半导体激光器设计理论I

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1、半导体激光器设计理论I.速率方程理论(郭长志,LT1-1C3.doc,11Oct.2007)1.2-2突变同型异质结的库莫(Ki沏的)理论【13,14,5同型异质结积累区的空间电荷分布和电势分布，除了可以求解泊松方程得出之外，还可以由归一化势能积分得出从而可以准解析地得出其两边的内建电场F和总电荷Q。对于如图1.2-5(a)所示的n-N结其带阶为：AE二-X=A/0(1.2-2a)c12AE=1-E1(/-XLae-AE(1.2-2b)vg2g112gc这里的AX0是由于定义X1和X2分别是窄带隙和宽带隙的电子亲和势。12-2An-N同型异质结在无偏压的平衡情况下内建势能为：qV=F-F=AE

2、+5-5=AEedc2c1cc1c2c+(E-F)-(E-F)(1.2-2/)(N(N(NN)AE-kTlndi+kTlnd2=AE-kTlndi_c2cBINciJB1Nc2JcB1NN丿d2c1c1c1c2c2(1.2-2c)其中后两式采用了非简并统计近似。由(1.2-2c,b),远离结区的带边之差分别为：=(F-F)-AEqV-AEqV-AE+qV0c2c2c1cedced1ced2E-E=(E-E)-(E-E)=(E-E)+AE=qV+AE=qV+qV+AE(1.2-2e)v1v2c1g1c2g2c1c2gedved1ed2vE-Ec1(1.2-2d)电荷密度分布为：P(x)=qL+n

3、+pqIn-n=-qNdeded厂dod(厂)dF厂ds电势方程为：F=-r，丁*F+Fr=dxdxdxdxNTLBd-1(1.2-2f)dx2dx忑=pQm)d2申(x)d申d-d心d20(x)p(x)qN泊松方程为：丁=0T=-=ddxdx2NjekBT1Nd(1.2-2h)n-和N-半导体接触并达到平衡时，其能带图将如图12-5(b)所示。加偏压V=V1+V2后：aa1a2E(x)=-q0(x)，0(x)-0(x)=V-V，0(x)-0(x)=V-Vce10-d1a10+2d2(x)-F=6%)+q)-p(x)=6q)-p(x)1e11e1Ec1c11E(x)-F=6,c11c11p(x

4、)=11-qNekBT-NBd1c10An=0TekBT=d+Nc1a2(1.2-2i)(1.2-2j)(1.2-2k)E(x)-F=6c2c22-Z2)qlipCx)(pCx)=6qlipCx)(pCx)(1.2-2l)E(x)-F=6-%c22c2222)=6,p(x)=qNe-kBT-Nc2Bd2d2(1.2-2m)Nc2卩1(x)=咅B0(x)-0(x)1坐=2空=-近F(x)=-注鱼dxkTdxkT1qdxBBe(1.2-2n)卩(x)=厶氐)-0(x)1坐=-X型化,F(x)=津竺2kT2dxkTdxkT2qdxBBBe(1.2-2o)d2卩qd2Qq2NN1=Ldx2kTdx2B

5、e-kBT-11Bd1片。)一1L=F/=Li(1.2-2p)2L2112q2N21ed1d20-qd202edx2kTdx2B-q2Ned2kT2BN62-qetpckq)N?ekpTd2-1-2；1-皿七-諾-乡（3）2ed2即将电势9的泊松方程化为归一化势能卩的泊松方程。1。结的左边(X1xx0)积累区：d2Pd(dP)-_1dxJdx丿+dx2dpd(dp1亠1 dxdPJdxd(dP)1dPJdx丿1(1.2-2r)(qTT、B(dP)iJdx丿2=LLp1Cx)d11x1(dP)Jdx丿=丄呱p1Cx),0(x)=迎L211P1(x1)二0(12-2s)11dxx1=丄IP1Cx)

6、P(x)1-砒1.2-2t)L211(dP)1Jdx丿x=丄LPG)P(x)11/2tdx=LLPG)P(x)112dPdxL11111(dPiJdx丿x1=lP1Cx)PL211Cx)1JdPx1dx丿(1.2-2u)Jdx=LfLP1P1-1/2dPt111P1P三P(X)=L1m1o_kTBxx卩冲I-e二JeP,P1L111P111/2dP三I(p,P111m(1.2-2v)tpC)9(x)=2VV10-1kTd1a1B(1.2-2w)QAscm-2=Jp(xhx=J旦11qdx2gegJ0LeP1Cx)PCx)111/2eP1Cx)11dP1=2qNLeP1Cx)PCx)111/21

7、x0ed111g=qNed11g9(g)9(X)P(g)=q111dx=qNjlACx)1/Ped111dPg1jLP1Cx)P(x)111/2dLP1P11111=qNL1ed11gQ=2qNP1”,P111ed111mk訥(-g)-9(x1)=0,eP1(亠1B2。结的右边(x。xxx(1.2-2c/)1110AE(x)=X-X(x)=-AX(x)(1.2-2ck)c11AE(x)=E(x)-E-xvg1g111(1.2-2cg)OLaE(x)-AEC)gc(1.2-2cl)E(x)=E+4(E-E)g1g1-xg2g11=AE(x)-AE(x)gcx01(1.2-2cm)(1.2-2cn

