华北电力大学崔翔教授工程电磁场ppt2

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1、2021/6/31第2章 静电场2021/6/322.1 自由空间中场的基本方程和特性1 1.静电场的基本方程静电场的基本方程n由 ，电场可以用一个标量场的梯度表示:可见，静电场是有散场、无旋场。2 2.电场强度与电位电场强度与电位n电场力将点电荷q 沿任意路径从P点移动到Q点所作的功为)(QPQPQPQPqdlqdqdqWlllEn由此定义PQ两点间的电位差（电压）为：2021/6/333 3.电场的分布电场的分布n点电荷的电场为：n多个点电荷的电场为：n线电荷的电场为：204)()(lrdlRr erEn面电荷的电场为：204)()(SrdSRr erEn体电荷的电场为：204)()(Vr

2、dVRr erEqWUQPPQn如果以Q点为零电位参考点，则P点电位为：QPPdlEn如果以无穷远点为零电位参考点，则P点电位为：PPdlE2021/6/34n点电荷的电位为：rqdrqdrrr02044)(lelErn多个点电荷的电位为：nkkknkkkRqq10104141)(rrrn线电荷的电位：04)()(lRdlrrn面电荷的电位：04)()(SRdSrrn体电荷的电位：04)()(VRdVrr2021/6/354 4.电场线和等位面电场线和等位面nE 线的定义:线上任一点的切线方向与该点的电场强度方向一致。0 lE dzzyyxxEEEeeeEdzdydxdzyxeeelzyxEd

3、zEdyEdxn等位面:Cx,y,z)(2021/6/365 5.电偶极子电偶极子 n相距很小距离l 的一对等值异号的电荷，称为电偶极子.n偶极子的电矩，简称电偶极矩:n远离电偶极子的一点P(r,)的电位:n其中:2021/6/37n故得:n偶极子的电场 r rEsincos24130rprrn因为rl，将r1、r2用二项式定理展开，略去高阶项，得 2021/6/382.2 导体和电介质v静电场中的导体处于静电平衡状态；v导体内部电场处处为零；v所有电荷分布在导体表面上；1 1.静电场中的导体静电场中的导体 2 2.静电场中的介质静电场中的介质 v介质极化现象(演示）v极化强度：介质极化后每单

4、位体积内电偶极矩的矢量和，即 VVpP0limv导体内部是等位体，导体表面是等位面；v导体表面的电场垂直于导体表面。2021/6/39v大多数介质在电场作用下产生极化时，其电极化强度P与介质中的合成电场强度E成正比，即 P=e0E v体积元dV内的等效电偶极子的电偶极矩p=P(r)dV，它在远区P点处产生的电位应为 VRVRddd)1(414020PRP2021/6/310v体积V内所有电偶极矩在P点产生的合成电位为 VVRdd1410Prv根据矢量恒等式 PPPRRR111上式可表示为 VSVRRSddPnPr004141v由此定义极化电荷的面密度与体密度分别为 nePpPp2021/6/3

5、11v在引入极化电荷密度描述的基础上，类比于自由电荷产生的电场，极化电荷在真空中所产生的电场，可分别通过电位 和场强E E表示为 SVSVrrrrrrrdd41PP0 SVSVdd413P3P0rrrrrrrrrrrE2021/6/3122.3 电介质中的电场 1 1.电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律v电介质中高斯定理的微分形式为)(100PEPv上式可以转化为 PE0v由此定义电位移矢量 PED0v电介质中高斯定理的积分形式为 qVVSddSD2021/6/3132 2.介电常数介电常数 击穿场强击穿场强 v对于均匀且各向同性的线性电介质 EPED)1(00ev令)1(0e则有，EEDr

6、0其中，为相对介电常数，为介电常数。er1v某种介质材料所能承受的最大场强就称为该电介质的击穿场强，或称为该材料的电介质强度。2021/6/3143 3.不同媒质分界面上的边界条件不同媒质分界面上的边界条件(1)两种不同介质分界面上的边界条件 vE E 的切向分量满足的边界条件 01211lElEdttllEttEE210)(21EEnv或或 2021/6/315vD D 的法向分量满足的边界条件 SSDDdnnS12SDnnDD12)(12DDnv或或 2021/6/316 若两种介质均为线性且各向同性，即D D1=1E E1，D D2=2E E2，应有1=1，2=2。两种介质分界面上通常不

7、可能存在面分布形式的自由电荷(=0),2211sinsinEE222111coscosEE两式相除，即得2121tgtgv介质分界面上的极化电荷 nnnnPPpPP212121ePeP 结合nnnPED0)(120nnpEEv折射率 2021/6/317(2)导体和介质分界面上的边界条件 E2021ttEE02tDnD2/2nE设导体为媒质1，介质为媒质2。在导体中，E E1=D D1=0；分界面上的边界条件(3)由电位表示的边界条件 ttEE21nn112221nnDD12 对应 有；对应 有 对应导体和介质分界面上的边界条件 C21n222021/6/3182.4 边值问题 1 1.边值问

8、题的分类边值问题的分类 v泊松方程和拉普拉斯方程 DED 把 代入 得EEED 对于均匀介质，为常数。再代入E 得/2对于场中无自由电荷分布(=0)的区域，02在直角坐标系中 2222222zyxv定解条件(1)给定的是场域边界S上的电位值，边界条件称为第一类边界条件，它与泛定方程组合成第一类边值问题。b1rrfS2021/6/319(2)给定的是场域边界S上电位的法向导数值，边界条件称为第二类边界条件，它与泛定方程组合成第二类边值问题。b2rrfnS(3)给定的是场域边界S上电位及其法向导数的线性组合，边界条件称为第三类边界条件，它与泛定方程组合成第三类边值问题。b43rrrrfnfS 如果

