LESDNSRANS三种模拟模型计算量比较及其原因

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1、LES,DNS,RANS模型计算量比较摘要：湍流流动是一种超级复杂的流动，数值模拟是研究湍流的主要手腕，现有的湍流数值模拟的 方式有三种：直接数值模拟（Direct Numerical Simulation: DNS）， Reynolds 平均方式（Reynolds Average Navier-Stokes: RANS）和大涡模拟（Large Eddy Simulation: LES）。直接数值模拟目前只限于较小Re数的湍流， 其结果能够用来探索湍流的一些大体物理机理。RANS方程通过对Navier-Stokes方程进行系综平均取得描 述湍流平均量的方程；LES方式通过对Navier-Sto

2、kes方程进行低通滤波取得描述湍流大尺度运动的方程， RANS和LES方式的计算量远小于DNS，目前的计算能力都可实现。关键词：湍流；直接数值模拟；大涡模拟；雷诺平均模型1引言湍流是空间上不规则和时刻上无秩序的一种非线性的流体运动， 这种运动表现出超级复杂的流动状态，是流体力学中出名的难题，其 复杂性主要表此刻湍流流动的随机性、有旋性、统计性【1。传统计算 流体力学中描述湍流的基础是Navier-Stokes（N-S）方程，按照N-S方 程中对湍流处置尺度的不同，湍流数值模拟方式主要分为三种：直接 数值模拟（DNS）、雷诺平均方式（RANS）和大涡模拟（LES）。直 接数值模拟能够取得湍流场的

3、精准信息，是研究湍流机理的有效手 腕，但现有的计算资源往往难以知足对高雷诺数流动模拟的需要，从 而限制了它的应用范围。雷诺平均方式能够计算高雷诺数的复杂流 动，但给出的是平均运动结果，不能反映流场紊动的细节信息。大涡 模拟基于湍动能传输机制，直接计算大尺度涡的运动，小尺度涡运动 对大尺度涡的影响则通过成立模型表现出来，既能够取得较雷诺平均 方式更多的诸如大尺度涡结构和性质等的动态信息，又比直接数值模拟节省计算量，从而取得了愈来愈普遍的进展和应用。2直接数值模拟(DNS)湍流直接数值模拟(DNS)就是不用任何湍流模型，直接求解完整的三维非定常的N - S方程组，计算包括脉动在内的湍流所有瞬时运动

4、量在三维流场中的时刻演变。控制方程用非稳态的N - S方程对紊流进行直接计算,控制方程以张量形式给出:(1)(2)du * . du 1 dp * d2u dt j dxi p dxdx dxdu _L 0dxj主要数值方式由于最小尺度的涡在时刻与空间上都转变专门快，为能模拟湍流中的小尺度 结构，具有超级高精度的数值方式是必不可少的。谱方式或伪谱方式所谓谱方式或伪谱方式是目前直接数值模拟用得最多的方式，简单来讲，就是将所有未 知函数在空间上用特征函数展开，成为以下形式：V(x,t) = ua (tk(x)Mx)x (x )(3)mnpm 1 n 2 p 3m n p其中w m，中n与zp，都是

5、已知的正交完备的特征函数族。在具有周期性或统计均匀性的空 间方向一般都采用Fourier级数展开，这是精度与效率最高的特征函数族。在其它情形，较 多选用Chebyshev多项式展开，它实质上是在非均匀网格上的Fourier展开。另外，也有效 Legendre, Jacobi, Hermite或Laguerre等函数展开，但它们无快速变换算法可用。如将上 述展开式代入N-S方程组，就取得一组am所知足的常微分方程组，对时刻的微分可用 通常的有限差分法求解。在用谱方式计算非线性项例如 XW的Fourier系数时，常常利用伪谱法代替直接求 卷积。伪谱法实质上是谱方式与配置法的结合，具体做法是先将两量

6、用Fourier反变换回到物 理空间，再在物理空间离散的配置点上计算两量的乘积，最后又通过离散Fourier变换回到 2谱空间。在有了快速Fourier变换(FFT )算法以后，伪谱法的计算速度高于直接求两Fourier 级数的卷积。但出现的新间题是存在所谓“混淆误差”，即在做两个量的卷积计算时会将本 应落在截断范围之外的高波数分量混进来，引发数值误差。严峻时可使整个计算不正确乃至 不稳固，但在多数情形下并非严峻，且有一些标准的办法可用来减少混淆误差，但这将使计 算工作量增加团。高阶有限差分法高阶有限差分法的大体思想是利用离散点上函数值匕的线性组合来逼近离散点上的F(6f 泌x).、一、导数值

