，则实数 a 37已知2 y2F1, F 为双曲线 C： x 1的左右焦点，点 P 在双曲线 C 上，20F1PF 60 ,2则| | | |PF1 PF 428某校高二年级共有六个班 , 现从外地转入 4 名学生 , 要安排到该年级的两个班级且每班安排2 名, 则不同的安排方案种数为 909 设曲线 C 的参数方程为xy2 3cos1 3sin（ 为参数），直线 l 的方程为 x 3y 2 0，则曲线 C 上到直线 l 距离为7 1010的点的个数为 _2210已知抛物线 x 3y2 px q上的两点 A、

11、B 的横坐标恰是关于 x 的方程 x 0（ p,q是常数）的两个实根，则直线 AB的方程是 2px 3y q 0 ( p 4q 0)11 在 ABC 中 ， AB 边 上 的 中 线 CO 2 ， 若 动 点 P 满 足12 2AP sin AB cos AC ( R) ，则 ( PA PB) PC 的最小值是 -22- 8 -2 2x y12已知椭圆C： 1 ( 0)a b2 2a b的左右焦点分别为F1 ,F ，P为椭圆C上任一点，2M= | 1 | | PF | | PF | | PF |PF 。 M 的 最 大 值2 1 2为 2 2 2a 1, a b 12 2 2 2 2b 2 a

12、 b , 0 a b 1二.选择题（每小题5 分，共 20 分）13. 已知复数满足 | z 3 4i | 2 ，则| z 1|的取值范围是（ ）B（A） 2 5 2, 2 5 2 （B） 3 2, 5 2 （C） 2 2, 5 2 （D） 3 2, 4 22 ， 那 么 直 线 14 设a,b, c 是 ABC 三 个 内 角 A, B,C 所对应的边， 且 b acx sin sin 0与直线x sin sin 0 的位置关系是（ ）D2 A y A a 2 B y C c（A）平行 （ B）垂直（ C）相交但不垂直 （ D）重合15O 是 ABC所在平面内的一点， 且满足 ( OB OC

13、) (OB OC 2OA) 0，则ABC的形状是（ ）A（A）等腰三角形 （B）等腰直角三角形 （C）直角三角形 （D）等边三角形16若曲线f (x, y) 0 上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）C（A）2 1 0x y （ B）2x 4 y 1 0（C）2 2 1 0x y x x （ D）23x xy 1 0三. 解答题（ 14 分 14 分 14 分 16 分 18 分，共 76 分）17（本题满分 14 分）设复数 z满足 | z | 5 ，且 (3 4i) z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，| 2z m | 5

14、2 (m R) ，求 z 和 m 的值2 7 2z i 或2 22 7 2z i （ 8 分）2 2- 9 -当2 7 2z i m 0或 2 （ 11 分）2 2当2 7 2z i m 0或 - 2 （ 14 分）2 218（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知 | a | 2 , |b | 1, a 与 b 的夹角为135 .(1) 求 (a b) (2a b) 的值；（2）若 k为实数，求 |a kb |的最小值（1） (a b) (2a b) =2 （ 6 分）（2）当 k 1时， | a kb |的最小值为1 （ 14 分）19（本题满分 14

15、 分, 第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）（1）一条光线通过点 P 2, 1 ，被直线l : x y 1 0 反射，如果反射光线通过点 Q 3 ,1 ，求反射光线所在的直线方程；（ 2）已知 ABC 的一顶点 A 1,4 ， ABC 与 ACB 的平分线所在直线的方程分别是x 2y 0 和 x y 1 0 ，求边BC 所在直线方程 .（1） 2x 5y 11 0 （ 6 分）（2） A关于 x y 1 0 的对称点为B(-3 ，0)A 关于 x 2y 0 的对称点为(19 , 8)C5 5BC : 4x 17 y 12 0 （ 14 分）- 10 -20（本题满分 16 分，

16、第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）已知点2y2 bF1 ,F为双曲线C ： x 1 ( 0) 的左、右焦点，过F2 作垂直于 x轴的直线，22b在 x轴上方交双曲线C 于点 M ，且0MF1F 30 ，圆O的方程是22 y2 b2x （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线， 垂足分别为P1 ,P2 ，求 PP1 PP2的值；（3）过圆O上任意一点Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于 A, B 两点， AB 中点为D ，( , )0 0求证: AB 2 OD 解（ 1）设F 、 M 的坐标分别为2

