求数列的前n项和常用方法共8页

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1、数列求和的常用方法1. 公式法 ：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明 ：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：11 2 3 L n n(n 1) ，22 2 2 11 2 L n n(n 1)(2 n 1) ，63 3 3 3 n(n 1) 21 2 3 L n .2例 1 、已知log13 x ，求log 32x2 3 n 的前 n项和 .x x x 2 2 2 2 a 的前 n项和 S a1 a a an _ ；练一练： 等比数列 2 ，则n 2 32. 分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，

2、再运用公式法求和 .1 1 1例 2、 求数列的前 n项和： 3 21 1, 4, 2 7, , nn 1a a an练一练： 求和： S 1 3 5 7 L ( 1) (2n 1)n， 3. 倒序相加法 ：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的推导方法） .2 2 2 2 2例 3、求 sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89的值练一练： 已知f (x)12x2x，1 1 1则f (1) f (2) f (3) f (4) f ( ) f ( ) f ( ) _；2

3、 3 44.错位相减法 ：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成， 那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n 和公式的推导方法） .例 4、 求和：2 7 3 (2 1)Sn 1 3x 5x x n xn 12 4 6 2n例 5、求数列 , , , ,2 3 n2 2 2 2前 n项的和 .练一练：设a 为等比数列， Tn na1 (n 1)a2 L 2an 1 an ，已知 T1 1， T2 4，求数列 an 的首项和公n比；求数列 T 的通项公式 .；n5. 裂项相消法 ：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.

4、 常用裂项形式有： 1 1 1n(n 1) n n 1； 1 1 (1 1 )n(n k) k n n k；1 1 1 1 1( )2 2k k 1 2 k 1 k 1，1 1 1 1 1 1 12k k 1 (k 1)k k (k 1)k k 1 k；1 1 1 1 n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)( n 2)；n 1 1 ；(n 1)! n! (n 1)! 2( 1 ) 2 1 2 2( 1)n n n nn n 1 n n n 1.1 1 1例 6、 求数列 , , ,1 2 2 3 n n 1的前 n项和 .1例 7、 在数列 an 中， 1 2 nan ，又 n

5、1 n 1 n 12b ，求数列 b n的前 n项的和 .n a an n 1练一练：（1） 求和：1 1 1L ；1 4 4 7 (3n 2) (3n 1)（2） 在数列 a 中，n1an ，且 S，则n ；n n 16.通项转换法 ：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例 8 、求 1 11 111 111 1之和 .n 1个练一练： 求数列 1 4，25，3 6， ， n (n 3) ， 前 n项和S = ；n 求和：11 1 1L1 2 1 2 3 1 2 3 L n；2数列求和课后练习一、选择题： n1(4n3)，则它的前 100项之和 S100 等于 ( )1数

6、列 an的通项公式为an(1)A 200 B 200 C400 D 4002数列 1，1，121， ，1 231的前 n项和为( )12 nA.2n2n12nB.n1n2n1C.D.n2n13设f(n)22 427 210 23n10(nN)，则f(n )等于 ( )A.2 n 1 1) C.2 n31) D.2n1) B. 2n41)(8 (8 (8 (87 7 7 734若数列 an的前 n项和为Sn，且满足 Sn2an3，则数列 an的前 n项和 Sn 等于 ( ) n 1 3 B3n3 C3n 1 3 D 3n3A31 1 1 1 ，3 ，5 ， 7 ， ， (2n 1)2 4 8 1

7、65数列 11n， 的前 n项和 Sn 的值等于 ( )22 1An1n B2n212n1 21 n Cn21 12n1n1 Dnn2 26数列 an1 9 ，其前 n项之和为，则n ( )n(n1) 10A 10 B 9 C10 D9二、填空题：7 已知函数 f(x)对任意 xR，都有 f(x)1f (1x)，则f(2)f(1)f (0)f (1)f (2)f(3) _.18.22223 43 4 2 2nn2 等于 _29数列1，2 211 1 1， 的前 n项和等于 _24 26 282 3 410函数 f (n)2 (n为奇数 )nn2 (n为偶数 )，且 anf(n)f(n1)，则a

8、1a2 a1000_.二、解答题：11已知数列 an 的前 n项和为Sn，且3S an n21*(n N ) （）求数列 an 的通项公式；（）在数列 b 中， b1 5 ， bn 1 bn an ，求数列 bn 的通项公式n12.数列 an 的前 n项和为Sn ，若 a1 2 且 Sn Sn 1 2n（ n 2，*n N ）.( I ) 求 Sn ；3( II ) 是否存在等比数列 bn 满足 b1 a1, b2 a3，b3 a9 ？若存在， 则求出数列 bn 的通项公式； 若不存在， 则说明理由 .13. 已知 an 是公比为 q 的等比数列，且 a1 2a2 3a3 .（）求 q 的值；（）设 b 是首项为 2，公差为 q的等差数列，其前 n 项和为 Tn . 当 n 2时，试比较 bn 与Tn 的大小 .n14. 已知数列 an 满足以下两个条件：点 ( , )an a 在直线 y x 2 上，n 12 x首项 a1 是方程 3x 4 1 0 的整数解，（I）求数列 a 的通项公式；n（II ）数列 a 的前 n 项和为 Sn ，等比数列 bn 中， b1 a1 ，b2 a2 ，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，解不等n式Tn S .n4