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1、1,第十节 闭区间上连续函数 的性质,介值定理( intermediate value theorem ),小结 思考题 作业,最大值(maximum )和 最小值(minimum)定理,第一章 函数与极限,2,定义,例,设f (x)在区间I上有定义,使得当,恒有,若存在点,为函数f(x)在区间I上的,最小 值,记为,则称,(大),一、最大值和最小值定理,3,在闭区间上连续的,(1) 定理1中的条件“闭区间”和“连续性”,定理1(最大值和最小值定理),函数一定有最大值和最小值.,是不可少的.,4,在开区间(0,1)内连续,在(0,1)内,又如:,在闭区间0,2上有,函数f (x)在0,2上,既
2、没有最大值,如:,函数,没有最大值或最小值.,也没有最小值.,间断点,函数,5,(2) “闭区间”和“连续性”,在开区间,取得最小值,函数,处取得最大值 1.,而不是必要条件.,如,函数,内连续,但它在,处取得最大值1;,又如,在闭区间,上有间断点,取得最小值,但它在,仅是定理的充分条件,6,证,由定理1(最值定理),定理2(有界性定理),有,取,则有,7,的零点.,定理3(方程实根的存在定理),使得,零点定理,几何意义:,如图所示.,二、介值定理,8,定理4(介值定理),使得,证,零点定理,辅助函数,9,几何意义:,至少有一个交点.,10,几何意义:,之间的任何值(不会有任何遗漏).,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,与最小值,11,闭区间上连续函数的性质常用于:,证明某些等式或不等式;,判断某些方程根的存在性或实根的范围.,12,例,证,由零点定理,13,例,证,由零点定理,使,辅助函数,14,练习,证,则,零点定理,且,15,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,注意条件1. 闭区间; 2. 连续函数,这两点不满足上述定理不一定成立,
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