7、。设/为函数j的差分逼近式，则F j jfj(4)式中系数以j由差分逼近式的精度肯定，将导数的逼近式代入控制流动的N - S方程, 就取得流动数值模拟的差分方程。差分离散方程必需知足相容性和稳固性。长处(1) 直接数值求解N-S方程组，不需要任何湍流模型，因此不包括任何人为假 设或经验常数。(2) 由于直接对N - S方程模拟,故不存在封锁性问题，原则上能够求解所有湍 流问题。(3) 能提供每一瞬时三维流场内任何物理量(如速度和压力)的时刻和空间 演变进程，其中包括许多迄今还无法用实验测量的量。(4) 采用数量庞大的计算网格和高精度流体力学计算方式，完全模拟湍流流 场中从最大尺度到最小尺度的流

8、动结构，描述湍流中各类尺度的涡结构的时刻演 变，辅以运算机图形显示，可取得湍流结构的清楚与生动的流动显示。缺点DNS的主要缺点是要求用超级大的运算机内存容量与机时花费。据Kim ,Moin&Moser研究E ,即便模拟Re仅为3300的槽流，所用的网点数N就约达到了2 x 106，在向量运算机上进行了 250 h。3雷诺平均模拟(RANS)雷诺平均模拟（RANS）即应用湍流统计理论，将非稳态的N - S 方程对时刻作平均，求解工程中需要的时均量4】。所谓湍流模式理论， 就是依据湍流的理论知识、实验数据或直接数值模拟结果，对 Reynolds应力做出各类假设，即假设各类经验的和半经验的本构关 系

9、，从而使湍流的平均Reynolds方程封锁。3. 1控制方程对非稳态的N - S方程作时刻演算，并采用Boussinesp假设，取得Reynolds 方程d U 一 dU f 1 d pd 2 U8 uu:dtj dx_i p fix.dx_dx_dx_前L Ufixi（6）式中，附加应力可记为七=-pu；u j,并称为雷诺应力。这种方式只计算大尺度平均流动，而所有湍流脉动对平均流动的影响，表现 到雷诺应力.中。正因为雷诺应力在控制方程中的出现,造成了方程不封锁，为 使方程组封锁，必需成立模型。3. 2主要方式目前工程计算中常常利用的湍流模型从对模式处置的起点不同，能够将湍流 模式理论分类成两

10、大类：一类引入二阶脉动项的控制方程而形成二阶矩封锁模 型，或称为雷诺应力模型，另一类是基于Boussinesq的涡粘性假设的涡粘性封 锁模式，如零方程模型，一方程模型和二方程模型。雷诺应力模型雷诺应力模型（RSM）从Reynolds应力知足的方程动身，直接成立以UUj为因变量的偏i J微分方程，将方程右端未知的项（生成项，扩散项，耗散项等）用平均流动的物理量和湍流 的特征尺度表示出来，并通过模化封锁。封锁目标是雷诺应力输运方程：duu一 du udu du.i_j + u ij = u u J- u u +。+ D dtk dxi k dxj k dxij ij ij 式中七 是雷诺应力再分派

11、项，Dj是雷诺应力扩散项， j是雷诺应力耗散项51。典型的平均流动的变量是平均速度和平均温度的空间导数。这种模式理论，由于保留了 Reynolds应力所知足的方程，若是模拟的好，能够较好地反映Reynolds应力随空间和时刻 的转变规律，因此能够较好地反映湍流运动规律。因此，二阶矩模式是一种较高级的模式， 可是，由于保留了 Reynolds应力的方程，加上平均运动的方程整个方程组共计15个方程， 是一个庞大的方程组，应用如此一个庞大的方程组来解决实际工程问题，计算量专门大，这 就极大地限制了二阶矩模式在工程问题中的应用。涡粘性模型在工程湍流问题中取得普遍应用的模式是涡粘性模式。这是由Bouss

12、inesq仿照分子粘 性的思路提出的，即设Reynolds应力为，2-2_cu u = v (U + U + U 8 ) + k8(8)i j T i, jj ,i 3 k ,k ij 3 j、，1 -这里k 2uu.是湍动能，v t称为涡粘性系数，这是最先提出的基准涡粘性模式，即 假设雷诺应力与平均速度应变率成线性关系，当平均速度应变率肯定后，六个雷诺应力只需 要通过肯定一个涡粘性系数v T就可完全肯定，且涡粘性系数各向同性，能够通过附加的湍 流量来模化，比如湍动能k，耗散率，比耗散率w和其它湍流量匚-k /，l = k3/2 /， q 买，按照引入的湍流量的不同，能够取得不同的涡粘性模式，

