高等数学基础复习资料

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1、一、单项选择题和填空题1、定义域 （1）分母不能为0：（2）偶次根号的下的值大于等于0：，（3）对数的真数部分大于零：，例1 （1）的定义域 （2）的定义域 分析（1），公共部分即交集为且 （2）即2、相等函数两个函数、，如果定义域相同和对应法则（表达式）相同，则称相等函数例2：判断下列哪些是相同函数（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）分析：（1）（3）（5）（6）不是，定义域不同 （4）不是，最终表达式不同， （2）（7）是相等函数3、奇函数、偶函数、对称性（1）称为奇函数关于原点对称（2）称为偶函数关于y轴对称例3：（1）下列函数中，（ ）是偶函数 A B C D分析：A中奇函

2、数，奇函数，且奇函数奇函数偶函数，故答案选A（2）下列函数中为奇函数的是（ A ） A B C D（3）设函数的定义域为，则函数的图形关于（ D ）对称 A B轴 C轴 D坐标原点（4）设函数的定义域为，则函数的图形关于（ B ）对称 A B轴 C轴 D坐标原点（5）函数的图形关于（ y轴 ）对称。4、基本初等函数 （1）常数函数：，偶函数（2）幂函数： ，（3）指数函数：（4）对数函数：（5）三角函数例4: 下列函数中（ ）不是基本初等函数。 A B C D 答案：选C5、函数计算例5：设，则 分析：，例6：，则 分析：法一 （令） （令） 法二 令，则 （令）例7：设，求函数的定义域和解：

3、定义域为R，即 6、无穷小量、无穷大量无穷小量的定义（均为变量）：极限为0的量为无穷小量有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小量 非零无穷小量的倒数是无穷大量（极限为无穷的量为无穷大量）无穷大量的倒数是无穷小量例8：（1）下列变量中，是无穷小量的是（ B ）（此题B中0代入可得） A B C D（2）当时，下列变量中（ C ）是无穷小量（此题C中0代入即可） A B C D （3）当时，下列变量中（ B ）是无穷大量（此题无穷小的倒数是无穷大） A B C D （4）已知，当 x0 时，为无穷小量7、连续，连续区间、间断点例9（1）当k=（ B ）时，在x=0处连续 A 0 B e C 2 D1

4、（2）函数在x=0处连续连续，则k=（ 1 ） （3）已知在内连续，则 2 例10（1）函数的间断点是 x=0 （2）的间断点是 x= 1 （3）函数的间断点是 x=0 （4）的间断点是 x=0 8、重要极限 例11： 9、导数定义、导数计算例12：(1) (2) （3）设，则（ A ） A 1 B C 0 D不存在 （4） 极限（ B ） A 1 B C D不存在（5） 设，且在处可导，则（ B ） A 不存在 B C 0 D1（6）设在点处可导，则（ D ） A B C D （7）已知，则 0 10、导数的应用切线的斜率，切线方程 在点处的切线斜率 切线方程例13 （1）在点处的切线斜率是

5、（ 1/2 ） （2）曲线在点处的切线方程是（ A ） A B C D （3）曲线在点处的切线方程为（ A ） A B C D 11、单调性（单调递增、单调减少）定义： （1）如果，则函数单调增加（走上坡路） （2）如果，则函数单调减少（走下坡路）例14（1）在指定区间内，函数（ D ）是单调增加的。 A B C D （2）函数在区间内满足（ B ） A 先单调上升后单调下降 B 单调上升 C先单调下降后单调上升 D单调下降（3）函数的单调增加区间为 x2 12、驻点：满足的点称为驻点例15：函数的驻点是 13、原函数：若函数的导数是，即，则称函数是的原函数.例16（1）若的一个原函数为，则（

6、 ） A B C D （2）设的一个原函数是，则 A. B. C. D. （3）在某区间上，如果是的一个原函数，c为任意常数，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 14、导数与积分的关系， 其中需要注意微分的公式例17 （1）如果，则 （答案：D） A. B. C. D.（2）已知，则 （答案：C） A. B. C. D.（3） （4）下列等式成立的是（ D）AB.C. D.（5） 若，则（）（6）+C （7）若，则 （8）（B ） A. B. C. D. 15、例18 （1） 分析：为奇函数 （2） 分析：为偶函数 （3）（ ） A0 B C D分析：，为奇函数 （4） 分析：为奇

7、函数，所以0 （5） 3 16、无穷限广义积分，结论：收敛，；发散，例19：（1）下列无穷积分中收敛的是（ B ） A. B. C. D. （2）若无穷积分收敛，则 1 17、凑微分法（第一换元法）例20：若，则（B ） A. B. C. D. 二、计算题1、极限例1（消元法） 例2（重要极限法）（1） （2）例3（最高次幂法）（1） （2）2、导数计算（四则运算、复合求导） 例4: 求，解： 例5: ，求解： 3、定积分与不定积分的计算 凑微分法（第一换元法）、分部积分法（参考第四次作业内容）（或积分相关复习内容）四、实际问题的最大值和最小值应用题（16分）（注意开口，还是非开口）例1 圆柱

8、体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高h，与底半径r满足 所以 圆柱体的体积公式为 求导得令得，并由此解得，即当底半径为，高时，圆柱体得体积最大。例2设一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小。（注意是两个底）解：设底半径为，则高为，表面积为可得，令可得 故当半径为，高为时，表面积最小例3欲做一个底为正方形，容积为108立方米的开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x，高为h，用料为y，由已知 令，解得是唯一驻点所以当，用料最省例4求曲线上的点，使其到点的距离最短 解：曲线上的点到点A（3，0）的距离公式为

9、与在同一点上取到最大值，为计算方便求的最大值点，将代入得 令，求导得 令得。并由此解出，即曲线上的点到点A（3，0）的距离最短。练习1. 求曲线上的点，使其到点的距离最短解： 解：曲线上的点到点A（2，0）的距离公式为 与在同一点上取到最大值，为计算方便求的最大值点，将代入得 令，求导得 令得。并由此解出，即曲线上的点和点到点A（2，0）的距离最短。2.求曲线上的点，使其到点的距离最短解：解：曲线上的点到点A（2，0）的距离公式为 与在同一点上取到最大值，为计算方便求的最大值点，将代入得 令，求导得 令得。并由此解出，即曲线上的点和点到点A（2，0）的距离最短。3. 欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x，高为h，用料为y，由已知 令，解得是唯一驻点所以当，用料最省4. 设一体积为V的开口圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小。解：设底半径为x，则高为，表面积为可得，令可得是唯一的驻点即最小值点 故当半径为，高为时，表面积最小注：例4同练习1、练习2相似； 例3与练习3相似，例2与练习4的区别在于有没有开口