17、21 b ,0 、21 b , y (y0 0)0因为点 M 在双曲线C 上，所以2y2 01 b 1，即2b2y0 b ，所以2MF b2在Rt MF F 中，2 10MF1F2 30 ，2MF b ，所以22MF1 2b由双曲线的定义可知：2MF1 MF2 b 2故双曲线C 的方程为：2y2 1x （ 4 分）2（2）由条件可知：两条渐近线分别为 l1 : 2x y 0， l2 : 2x y 0设双曲线C 上的点 (x0 , y )P ，设l1 的倾斜角为，则tan 20则点 P 到两条渐近线的距离分别为2x y0 0| PP | ，132x y0 0|PP | （ 6 分）23因为P(

18、x0 , y0) 在双曲线C :2y2 1x 上，所以22 22x y 20 0cos 221 tan 1 2 121 tan 1 2 3，从而1cos cos( 2 ) cos 2PPP （ 8 分）1 23所以PP PP1 22 2 2 2 2 1 2x y x y x y0 0 0 0 0 0cos PPP （10 分）1 23 3 3 3 9- 11 -（3）由题意，即证： OA OB 设A(x , y ), B(x , y ) ，切线l 的方程为： x0 x y0 y 2 ，且1 1 2 22 2x0 y0 2当y0 0时，将切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：2 2 2 2(2

19、 y x ) x 4x x (2 y 4) 00 0 0 0所以：24x (2 y 4)0 0x x , x x1 2 2 2 1 2 2 2(2 y x ) (2 y x )0 0 0 0又2(2 x x ) (2 x x ) 1 8 2x20 1 0 2 0y y 4 2x (x x ) x x x1 2 2 0 1 2 0 1 2 2 2y y y 2y x0 0 0 0 0所以2 2 2 2(2 y 4) 8 2x 4 2( x y )0 0 0 0OA OB x x y y1 2 1 2 2 2 2 2 2 2(2 y x ) 2y x 2y x0 0 0 0 0 00当y0 0时，

20、易知上述结论也成立 所以 OA OB x1x2 y1y2 0综上， OA OB ，所以 AB 2 OD （ 16 分）- 12 -21（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）2 y2 r 2 2教材曾有介绍：圆x 上的点 ( x0 , y0 )处的切线方程为x0 x y y r 。我们将其结02 2x y论推广：椭圆 12 2a bx x y y（ a b 0）上的点 ( , ) 00x0 y处的切线方程为1，在02 2a b2x2解本题时可以直接应用。已知，直线x y 3 0 与椭圆E ： 1y2a（ a 1）有且只有一个公共点（1

21、）求 a 的值；（2）设O为坐标原点，过椭圆E 上的两点 A、 B 分别作该椭圆的两条切线l1 、 l2 ，且 l1 与 l 2交于点 M (2, m) 设m 0，直线AB、 OM 的斜率分别为k 、 k2 ，求证： k1k2为定值1设m R ，求 OAB 面积的最大值解：（1）联立 yx2 2ax2y3112整理得 1) 2 3 2 0(2 x xa12 a依题意 0即 1) 2 0 2(2 3) 4 (2a （ 4 分）x x x x（2）设( , ) 2 y y1 y y 、 1 A x1 y 、B(x2 , y2) 于是直线l1 、l2 的方程分别为 11 1 22 2将 M (2,

22、m) 代入l 、 l2 的方程得 x1 my1 1 0且 x2 my2 1 01所以直线AB 的方程为x my 1 0 （ 7 分） 11 ， mkmk ，所以221k1k为定值 （ 10 分）22xmy 12x2y2012 y2 my(m 2) 2依题意联立 1 0显然 0，由 y1, y2 是该方程的两个实根，有2my y ，1 m2 221y y （ 12 分）1 m2 22OAB 面积S12x y1 1x y2 21S | y y | （ 14 分）的绝对值，即 1 22即2S14(y1y )224y1y222(m2(m1)22)2(m1)212m1212- 13 -2当 m 0时， S取得最大值2 （ 18 分）- 14 -