立体几何的体积和表面积辅导讲义

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1、 学科教师辅导教案 学员姓名 年 级高一 辅导科目数 学授课老师课时数2h 第 次课授课日期及时段 2016年 月 日 ： ： 空间几何体的表面积和体积 1空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到

2、. (4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.2.三视图与直观图三视图画法规则：长对正，高平齐，宽相等直观图空间几何的直观图：常用斜二测画法来画. 基本步骤是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x轴，y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.3.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下

3、V(S上S下)h球S4R2VR3【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()(5)圆柱的侧面展开图是矩形()(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算()1下列说法正确的是()A相等的角在直观图中仍然相等B相等的线段在直观图中仍然相等C正方形的直观图是正方形D若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段

4、仍然平行答案D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变2某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱答案A解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.3将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3 C2 D答案C解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.故选C.4将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为()A. B. C.a3 D.a3答案D解析O是AC的中点，连接DO

5、，BO，ADC，ABC都是等腰直角三角形因为DOBOa，BDa，所以BDO也是等腰直角三角形又因为DOAC，DOBO，ACBOO，所以DO平面ABC，即DO就是三棱锥DABC的高因为SABCa2，所以三棱锥DABC的体积为a2aa3，故选D.题型一空间几何体的结构特征例1给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的序号是_答案解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一

6、定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析 给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面

7、是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案A解析不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等 图1图2题型二空间几何体的三视图和直

8、观图例2(1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_思维点拨(1)由上向下看，可见线段都应画出；(2)与x轴平行或重合的线段长度不变，与y轴平行或重合的线段长度为原来的.解析(1)该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.(2)画出坐标系xOy，作出OAB的直观图OAB(如图)D为OA的中点易知DBDB(D为OA的中点)，SOABSOABa2a2.思维升华(1)三视图中，

9、正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”；(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱(2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形答案(1)B(2)C解析(1)如图，几何体为三棱柱(

10、2)如图，在原图形OABC中，应有OD2OD224 cm，CDCD2 cm.OC6 cm，OAOC，故四边形OABC是菱形题型三空间几何体的表面积与体积例3(1）如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为() A. B. C. D.(2)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为() A. B. C6 D7(3)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为_思维点拨(1

11、)由侧视图，可想到几何体为两圆柱的组合体；(2)考虑实、虚线的意义答案(1)C(2)A(3)123解析(1)由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体其中左面圆柱的高为4 cm，底面半径为2 cm，右面圆柱的高为2 cm，底面半径为3 cm，则组合体的体积V1224322161834(cm3)，原毛坯体积V232654(cm3)，则所求比值为.(2)该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，其体积为V2222111.(3)设正方体的棱长为a，正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图所示，有2r1a，r1，S14ra2.球与正方体的各条棱的切点在各棱

12、的中点，过球心作正方体的对角面得截面如图所示，有2r2a，r2a，S24r2a2.正方体的各顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面如图所示，有2r3a，r3a，S34r3a2.综上可得，S1S2S3123.思维升华(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法 (1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48 B328 C488 D80(2)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，

13、形成三棱锥CABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A. B. C. D.答案(1)C(2)C解析(1)由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为.所以S表4224(24)4242488.(2)因为C在平面ABD上的射影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中，AOCOAC，所以侧视图的面积等于SAOCCOAO，故选C.三视图识图中的易误辨析典例：将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()易

14、误分析(1)不能正确把握投影方向、角度致误；(2)不能正确确定点、线的投影位置；(3)不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线解析侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.答案B温馨提醒(1)因对三视图的原理认识不到位，区分不清选项A和B，而易误选A；(2)因对三视图的画法要求不明而误选C或D.在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用虚线画；(3)解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图，在复习时要明确三视图的含义，掌握“长对正、宽相等、高平齐”的要求.方法与技巧

15、1三视图的画法特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽2求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法(2)求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求

16、三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值失误与防范1画三视图应注意的问题(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同2求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.1下列结论中正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫

17、圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线答案D解析当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误2五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()A20 B15 C12 D10答案D解析如图，在五棱柱A

18、BCDEA1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2510(条)3已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. B4 C2 D.答案D解析正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r 1，球的体积Vr3.故选D.4某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A72 cm3 B90 cm3 C108 cm3 D138 cm3答案B解析该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示VV三棱柱V长方体43343618

19、7290(cm3)5沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案B解析由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故A不正确6若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与表面积的比值为_答案解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则，则h2r，则S侧2rh4r2，S全4r22r2，故圆柱的侧面积与表面积的比值为.7一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是_答案8解析由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四

20、分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积V238.8如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.答案124解析设三棱锥FADE的高为h，则.9如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比解由题意可知这三个几何体的高都相等，设长方体的底面正方形的边长为a，高也等于a，故其表面积为S16a2.直三棱柱的底面是腰长为a的等腰直角三角形，高为a，故其表面积为S2aaaa

21、(aaa)a(3)a2.圆柱的底面是半径为a的圆的，高为a，故其表面积为S3a2a2a2a22aa(2)a2.所以它们的表面积之比为S1S2S36a2(3)a2(2)a26(3)(2)10已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm和30 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高解如图所示，三棱台ABCA1B1C1中，O、O1分别为两底面中心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高由题意知A1B120，AB30，则OD5，O1D1，由S侧S上S下，得(2030)3DD1(202302)，解得DD1，在直角梯形O1ODD1中，

22、O1O4，所以棱台的高为4 cm.1、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF； (2)若EB2，求四边形GEFH的面积(1)证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面内，所以PO底面ABCD.又因为平面G

23、EFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K为OB的中点再由POGK得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.思维升华高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明，一般以解答题的形式出现，试题难度中等，但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求，在试卷中也可能以选择题或者填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系

24、中的应用2、如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.证明(1)由ASAB，AFSB知F为SB中点，则EFAB，FGBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，且AFSB，知AF平面SBC，则AFBC.又BCAB，AFABA，则BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.3、在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，

25、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论(1)证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线，所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1和AC为平面ACC1A1内两条相交的直线，所以BC平面ACC1A1.(2)解取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设点O为A1C，AC1的交点由已知，点O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.连接OM，从而四

26、边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.4、（2016年北京高考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC平面ABCD，（I）求证：； （II）求证：；（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由. 解：（I）因为平面，所以又因为，所以平面（II）因为，所以因为平面，所以所以平面所以平面平面（III）棱上存在点，使得平面证明如下：取中点，连结，又因为为的中点，所以又因为平面，所以平面 5、（2016年全国III卷高考）如图，四棱锥中，平面，

27、为线段上一点，为的中点（I）证明平面； （II）求四面体的体积.（）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为. .9分取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积. .12分6、如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为，的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）求三棱锥的体积试题解析：（）因为分别为AB，VA的中点，所以.又因为平面MOC，所以平面MOC.（）因为，为AB的中点，所以.又因为平面VAB平面ABC，且平面ABC，所以平面VAB.所以平面MOC平面VAB.（）在等腰直角三角形中，所以.所以等边三角形VAB的面积.又因为平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为.7、如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，、分别为、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.【简解】(1)AB平面B1BCC1即可；（2）取AB中点G，C1FEG即可；(3)8、如图所示，在四棱锥中，平面，是中点， 是上的点，且，为中边上的高。（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积；（3）证明：平面【简解】（1）略 （2）是中点点到面的距离 ，三棱锥的体积（3）取的中点为，证出DG平面，DGEF得：平面 第 16 页（共 16 页）