9、场域扩展至无界空间，则还必须给出无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的无界电场问题，根据物理问题的本质，在无限远处(r)应有 有限值rrrlim这表明r 在无限远处是有界的，即电位 在无限远处为零(r r)|r=0)。2021/6/3202.2.静电场解的唯一性静电场解的唯一性 设V 中存在两个电位函数 1和2，在给定第一类或第二类边值时，均满足泊松方程，即1222令 1-2=d，显然 02d对已知的任意两个连续可导的标量函数 和 ，应有 SVdSnVd2令 =d，代入上式得 SVdSnVdd2dd无论对于第一类边界还是第二类边界，均有0d2dVV在整个场域内必有 d=0。由此得证 1=

10、2，即只有唯一可能的解答。2021/6/3213.3.直接积分法直接积分法 例：二块半无限大的导电平板构成夹角为 的电极系统，设板间电压为U0，如图所示。试求导板间电场，并绘出场图。解 可以判定，(r r)=()仅为一个坐标变量 的函数，因而可以写出如下的第一类边值问题：002220,0ddUD将泛定方程直接积分二次，即得通解为 21CC由给定的二个边界条件，可以确定式中待定的积分常数C1和C2为，2021/6/32201UC 02C因此，电位的解为：0U电场强度的解为：ee01UE 角形电极系统的场图AB4.4.分离变量法分离变量法(1)(1)直角坐标系中的平行平面场问题直角坐标系中的平行平

11、面场问题 平行平面场中位函数U(x，y)在场域内满足拉普拉斯方程 0,22222yUxUyxU设定分离变量形式的试探解，即令U(x，y)=X(x)Y(y)，代入方程得 2021/6/3232222dd1dd1yYYxXX在x和y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现记该常数为(称为分离常数)：0dd22 XxX0dd22 YyY 取不同值时，两个常微分方程得到不同形式的解：=0 时，xAAxX2010)(yBByY2010)(时，02nm)sinh()cosh()(21xmAxmAxXnnnn)sin()cos()(21ymBymByYnnnn02nm时，)sin()cos()(21

12、xmAxmAxXnnnn)sinh()cosh()(21ymBymByYnnnn2021/6/324位函数U的一般解可记作：yBBxAAymBymBxmAxmAymBymBxmAxmAyxUnnnnnnnnnnnnnnnnnn201020102112121121 shchsincos sincosshch,例：一长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，而顶盖电位=0，求槽内电位分布。0.800.600.400.20=0=0=0=0yoxab2021/6/325解：槽内电位满足的基本方程和边界条件为 byax byax yax byx byaxyxyx 0 0 ,00,00,00

13、0,00,0,022222在x方向只能选择正弦函数，在y方向只能选择双曲正弦函数1,nnnnymxmDyxshsin且：,3,2,1,nanmn 因此：1shsin,nnaynaxnDyx带入最后一个边界条件，得110sinsinshnnnnaxnEaxnabnD2021/6/326为确定En的值，可对上式两边同乘以 ，其中K为整数，然后从x=0到x=a 进行积分，得 axKsin上式左边结果为：0 2dsin000KaxaxKa(K为奇数)(K为偶数)上式右边结果为：nanEaxaxKaxnE20dsinsin0(nK)(n=K)040nEn因此：(n为奇数)(n为偶数)最终得待求电位(x，

14、y)的解答是 yxbKyxKaKaKaK01212120shsinsh1214,2021/6/327(2)(2)圆柱坐标系中的平行平面场圆柱坐标系中的平行平面场问题问题 设位函数与z坐标无关，U(r)=U(，)，满足拉普拉斯方程 011,2222UUU令试探解U(，)=R()Q()，代入方程，经整理得222dd1ddddnQQrRrrRr其中，n2为分离常数，偏微分方程转化为下列两个常微分方程 0dddd2222RnRR0dd222QnQ和 当n0时,R()=A10+A20ln；Q()=B10+B20当n 0时,R()=A1nn+A2n-n；Q()=B1ncosn+B2nsinn2021/6/

15、328 nBnBAABBAAUnnnnnnnsincos2112120102010ln,例：一横截面半径为a，介电常数为 1的长直介质圆柱体放置在均匀的外电场E0中(场强值为E0，方向与介质圆柱的轴线相垂直)，均匀场中介质的介电常数为2，如图所示。求圆柱体放入后，场中的电位和电场强度。均匀外电场中的介质圆柱体解圆柱体内外的介质不同，故应分别以1和2表示圆柱体内外的电位函数，它们都满足拉普拉斯方程，即 位函数U的一般解可记作：2021/6/329(0 a)在圆柱坐标系中x=cos，取坐标原点为电位参考点，则与均匀外电场 E0=E0i 相应的电位函数可表示为：0=-E0 x=-E0cos。由于 时

16、介质圆柱体产生的极化电场影响应当消失，故该处给定的电位值应与由均匀外电场引起的电位0相一致，即有)1()(cos002 E对于圆柱表面(=a)处，不同介质分界面上的边界条件应为)3()2(2121 21;2021/6/330本例中应取A10=A20=B10=B20=B2n=0，即 nAAUnnnnncos121,由条件（1），时 cos0121EnAAnnnnncos用cosm乘上式两边，对从02积分，待定系数法，得coscos212AA由条件（1），A1=-E0。在圆柱内，因为=0处电位为有限值，所以 A2n=0，且只有A10。由条件（2），可得coscoscos201aAaEaA再由条件（3），可得coscoscos2220211aAEA联立求解可得021212EA0221212EaA最后，待求位函数的解答为)(,2cos2021202121axEE )(,cos102221212aEa 部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！