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1、1.1 什么是数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模,第一章 建立数学模型,玩具、照片、房屋模型 , 实物模型,地图、电路图、分子结构图 , 符号模型,模型：为了一定目的，对原型的主要特征进行简化、抽象得到的一个低代价近似替代物。,你常见的模型,数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的对象, 从而更有效地解决实际问题。,1.1 什么是数学模型,解：用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小时20千米/小时.,甲乙两地相距750千米
2、，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,x =20 y =5,你熟悉的数学模型“航行问题”,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20, y=5）；,回答问题（船速每小时20千米/小时）。,航行问题建立数学模型的基本步骤,Thats all？,更现实的“航行问题”,水速、船速不是常数； 航行条件限制 调度问题 经济问题 ,扩展阅读：中国大学生数学建模竞赛(CUMCM) 2000钢管运输与订购,可在竞赛网站下载,
3、一句话小结,数学模型是复杂现实问题的合理简化，可反映现实问题的主要特征。,通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的对象, 从而更有效地解决实际问题。,建立数学模型的全过程（包括模型假设，模型表述、问题求解、结果解释、结论检验等）,数学模型(Mathematical Model),数学建模（Mathematical Modeling),数学模型 和 数学建模,你身边的数学模型：购房贷款,作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答客户各方面的问题。现在要制作一个软件，根据客户所选房屋的建筑面积、每平方米单价、首付比例，贷款种类、贷款期限、还款方式等信息计算下列信息：
4、房款总额、首付款额、月还款额等。,NEW,分析与假设,贷款种类:1 商业 2 公积金 3 组合(一般) 还款方式: 等额本息,等额本金 假设首付比例、贷款期限符合政府规定 假设自借款日一个月后，每月固定时间还款 不考虑贷款利率的变化（当前计算结果贷款利率改变以后失效）,数学建模,房款总额T=建筑面积S每平方米单价R 首付款额F=房款总额T首付比例p 考虑 组合贷款(其他为特例)。设公积金贷款AT-F元， 那么商业贷款为B =T-F-A元 设后台变量：公积金贷款N1月，年利率r1，商业贷款N2月，年利率r2 。,月还款额怎么算？,概念：月利率=年利率/12,等额本息情形,设公积金月还M元，第n个
5、月公积金贷款欠款xn. 那么 xn=xn-1(1+r1/12)-M, 计算得 xn= xn-2(1+r1/12)2-M (1+r1/12)-M = x0 (1+r1/12)n-M (1+r1/12)n-1+1 由于 x0=A, xN1=0. 那么 A (1+r1/12)N1-12M (1+r1/12)N1-1/ r1=0 这样 M=A r1 (1+r1/12)N1 /12/ (1+r1/12) N1 -1 同理 可以计算商业贷款月还款额,第n月还款额公式,等额本金情形,月还本贷款本金还款月数，利息月月清 月还款额（贷款本金还款月数）（所欠本金当月利率） 第一个月公积金月还 A/N1+ Ar1/
6、12 第二个月公积金月还 A/N1+ (A-A/N1)r1/12 . 第N1个月公积金月还 A/N1+ A1-(N1-1)/N1r1/12,第n月还款额公式,后继工作/例子,收集数据，编写软件(界面计算)，写说明书。 例子: 80平米, 单价15000元, 首付30%, 公积金40万, 期限20年,第一套房商业利率7. 05%*0.85,公积金利率4.9% (2012年1月1日6月7日). T, F, M=hmorgage2012(80, 15000, 0.3, 400000, 240, 240, 1) 等额本息(1): 5768元/月(总借84万，约还138万) 等额本金(2): 7331，
7、7315，, 3516 (约还130万),习题,补充题1: 如果是第二套住房，且全部为商业贷款（基准利率*1.1）, 等额本息每个月要付多少? 最新情况(2012年7月6日)：第一套房商业利率6.55%*0.85，公积金4.5%. 补充题2: 如果原案例（第一套）是2012年3月1日贷款买房，2013年的月还款将调整为多少？(提示：存量房贷利率每年1月1日调整一次,可假设2012年8月以后利率不再调整),一句话小结,只要你留意，数学建模就在你身边 数学建模正在不断更新中,场景,1.3 示例： 如何施救药物中毒,两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.,诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、
8、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.,按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是100200mg ，儿童是35 mg/kg.,过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，浓度100g/ml会出现严重中毒,浓度200g/ml可致命.,医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100200 g/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.,调查与分析,转移率正比于x,排除率正比于y,认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型” .,药量x(t),药量y(t),血液系统对药物的吸收率 和排除率可以由半衰期(下降一半所需时间)确定.
9、,半衰期可以从药品说明书上查到(氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h) .,通常，血液总量约为人体体重的7 % 8%，体重5060 kg的成年人有4000ml左右的血液.,目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml.,调查与分析,血药浓度=药量/血液总量,口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍.,临床施救的办法：,体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证.,模型假设,1. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系数(0)，总剂量1100 mg药物在t=0瞬间进入胃肠道, x(0)=11
10、00.,2. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数(0)，t=0时血液中无药物, y(0)=0.,3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h.,4. 孩子的血液总量为2000 ml.,胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）.,模型建立,?,注意: 药物的转移排除并不是匀速的!,模型建立,x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数),y(t)由吸收而增长的速度是x，由排除而减少的速度与y(t) 成正比(比例系数).,血药浓度=药量/血液总量,x(0)=1100,y(0)=0,模型求解,药物吸收的半衰期为5 h,药物排除
11、的半衰期为6 h,只考虑血液对药物的排除,血液总量2000ml,血药浓度200g/ml,结果及分析,胃肠道药量,血液系统药量,血药浓度100g/ml,孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3h后将有生命危险！,y(2)=236.5,施救方案,口服活性炭使药物排除率增至原来的2倍.,孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t),=0.1386 (不变)， =0.11552=0.2310,注意：施救前的 与施救后的 不同，须分段计算！,施救方案,施救后血液中药量z (t)显著低于y(t).,z (t)最大值低于致命水平.,要使z (t)在施救后立即下降，可算出至少应为0.4885.
12、,若采用体外血液透析，可增至0.11556=0.693，血液中药量下降更快(习题7)；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.,一句话小结,数学建模用数学方法可以帮助我们（以较低的成本）对情况的发展做预判，从而帮助我们做出正确的决策。,数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的对象, 从而更有效地解决实际问题。,习题,P21: ex6, ex7,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析
13、没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数,1.4 数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态 ,数学方法,初等数学、最优化（规划）、微分差分方程、概率统计 、图论 ,表现特性,描述、优化、预报、决策 ,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,数学应用题与数学建模的区别,数学建模 技术+艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,1.6 怎样学习数学建模,
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