8、)AE(x)-E(x)-E-AEgg1g1-xg1(1.2-2co)AE=AE(0)=bAE,AE=(E-E),AE(x)=bAE(x)=AEcccggg2g1-x)(1.2-2cp)-x1101汽Z-0沪x爲BB1Bd2X(x)1dx2-11.2-2cq)12l21九(x)=P(x)+0(x)X(x)=B(x)+0(x)=0,0(xx)二0111(1.2-2cr)d九dxx1祁=1dxx1d0+1edxkTdxqdp+Y=Y,x1x1dpdxx1二-F1卩0(1.2-2P(x)=010-1m豊叫-)-W=豊Vd1-Va11BB(1.2-2ct)(dX)1-Idx丿2=LrX1(x)-血Jd1

9、=LT孔X(x)-1kx1Idx丿LX1(xi)(1.2-2cu)1dx丿xidx丿x1=L(x)X(xATL2iiix11dx丿x-Y2=丄X1(x)-X(x11(1.2-2cv)L211=LG)_X0-1+y2L1/2tdx=LLG)_X0-1+y2L11/2dXdxL1111111(1.2-2cw)dx=LjLx1-X1+y2Z211/2dXt-0=jLx1-X1+y2Z211/2dX三I(X,X)1111L1X10-L1111m(1.2-2cx)空间电荷区的宽度ln1为：n1Xrimx-x/丄=_01二一nlLLii%-X-1+y2L212dX三I(x,X)11111m(1.2-2cy

10、)=LXj1m(eX1-X-1+y2L2)1/2dX,X(x)=X=p+e1111101m1m1m0n1(1.2-2cz)(b)抛物型变化：0(x)=Y(x-x，xxx,0(xx，)=0,X(x)=0(1.2-2da)11101111dXdx=dpdxx1卜笛=九型+)27(-xd=2y(x-Q如=-F(x)=0(1.2-2db)1x111dx11x1dxkTdx%ixBx1dx丿=L(x)-血Tjd12=丄X1Flx1(x)-1bL211x11dx丿Xi(xi)(1.2-2dc)1dx丿x1dx丿x12=Cx(J-xC)11x1L21dx丿-4y2(x-x22丄=L认)-Xi皿R)i=LX1

11、G)-X(x)-1+4y2L2(x-x，1/2tdx=LLX1G)-X(x)-1+4y2L211/2dX(1.2-2劝dxL11111111jdx=LjLx1-X-1+4y2L11111/2dXto=jLx】-X-1+4y2L11/2dX三I(X,X)(i.2-2dg)1L111111m1空间电荷区的宽度ln1为：n1=Ln110-X(4yLz)-J2dX11(1.2-2dh)这两种情况的积分由于没有奇点，11的解将为有限的。n1本讲学习重点无论是异型还是同型异质结构的界面附近必然出现异号的空间电荷区，其电势导致能带边在这区间发生弯曲。这过程主要服从泊松方程，迄今已有三解法：在均匀电荷分布情况

12、或假设下的简单二次积分法、微分方程数值解法、积分方程解法。本讲讨论的的库莫理论属第三法，其优点是能够确定同型异质结中内建电势和外加电压在结两边的分配比例，因而可以研究有偏压时的电流过程，而且可以推广到简并和缓变异质结构。学习重点是：一、以归一化势能P为基本参数的泊松方程表述及其积分方程解法。二、内建电势和外加电压在结两边的分配关系和比例的确定及其物理含义和应用。三、推广到简并和缓变同型异质结的方法及其与欧哈姆-米纳斯法的比较。习题作业三LT1-Ex.3.1(a)试比较库莫与欧哈姆-米纳斯的理论和方法的异同、优缺点和适用范围。(b)试从数学上和物理上说明为什么缓变区的宽度可以改变和控制带阶尖峰和

13、尖谷的形状。LT1-Ex32a)在带隙和有效质量分别为E;=1.424eV,m严0.067m和E/=2.168eV,m/=g1c10g2c20.78m，其导带价带的带阶分别为AE=0.4985eV和AE=0.2455eV的GaAs和AlAs中，0cv电子浓度N和N2皆为51017cm-3,施主电离能皆为Ed=0.001eV,求所须掺入的施主浓度Nd112dd1和Nd2,及其相应的费米能级F1和F2。d212(b)把它们组成n-N突变同型异质结，试用：(1)耗尽假设、(2)欧哈姆-米纳斯法、(3)库莫法，计算其能带图、以电场强度对上述(1)为0,或对(2)和(3)各区极大场强的10%为准的空间电

14、荷区宽度、空间电荷密度分布、和电场分布,并对结果进行定性和定量的分析比较。参考文献13 R.C.Kumer(DepartmentofMathematics,UniversityofManchesterInstituteofScienceandTechnology,Manchester,England):“OntheSolutionofPoissionEquationforanIsotypeHeterojunctionunderZero-CurrentCondition,SolidStateElectronics,11(1968)543-551.14 R.C.Kumer:“CurrentTransportinIsotypeHeterojunction”,InternatuionalJournalofElectronics,Vol25(1968)239-247.