带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例析

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1、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例析湖北省恩施高中 陈恩谱名师指路例1：如图所示，长为L的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，板不带电现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A使粒子的速度vC使粒子的速度vD使粒子的速度v时粒子能从右边穿出（2）粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O点，由几何关系，有 r2由 r2 ，得 v2 所以v时粒子能从左边穿出【解后反思】本题容易漏选A，出错的原因是作轨迹圆时，没有将r先取较小值再逐渐增大，从而未分析出粒子速度较小轨迹半径较小

2、时，还可以从磁场左边界穿出的情况。例2：如图所示，在0xa、0y范围内有垂直手xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。【思维导引】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之二，所有这些问题，其答题通用步

3、骤是：第一步，找出轨迹圆圆心所有可能的位置，第二步，按一定顺序尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点，利用临界轨迹圆，结合几何关系，算出对应的轨迹半径，进而计算相应的速度或者磁感应强度、时间等。【要点提醒】入射点和入射速度大小确定，但入射方向不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“以入射点为圆心，以为半径的圆”上即所谓“圆心圆”上。【手把手】本题给定的情形是粒子轨道半径r大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O，入射点O到任一圆心的距离均为r，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆

4、”以入射点O为圆心、r为半径的圆周上；作出该圆心圆（如图甲）。图乙图甲【要点提醒】考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起这和前一个题型要求“半径从小逐渐取大”是同样的目的：避免打乱仗和漏掉其中一种情况。【手把手】取“圆心圆”上不同点为圆心、r为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹对应弦长大于轨迹对应弦长半径一定、圆心角都较小时（均小于180），弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长。OyxCRDAaPv【手把手】最后一个离开磁场的粒子在磁场中运动时间最长，由题意，该粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一，其圆心角为90，由前述分析可知，轨迹对应圆心角为90。【手把手】最后将轨

5、迹作在答题卡的题图上，利用几何关系求出该临界轨迹圆的半径，进而求解速度的大小和方向。【解答】设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：，解得： 当a/2R0，0x0，xa的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值已知速度最大的粒子在0xa的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求

6、两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。【提示】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之一，入射点和入射方向已知，入射速度大小不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。 图乙图甲a2a2aa【答案】竖直屏上发亮的范围从0到2a，水平屏上发亮的范围从2a到【解答】 粒子在0xa的区域，由对称性可知，粒子在xa的区域内的轨迹圆圆心均在在x=2a直线上，在x=2a直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，可作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆为半径最小的情况，轨迹圆为题目所要求的速度最大的粒子的轨迹。粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为： x 速度小

7、的粒子将在xa的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a。 轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。 速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和，C在y轴上，有对称性可知在x=2a直线上。 设t1为粒子在0xa的区域中运动的时间，由题意可知 ，由此解得： 由式和对称性可得 所以 即弧长NP为1/4圆周。因此，圆心在x轴上。 设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角可得 由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发

8、亮范围的右边界的坐标 【易错提醒】本题容易把握不住隐含条件所有在xa的区域内的轨迹圆圆心均在在x=2a直线上，从而造成在xa的区域内的作图困难；另一方面，在xa的区域内作轨迹圆时，半径未从轨迹圆半径开始取值，致使轨迹圆未作出，从而将水平荧光屏发亮范围的左边界坐标确定为x=a。pabcdO【练习2】如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场。在t=0时刻，一位于ad边中点O的粒子源在abcd平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od边的夹角分布在0180范围内。已知沿Od方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界cd上的p点离开磁场

9、，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L，粒子重力不计，求：（1）粒子的比荷q/m；（2）假设粒子源发射的粒子在0180范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比；（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。【提示】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之二，入射点和入射速度大小确定，但入射方向不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“以入射点为圆心，以为半径的圆”上即所谓“圆心圆”上。【答案】，5/6 ，O3pabcdOpabcdO图甲图乙O1O2O4【解答】以L为半径、O点为圆心作“圆心圆”（如图甲）；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹

10、开始画起（轨迹），在“圆心圆”取不同点为圆心、以L为半径作出一系列圆（如图乙）；其中轨迹与轨迹对称，在磁场中运动时间相同；轨迹并不经过c点，轨迹对应弦长短于轨迹对应弦长即沿轨迹运动的粒子最后离开磁场。（1）初速度沿Od方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其园心为n，由几何关系有： , 粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得，得 (2)依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O点距离相等。在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为园心，Op为半径的弧pw上。由图知 此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为5/6 （3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界b点相交，设此粒子运动

11、轨迹对应的圆心角为，则 在磁场中运动的最长时间 所以从粒子发射到全部离开所用时间为。 【易错提醒】本题因作图不认真易错误地认为轨迹经过c点，认为轨迹对应弦长等于轨迹对应弦长，于是将轨迹对应粒子作为在磁场中运动时间最长的粒子进行计算；虽然计算出来结果正确，但依据错误。【练习3】如图所示，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场一个质量为m，带电荷量为q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动当它经过图中虚线上的M(2a，a)点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点已知磁场方向垂直xOy平面(纸面)

12、向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力，试求：(1)电场强度的大小；(2)N点的坐标；(3)矩形磁场的最小面积【提示】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之四：已知初、末速度的方向（所在直线），但未知初速度大小（即未知轨道半径大小）.这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。【答案】 【解答】 粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有 得 设粒子运动到M点时速度为v，与x方向的夹角为，则 ， 即 粒子进入MN右侧，初速度方向已知，另一方面，粒子末速度由N指向M。初速度、末速度所在直线交于点M，过M点作角平分线MO，粒子轨迹圆的圆心必在直线MO上

13、。取其上一点O为圆心作出轨迹圆（如图所示）。设其半径为R，则解得粒子做圆周运动的半径为 由几何关系知， 所以N点的纵坐标为 横坐标为 当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小。则矩形的两个边长分别为 所以矩形磁场的最小面积为 【练习4】如图所示，在xOy平面内有一半径为R、与x轴相切于原点的圆形区域，该区域内有垂直于xOy平面的匀强磁场。在圆的左边0y0)和初速度v的带电微粒沿x轴正方向射向该区域，其中沿半径AO方向进入磁场区域的带电微粒经磁场偏转后，从坐标原点O沿y轴负方向离开。(1)求磁感应强度B的大小和方向。(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。【提示】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之六：已知初速度方向（所在直线）和出射点，但入射点不确定.这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在“以初速度所在直线为准线、出射点为焦点的抛物线”上。【解答】（1）从A点进入磁场区域的微粒轨迹圆心在A点正下方相距R的C处，微粒轨迹如图所示，可知微粒轨迹半径为；（2）所有这些微粒进入磁场后做圆周运动的圆心均在如图所示半圆虚线OCD上，在该曲线上由上到下取点作为圆心、以R为半径作一系列轨迹圆，易由图可知这些微粒均与x轴相交于原点因为圆心所在曲线半圆OCD的圆心是原点O。CDCD【答案】(1)，方向垂直xOy平面向外；（2）这束微粒均与x轴相交于原点。