13、比如常见猷-，k-w 模式，和后来不断取得进展的k -t，q-w，k-l等模式，涡粘性系数能够别离表示为v C k2 /，v C k，v = C kT，v C q2，v C、；klT RT|!T R T H T R (9)3. 3长处(1) 对运算机的要求较低，同时能够取得符合工程要求的计算结果。(2) 一旦给定合理的Reynolds应力模型，能够很容易地从RANS方程解出湍流 的统计量，所需要的计算资源小。(3) 几乎能对所有雷诺数范围的工程问题求解，并得出一些有效的结果。3. 3缺点(1) 对不同类型的湍流，需要采用不同的Reynolds应力模型，乃至对于同 一类型的问题，对应于不同的边界

14、条件需要修改模型的常数。(2) 由于不区分旋涡的大小和方向性，对旋涡的运动学和动力学问题考虑不 足，不能用来对流体流动的机理进行描述。(3) 对于非定常流动、大分离流动、逆压力梯度数值模拟等问题，受湍流模 型条件的限制，很宝贵到满意的计算结果。(4) 严峻依赖流场形状和边界条件，普适性差，计算专门大程度上依赖于经 验。4大涡数值模拟(LES)湍流大涡数值模拟(LES)是有别于直接数值模拟和雷诺平均模 式的一种数值模拟手腕。利用次网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对 大尺度紊流运动的影响即直接数值模拟大尺度紊流运动，将N-S方程 在一个小空间域内进行平均(或称之为滤波)，以使从流场中去掉小 尺度涡，

15、导出大涡所知足的方程。4. 1大体思想湍流运动是由许多大小不同的旋涡组成的。那些大旋涡对于平均流动有比较 明显的影响，而那些小旋涡通过非线性作用对大尺度运动产生影响。大量的质量、 热量、动量、能量互换是通过大涡实现的，而小涡的作用表现为耗散。流场的形 状，阻碍物的存在，对大旋涡有比较大的影响，使它具有更明显的各向异性。小 旋涡则不然，它们有更多的共性，更接近各向同性，因此较易于成立有普遍意义 的模型。基于上述物理基础，LES把包括脉动运动在内的湍流瞬时运动量通过某 种滤波方式分解成大尺度运动和小尺度运动两部份。大尺度要通过数值求解运动 微分方程直接计算出来,小尺度运动对大尺度运动的影响将在运动

16、方程中表现为 类似于雷诺应力一样的应力项,该应力称为亚格子雷诺应力，它们将通过成立模 型来模拟。实现大涡数值模拟，第一要把小尺度脉动过滤掉,然后再导出大尺度运 动的控制方程和小尺度运动的封锁方程。4. 2 过滤函数大涡模拟第一步就是把一切流动变量划分成大尺气宇和小尺气宇，这一进程 称之为滤波。滤波运算相当于在必然区间内按必然条件对函数进行加权平均，其 目的是滤掉高波数而只保留低波数，截断波数的最大波长由滤波函数的特征尺度 决定。目前较为常常利用的滤波函数主要有以下三种：Deardorff的盒式(BOX) 滤波函数、富氏截断滤波函数和高斯(Gauss)滤波函数。不可压常粘性系数的紊流运动控制方程

17、为N-S方程6:彻+彻. _ i dp +竺兰2dtdxp 6x,dx式中：S拉伸率张量，表达式为：S = (du /8x. +du /dx,)/2； y分子粘性系数；p流体密度。设将变量u,分解为方程(11 )中叫和次网格变量(模化变量)u；, ，.一一一 一 即u = u + u , u能够米用leonard提出的算式表示为：(11)u (x)二 j +8 G (x - x)u (x)dx 1-81式中G(x - x)称为过滤函数，显然G(x)知足j +8 G (x) dx = 14. 3控制方程将过滤函数作用与N-S方程的各项，取得过滤后的紊流控制方程组：冬 +d匝)_-i dp +(y

