第一章——勾股定理及其应用

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除勾股定理应用【ABC知识要点】1勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方表达形式：在中，的对边分别为，则有：；勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积

2、不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为，大正方形面积为 所以方法二：，化简得证3勾股定理的逆定理是判别一个三角形为直角三角形常用的方法。如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若

3、，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边4. 勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数常见的勾股数，如；等5. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形【典型例题】考查勾股定理 例.在中，已知，求的长已知，求的长分析：直接应用勾股定理解：勾股定理求长度例2 如图（

4、8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.解析： 由题意可知ACD中,ACD=90,在RtACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2.故水深为2米.利用勾股定理求线段长度例3 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：

5、解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。解：根据题意得RtADERtAEFAFE=90, AF=10cm, EF=DE设CE=xcm，则DE=EF=CDCE=8x在RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，BF=6cmCF=BCBF=106=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8x) 2=x2+426416x+x2=2+16x=3(cm),即CE=3 cm利用勾股定理逆定理判断垂直例4 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直

6、吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；如果MN=a15,则92+122=81+144=225, a2225,即92+122 a2，所以A不是直角。旋转问题：例5 如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，若AP=3，求PP的长。变式1：如图，P是等边三角形ABC内一

7、点，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的边长.分析：利用旋转变换，将BPA绕点B逆时针选择60，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的点，且EAF=45，试探究间的关系，并说明理由. 关于翻折问题例6 如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求BC的长.关于最短性问题例7 如右图119

8、，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？练习1如图(1)，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米2种盛饮料

9、的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5，高为12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6，问吸管要做 。3在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶DBCA第3题图D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。4.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_.选择1下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是（ ）A5，12，13B7，24，25C8，15，17D4，6，92若

10、直角三角形三边长为三个连续偶数，则它的三边长为（ ）A2，4，6B4，6，8C6，8，10D8，10，123在直角三角形ABC中，C=90，AC=12，BC=10，则BC边上中线AD的长为（ ）A12B13C15D174以直角三角形ABC的斜边AB为斜边另作一个直角三角形ABD，如果BC=15，AC=20，AD=7，则BD=（ ）A13B15C24D255如图所示，ABC中，ADBC于D，AB=26，BD=10，DC=7，则AC=（ ）A12B16C24 D25解答ABCD1.如图所示，在ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。求ABC的面积。2.已知：三角形的三

11、边长为，2mn（其中）。求证：此三角形是直角三角形。3.已知ABC三边上分别为a，b，c，a=,， 求证：4已知一个三角形的三边长分别为8、15、17，求这个三角形的面积。5.如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.6、在，ABC中，ACB=90，CDAB于D,求证：。7如图，正方形ABCD中，F为DC中点，E为BC上一点，且，求证EFA=90【精品文档】第 4 页