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1、导数中的不等式恒成立问题适用学科数学适用年级高二年级适用区域全国课时时长（分钟）120知识点1导数公式2函数的单调性3 函数中的不等式恒成立问题教学目标1 理解和掌握导数在处理不等式恒成立问题是高考的一个难点。2 能应用导数的方法来研究函数中的不等式问题，,来培养学生应用数学分析、解决实际函数的能力.3 培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质教学重点 导数的公式，函数的单调性，不等式问题教学难点 导数研究函数中的不等式问题学习过程一、复习预习考纲要求：1理解导数和切线方程的概念。2能在具
2、体的数学环境中，会求导，会求切线方程。3特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题二、 知识讲解1.导数的计算公式和运算法则几种常见函数的导数：(为常数)；()； ； ， ； 求导法则：法则 法则 , 法则： 复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 或 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种）(1) （为倾斜角）；(2) ，两点；(3) （在处的切线的斜率）；3.求切线的方程的步骤：（三步走）（1）求函数的导函数；（2） （在
3、处的切线的斜率）；（3）点斜式求切线方程；4.用导数求函数的单调性：（1）求函数的导函数；（2），求单调递增区间；（3），求单调递减区间；（4），是极值点。考点一 函数的在区间上的最值【例题1】：求曲线在上的最值 。【答案】：最大值为18，最小值为-2.【解析】:根据题意，,由函数的单调性，当，取得极大值；当，取得极小值；当，。所以最大值为18，最小值为-2.【例题2】:求曲线在上的最值范围 。【答案】:【解析】:由，该函数在上单增，在上单减，当；。曲线在上的最值范围为。考点二 用导数研究函数的单调性【例题3】：已知函数在上是单调递增函数，求的取值范围。【答案】：【解析】：，因为在上单调递增，
4、所以，即：在上恒成立，即：，所以， 所以，。【例题4】：设函数求函数的单调区间；【答案】：若，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减。【解析】：由，得，若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，若，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减。考点三 用导数证明不等式【例题5】：设函数，证明：当时，【答案】：如下【证明】：当时，当且仅当,令，则当时，在是增函数：当时，在是减函数，于是在处达到最小值，因而当时，即所以当时，【例题6】：设函数，证明：当0时，0；【答案】：如下【证明】：，（仅当时）故函数在单调递增，当时，故当。考点四 函数中含参数的问题【例题7】：设，其中为正实数，若为上的单调函
5、数，求的取值范围【答案】：【解析】：对求导得 若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a0，知，在R上恒成立，因此由此并结合，知【例题8】：已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是【答案】：【解析】：因为，即,所以。考点五 导数的综合问题【例题9】：设，讨论函数的单调性【答案】：如下【解析】：函数的定义域为，令， 当时，令，解得则当或时，当时，则在，上单调递增，在上单调递减 当时，则在上单调递增 当时，令，解得，则当时，当时，则在上单调递增，在上单调递减【例题10】：设函数，（）求的单调区间；（）求所有实数，使对恒成立【答案】：的增区间为，减区间为 【解析】：（1）因为
6、，所以由于，所以的增区间为，减区间为 （）证明：由题意得，由（）知内单调递增，要使恒成立，只要，解得四、课堂练习【基础型】1若不等式x44x32a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围答案：解析：记F（x）=x44x3x44x32a对任意实数x都成立，F（x）在R上的最小值大于2a求导：F（x）=4x312x2=4x2（x3），当x（，3）时，F（x）0，故F（x）在（，3）上是减函数；当x（3，+）时，F（x）0，故F（x）在（3，+）上是增函数当x=3时，函数F（x）有极小值，这个极小值即为函数F（x）在R上的最小值即F（x）min=F（3）=27，因此当2a27，即a29时，等式x44x
7、32a对任意实数x都成立，故答案为：（29，+）2若不等式 2x1m(x2-1)对满足2m2的所有m都成立，求x的取值范围。答案：解析：原不等式化为 (x21)m(2x1)0,记f(m)= (x21)m(2x1) (2m2)根据题意有：，即：解之得x的取值范围为【巩固型】1若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是 （A） （B） （C） （D）答案D解析：因为在上递增，恒成立，即，所以。2在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大是 。答案：解析：，所以，在上单调增，在单调减，【
8、提高型】1设. （1）如果在处取得最小值，求的解析式； （2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和的值答案：（2）m=2，n=3或，解析：（1）已知，又在处取极值，则，又在处取最小值-5.则，（2）要使单调递减，则又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。即有：b-a为区间长度。又又b-a为正整数，且m+n10,所以m=2，n=3或，符合。2设，（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）求的取值范围，使得对任意0成立答案：（1）（3）解析：（1）由题设知，令0得=1，当（0，1）时，0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。当（1，+）时，0，是增函数，故（1，+）是的
9、单调递增区间，因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为(2)，设，则，当时，即，当时，因此，在内单调递减，当时，即（3）由（1）知的最小值为1，所以，对任意，成立即从而得。五、课程小结本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往有一定的难度，所以需要学生要准确的理解知识点，灵活并熟练地掌握求导公式，学会建立切线方程，特别是没有给出具体点切线方程的建立。用点线式求切线方程的步骤：用导数求函数的单调性：（1）求函数的导函数；（2），求单调递增区间；（3），求单调递减区间；（4），是极值点。六、课后作业【基础型】1设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性
10、；（II）证明：答案：解析：（I），令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得，当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则，当时，在单调递增；当时，在单调递减。，故2（）设函数，证明：当0时，0；（）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：.答案：如下解析：（），（仅当时）故函数在单调递增.当时，故当0时，0.（）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为，要证（）1
11、9. 即证,所以. 即再证：，即证，即证，即证由（），当0时，0.令则，即，综上有：。【巩固型】3已知函数f(x)exln(xm)，当m2时，证明f(x)0.答案：如下证明：当m2，时，故只需证明当m2时，.当m2时，函数在(2，)单调递增又f，故在(2，)有唯一实根x0，且当时，f；当时，f，从而当xx0时，f(x)取得最小值由得， 故. 综上，当m2时，f(x)0.4已知函数，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线.（）求，的值；（）若2时，求的取值范围.答案：（1）（2）1，e2解析：(1)由已知得.而，故.从而.(2) 由(1)知，设函数，则由题设可得，即.令得，.若，则.从而当时，
12、；当时，.即F(x)在(2，x1)单调递减，在(x1，)单调递增故F(x)在2，)的最小值为F(x1)而.故当时，即恒成立若，则从而当x2时，即F(x)在(2，)单调递增而，故当时，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则.从而当时，不可能恒成立综上，k的取值范围是1，e25已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。答案：（1），（2）解析：（），由于直线的斜率为，且过点即解得，。（）由（）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，h(x)递减。而故当时， ，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii
13、）设0k0,故 (x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0,与题设矛盾。【提高型】6已知函数()证明：曲线（）若,求的取值范围。答案：解析：() ，又曲线的切线方程是：，在上式中令，得所以曲线（）由得，（i）当时，没有极小值；(ii)当或时，由得故。由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是。7已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明： .答案：.解析：，,题设等价于.令，则，当，；当时，是的最大值点，综上，的取值范围是.()由（）知，.当时，；当时， ，所以.8设函数（）证明：当时，；（）设当时，求的取值范围答案：解析：（）当时，当且仅当,令，则当时，在是增函数：当时，在是减函数，于是在处达到最小值，因而当时，即所以当时，（）有题设，此时，当时，若则不成立；当时，令，则当且仅当（i）当时，由（）知 .在是减函数，即()当时,由()知,.当时，所以，即，综上，的取值范围是。
导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)
