2012年高考数学试题分类汇编-概率

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1、2012年高考真题理科数学解析汇编：概率一、选择题 （2012年高考（辽宁理）在长为12cm的线段AB上任取一点C现作一矩形,领边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为（）ABCD （2012年高考（湖北理）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）AB CD （2012年高考（广东理）(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是（）ABCD （2012年高考（北京理）设不等式组表示的平面区域为D在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率

2、是（）ABCD （2012年高考（上海理）设,. 随机变量取值、的概率均为0.2,随机变量取值、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差,则（）A.B=.C而迅即攻下此题. 二、填空题 解析 设概率p=,则,求k,分三步:选二人,让他们选择的项目相同,有种;确定上述二人所选择的相同的项目,有种;确定另一人所选的项目,有种. 所以,故p=. 【答案】. 【考点】等比数列,概率. 【解析】以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8, 从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是. 【解析】使用寿命超过1000小时的概率为 三个电子元件的

3、使用寿命均服从正态分布 得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 三、解答题 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件,则. (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为. (2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件,则,由于与互斥,故 所

4、以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. (3)的所有可能的取值为,由于与互斥,与互斥,故 所以的分布列为024随机变量的数学期望. 【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础,转化是关键. 【解析】(1)当时, 当时, 得: (2)(i)可取, 的分布列为 (ii)购进17枝时,当天的利润为 得:应购进17枝 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点. () X的

5、可能取值有:3,4,5,6. ; ; ; . 故,所求X的分布列为X3456P () 所求X的数学期望E(X)为: E(X)=. 【答案】()见解析;() . 【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式. 解:设分别表示甲、乙在第次投篮投中,则 , (1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知, (2)的所有可能为: 由独立性知: 综上知,有分布列123从而,(次) 解析(1)设:“至少有一个系统不发生故障

6、”为事件C,那么 1-P(C)=1-P= ,解得P=4 分 (2)由题意,P(=0)= P(=1)= P(=2)= P(=3)= 所以,随机变量的概率分布列为:0123 P 故随机变量X的数学期望为: E=0 . 点评本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 解析:设表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得的分布列如下:123450.10.40.30.10.1(1)表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A对应三种情形: 第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理

7、业务所需的时间为3分钟;第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟. 所以 (2)解法一 所有可能的取值为 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, 所以 对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟. 所以 对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟, 所以 所以的分布列为0120.50.490.01 解法二 所有可能的取值为 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, 所以 对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟, 所以 所以的分布

8、列为0120.50.490.01 解析:(); () , X012345PEX=0+1+2+3+4+5=. 【答案及解析】 (I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而22列联表如下: 由22列联表中数据代入公式计算,得: 因为3.0303.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关. (II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为,由题意, ,从而X的分布列为: 【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望和方差,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适

9、中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键. . 【解析】 解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有种选法,选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有种,因此V=0的概率 (2)V的所有可能值为,因此V的分布列为V0P由V的分布列可得: EV= 【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中,概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数据特征:如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条件概率,独立事件的概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查. 【答案】解:(1)若两条棱相交,

10、则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱, 共有对相交棱. . (2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对, ,. 随机变量的分布列是:01 其数学期望. 【考点】概率分布、数学期望等基础知识. 【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率. (2)求出两条棱平行且距离为的共有6对,即可求出,从而求出(两条棱平行且距离为1和两条棱异面),因此得到随机变量的分布列,求出其数学期望. 【解析】(1)由已知,得所以 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概

11、率得 的分布为 X11.522.53PX的数学期望为 . ()记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,为该顾客前面第位顾客的结算时间,则 . 由于顾客的结算相互独立,且的分布列都与X的分布列相同,所以 . 故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为. 【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知 从而解得,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 ABCDPEF图 G534该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的

12、概率. 考点分析:本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差. 解析:()由已知条件和概率的加法公式有: , . . 所以的分布列为:026100.30.40.20.1 于是,; . 故工期延误天数的均值为3,方差为. ()由概率的加法公式, 又. 由条件概率,得. 故在降水量X至少是mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是. 解析:()由,解得. ()分数在、的人数分别是人、人.所以的取值为0、1、2. ,所以的数学期望是. 【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然思想. 解:(1)设“品

13、牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件,则. (2)依题意的分布列分别如下: 123(3)由(2)得 ,所以应生产甲品牌的轿车. 【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值的问题.首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论. 解:记为事件“第i次发球,甲胜”,i=1,2,3,则. ()事件“开始第次发球时,甲、乙的比分为比”为,由互斥事件有一个发生的概率加法公式得 . 即开始第次发球时,甲、乙的比分为比的概率为0.352 ()由题意. ; =0.408; ; 所以 【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况. 【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻. (1)由题意可知: (2)由题意可知: (3)由题意可知:,因此有当,时,有. 【解析】(I)表示两次调题均为类型试题,概率为 ()时,每次调用的是类型试题的概率为 随机变量可取 , 答:()的概率为 ()求的均值为