18、2S)(12)dtdxp 6x.dx由于无法同时求解出变量u和u u，所以将u u分解成u u _ u -u +t，匚 /i ji j i j ij ij即称为次网格剪切应力张量(亦称为亚格子应力)。由此动量方程又可写成：(13)du + d 2) _-1 dp * d (2 知)七dtdxp dxdxdx式中七代表了小涡对大涡的影响。4. 4常常利用亚格子模式及其特点目前，在大涡模拟中常常普遍采用的亚格子模型有标准的Smagorinsky模型、 动态涡粘性模型、动态混合模型、尺度相似模型、梯度模型、选择函数模型等7。 其中Smagorinsky模型被普遍应用。亚格子涡粘和涡扩散模型不可紧缩湍

19、流的亚格子涡粘和涡扩散模型采用分子粘性和分子热扩散形式，即一 1cT = 2v S +-8 Tij t ij 3 ij kk(14)笛(15)二K t dxi以上公式中V t和K t别离称为亚格子涡粘系数和亚格子涡扩散系数；S = (1/2)-(du /dx ) + (du /dx)是可接尺度的变形率张量。式(14)第2项是为了知足 iji j j i不可紧缩的持续方程，当Sj收缩时(Sj =0)等式两边能够相等。将亚格子应力的涡粘模型公式(14)代入到(13)式中，变形得(16)(17)di+Udi (p +匕)+_dV+V )(空+至)dtj dxdx p 3dxt dxdxSmagori

20、nsky 模型Smagorinsky模型是由Smagorinsky于1963年提出来的，该模型是第一个亚格子模型。普遍用于大涡模拟中的涡粘模型以为亚格子应力的表达式如下：1c 一 T _8 T =2v S/、ij 3 ij kk T ij(18)式中S = (1/2) -(du /dx ) + (du /dx )是可接尺度的变形率张量，V是涡粘系数。 iji jj i11963年Smagorinsky概念了涡粘系数：(19)V = (C A)2 ST S式中同=(25肖)1/2是变形率张量的大小，A是过滤尺度，CS无量纲参数，称为 Smagorinsky 系数。动态亚格子模式1991年，Ger

21、mano国 提出了动态亚格子模式，该模式以Smagorinsky模式为大体模 型，但克服了Smagorinsky模式的部份缺点。动力模型实际上是动态肯定亚格子涡粘模型的 系数。动力模型需要对湍流场做两次过滤，一次是细过滤，细过滤后再做一次粗过滤。通过在 网格尺度和查验滤波器尺度条件下计算取得的应力差来肯定应力模型系数使模型系数成为 空间和时刻的函数,从而避免了在模拟进程中对系数进行调节。因此比Smagorinsky模式所 采用的固定系数值加倍合理。相似性模式1980年Bardina提出了尺度相似模式。该模式假定从大尺度脉动到小尺度脉动的动量 输运主要由大尺度脉动中的最小尺度脉动来产生，而且过滤

22、后的最小尺度脉度速度和过滤掉 的小尺度脉动速度相似。通过二次过滤和相似性假定能够导出亚格子应力表达式。采用这种 模式能正确预测墙壁面周围的渐近特性,但预测各向不均匀的室内空气复杂流动准确性较 差。混合模式混合模式是将尺度相似模式和Smagorinsky模式叠加来肯定亚格子应力。这种模式既有 和实际亚格子应力良好的相关性，又有足够的湍动能耗散。4. 5长处(1) 能够描述小尺度湍流流动，可是计算量远小于DNS，在科学研究和工程应 用上都显示出良好的进展前景。(2) 用非均匀网格能够使网格数达到最少，节省计算资源，同时又能够保证 足够的计算精度。(3) 网格尺度比湍流尺度大，能够模拟湍流进展进程的

23、一些细节。(4) 相较于RANS方式，LES能够模拟更多的湍流大尺度运动，LES所用的湍 流亚网格应力模型受边界的几何形状和流动类别的影响小，比RANS方式所用的 Reynolds应力更具普适性。缺点(1) 小涡模型网格节点的划分极密集,需要庞大的运算机存储能力；(2) 大量数据处置和非线性偏微分方程的求解需要高速数值处置能力；(3) 仅用于比较简单的剪切流运动及管流。(4) 由于实际湍流极为复杂，数值模拟仍需要超级可观的计算时刻和实验 经费。5. LES,DNS,RANS三种模拟模型计算量比较LES, DNS,RANS三种模拟模型中DNS的计算量最大，LES的计算量介于另外二 者之间，WRA

