傅立叶级数和Hermite函数的性质分析

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1、内容摘要该文从傅立叶级数和Hermite函数都有正交基性出发，分别阐述了两者各有的性质。文中首先介绍了傅立叶级数的来源，建立于波动方程的发展历程，以及它的正交基性。文中后半部分介绍了Hermite函数的性质，主要是证明了Hermite函数的正交基性。关键词：傅立叶级数Hermite函数正交基性ABSTRACTThispaperstartsoutfromthatbothFourierseriesandHermitefunctionsformacompleteorthonormalsystemforL2(,dx),andanalyzetheirproperties.Firstweintroduce

2、theoriginsofFourierseries,thedevelopmentwhichisbasedonstandingwaveanditspropertyasorthonormalbasis.ThelaterpartfocusonthepropertyofHermitefunction,mainlyproveitsorthonormalbasis.KEYWORDS:orthonormalbasisFourierseriesHermitefunction10傅立叶级数和Hermite函数的性质分析目录傅立叶级数的性质分析1Hermite函数的性质分析4（一）Hermite函数的一些性质4（

3、二）Hermite函数基性的证明6参考文献814傅立叶级数和Hermite函数的性质分析在高等数学的理论中，傅立叶级数的研究一直占有着重要的地位，而在量子力学的发展史上，Hermite函数起了不可估量的作用。两个看似极不相同的函数却有着很多相似的特性。它们都是作为调和振动的特征根被数学家们所发现，都是傅立叶变换的特征根，最重要的是它们都有正交基性。下面让我们看一下它们各自的性质分析。一、傅立叶级数的性质分析傅立叶是第一个相信任意一个函数可以表示成三角级数的人，即任意函数是基本的三角函数sinmx和cosmx的线性组合，其中m是任意整数。尽管这个想法在当时并没有受认可，但傅立叶对自己的观点充满信

4、心，同时把它应用到热的分散的分析中去。这便是傅立叶分析的开端。这门学科最初发展是用来解决一些物理问题，并逐渐运用于一些数学问题和其它领域。傅立叶级数的发展背景：一开始这关于是振动弹簧的问题，逐渐是对热量流动的探讨，最后发展为傅立叶分析。这两个不同的物理现象能被不同的偏微分方程，波动方程和热方程表示，而它们都能用傅立叶级数解决。在此我们从振动弹簧开始分析并且分三步进行。首先，我们用到了一些重要的数学概念，cost,sint,变量分离的应用，驻波，线性组合等等；接着，我们通过振动弹簧的运动分析得出偏微分方程；最后，求出偏微分方程的解。考虑一个质量为m的物体水平放置，一端通过弹簧连着固定的墙另一端连

5、着物体，其中水平面的摩擦系数为零。当物体静止时质量中心位于水平线的原点，如图：0,这样可以假定每一个质点的质量是ph.根据牛顿定理，作用在第n个质点上的力等于phy”(t).这样来自质点右边的力同比例于(y-y)/h,h是x与xn+1nn+1n之间的距离。因此我们记来自右边的拉力为(-)(y-y)，同理来自左边hn+1n的拉力是(L)(y-y)，其中t是绳子的拉力系数。把两个力结合起来hn-1nT可以得出phy”(t)=()h(yQ+yQ-2yQ)，因为我们可以有n-1n+1y(t)+y(t)-2y(t)=u(x+h,t)+u6-h,t)-2u(,t)，结合这两个方程,n-1n+1nnnn再根

6、据二阶导的定义，我们得出了这样的的二阶偏微分方程，即dx令，我们得到102C2d02这就是一维波动方程，也叫波动方程。作进一步的简化，我们可以假设aX,这里a是一个正的常数，在新的坐标X下，区间从0xL,转化成为0X0.(*)nnn=0今作变数变换y=2xt1+12+u,则有1t2expx2+g(21+t2)J+gK(x,y,t)dy=g+gexp上U2dug2(1t2)严(112):2112=exp兀2T1,当tT1时.1+122(1+12)界时为一致的，因此对任何f(x)eCg，0J+gK(x,y,t)f(y)dy=J+gK(x,y,t)(f(y)f(x)dy+f(x)J+gK(x,y,t

7、)dyggg=JK(x,y,t)(f(y)f(x)dy+JK(x,y,t)(f(y)f(x)dy+f(x)J+gK(x,y,t)dy,xyllx-y5故J+gK(x,y,t)f(y)dyf(x)J+ggggk(x,y,t)dyfK(x,y,t)dy+MJK(x,y,t)dyy一x5此外，不难看出，当tT1时，K(x,y,t)T0,|x-y5,且这种收敛对固定x,y有此外由f(x)的连续性，知f(y)f(x)|s，当|yx|5，且对任何y,由上式知f+gK(x,y,t)f(y)dyTf(x),当tT1g在(*)两边乘以f(y)再沿(-g,+g)积分，就会得到无a伽(x)=f+gK(x,y,t)f

8、(y)dyTf(x),当tT1.nngn=0将上式乘以f(x)再积分得艺a2tnT卜/(x)2dx.故艺a2二卜/(x)2dx.ngn=0对于任何f(x)eL(+g,g)，我们知必有f2J+gf(x)f(x)n=0ngg则有(x)eC+g，使v0令a=卜f(x)屮(x)dx,n,vgvnaj,vjj=0卜f(x)-a屮.(x)dx=+-f(x)2dx+工。22工a一8j=0jj=0八J+J(x)2dx丄a2=卜/(x)-aW.九,-8j=0j-8j=0j同时，上式左端2J+8f(x)-f(x)-82dx+W(x)-j0jj(x)dx28+2J+8f-82dxa22ej，vj=0当n充分大，正交

9、基性得证。由此我们可以看到，对于任何一个函数，它既可以表示成傅立叶级数，又可以是Hermite函数的线性组合，并且可以根据正交性求得多项式前的系数。参考文献1 丁夏畦，丁毅.Hermite展开和广义函数M.武汉：华中师范大学出版社，2005.2 SundaramThangavelu.LecturesonHermiteandLaguerreexpansionsM.NewJersey:Princetonuniversitypress,1993.菲赫金戈尔茨微积分教程M.北京：高等教育出版社，2006.4 Elias.FourieranalysisM.北京：世界图书出版社，2002.5 JamesWardBrown,RuelV.Churchill.复变函数及应用M.北京：机械工业出版社，2006H.L.Royden.实分析M.北京：机械工业出版社，2005.