24、NS的计算量最小。影响计算量的因素有三个：网格数量、流场的时 刻积分长度(与计算时刻长度有关)和最小旋涡的时刻积分长度(与时刻步长有 关)，其中网格数量是重要因素。直接数值模拟(DNS)中为了取得湍流问题足够精准的解，要求能足数值求 解所有旋涡的运动，因此要求网格的尺度和最小旋涡的尺度相当，即便采用子域 技术，其网格规模也是庞大的。为了求解各个尺度旋涡的运动，要求每一个方向 上网格节点的数量与Re3 4成比例，考虑一个三维问题，网格节点的数量与Re94成 比例。一般的估量如下:湍流中包括许多尺度不同的涡，为能模拟最小涡的运动， 计算网格的分辨率应足以分辨最小尺度的涡，后者以Kolmogorov

25、概念的内尺度 n =(v3,沱)为代表。而计算区域的尺寸应足以容纳最大尺度的涡，最大涡的尺度为l。因此在一个空间方向上的网点数量至少应与.n同量阶，而按照统计理论 明白那个比值 R 4 或 R* 2于是整个三维空间所需的网点总数至少为(L /N ( J 售 4或R92此数字也正是按非线性动力系统理论所估量的湍流的吸引子维数的上确界。 计算所需的内存容量应与此数成正比。另一方面计算的时刻步长应小于最小涡的 时刻尺度门.3，而总的计算时刻应大于最大涡的特征时刻Lu，因此需要计算 的步数应很多于Lm .如假设每一时刻步长的计算工作量，即便按最低限估量， 与N成正比，则总的计算工作量至少也要正比于R3

26、或R6。假设对每一时刻步的每 L 人一网点需执行100条机械指令，则对一个Rl =105的湍流问题，就需执行总共约 10 17条指令。这意味着在一个计算速度为每秒一亿次的超级运算机上也要运行约 30年。如此庞大的计算工作量即便对现今世界上最大的运算机也是不可同意的。 据Kim ,Moin &Moser研究国，即便模拟Re仅为3300的槽流，所用的网点数N就约 达到了 2x 106，在向量运算机上进行了250 h。在现有的运算性能力的限制下， 即便在少数拥有世界最大的超级运算机的科学大国，目前也只能计算中等以下雷 诺数且有简单几何边界的湍流流动。湍流大涡数值模拟与直接数值模拟相较节省专门大的计算

27、量。湍流大涡数值 模拟将湍流的大尺度脉动和小尺度脉动分开,对大尺度结构进行直接数值模拟， 通过成立亚格子尺度(亚格子尺度)模型来模拟小尺度脉动的作用。理想的湍流 直接数值模拟需要包括所有尺度的湍流脉动，一般最小的脉动尺度等于 Kolmogorov耗散尺度n,流动的最大尺度L由流动的几何条件肯定。直接数值模 拟的一维网格数应为：Ndns L/门，而大涡数值模拟的一维网格数为： N仙LA能够节省网格数(Ndn) - (nQ = 1 -G /),若是过滤尺 度等于2倍柯氏耗散尺度的话，就可以够比DNS节省87. 5 %的网格。这里咱们能 够看到完全的湍流直接数值模拟中，绝大部份的计算量花费在耗散尺度

28、中，对于 高雷诺数流动，这是很不经济的计算4。雷诺时均方程法先将紊流中的物理量如速度、浓度等分成扰动量及平均量, 再利用对控制方程作时刻平均，同时采用紊流模型仿真紊流的效应，因此大大降 低了计算量，但其结果受紊流模型的影响专门大。参考文献：1 张兆顺.湍流M.北京：国防工业出版社,20022 是勋刚.湍流直接数值模拟进展与前景.北京:北京大学力学系，19923 路 明，孙西欢,李彦军，范志高湍流数值模拟方式及其特点分析.河北建筑科技学院学报,20064 崔桂香，许春晓，张兆顺.湍流大涡数值模拟进展J .空气动力学学报,2004 ,22 (2) :121 - 1295 成水燕，李 杰,李少飞 基于两方程湍流模型的N-S方程数值计算研究.弹箭与制导学报2006,26(1)6 王玲玲.大涡模拟理论及其应用综述J.河海大学学报,2004, 32(3):2612657 肖红林，罗纪生.大涡模拟中亚格子模型的该进及其在槽道湍流中的应用J.航空动力学报，2007, 22(4) :5835878 GERMANO M ,POMELLI U ,et al. A dynamic subgrid -scale eddy viscosity model J .Phy Fluids ,1991 , (3) :1760- 1765.