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1、福建省漳州市一中2007-2008学年上学期期末考试高三数学（理科）试卷第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的选项填在答题卷上.1.的值是A. B. C. D.2.定义：.若复数满足，则等于A. B. C. D.3.已知命题：不等式的解集为R；命题：为减函数. 则是成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若是两个不重合的平面，给定以下条件：都垂直于平面；内有不共线的三点到的距离相等；是内的两条直线，且，；是两条异面直线，且，. 其中可以判断的是:
2、A. B. C. D.5.从集合中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为的概率是A. B. C. D.6.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则A. B. C. D.7.已知等比数列的公比，其前项的和为，则与的大小关系是A. B. C. D.不确定8.已知为坐标原点，若，且，则的取值范围为A. B. C. D. 9.若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为A. B. C. D.10.已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，抛物线以为顶点，为焦点，点为抛物线和椭圆的一个交点，若，则的值为 A. B. C. D.11.在数列中，如果存在非零的常数，使得对于任意正整数均成立，那么就称数列为周
3、期数列，其中叫做数列的周期. 已知数列满足，若，当数列的周期为时，则数列的前项的和为A. B. C. D.12.函数的定义域为，若满足：在内是单调函数；存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数. 若是闭函数，则实数的取值范围是A. B. C. D.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案写在答题卷的相应位置上.13.在二项式的展开式中，含项的系数记为，则的值为 .14.已知函数满足：，则 .15.双曲线的两个焦点为，点在该双曲线上，若，则点到轴的距离为 .16.设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，用分别表示、的面积，则的最大值是 .三、解答题：本大
4、题共6小题，共74分.12+12+12+12+12+14 =74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知是的两个内角，向量，若. （）试问是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由；（）求的最大值，并判断此时三角形的形状.18.一个袋子内装有若干个黑球，个白球，个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取个球，每取得一个黑球得分，每取一个白球得分，每取一个红球得分，已知得分的概率为，用随机变量表示取个球的总得分. （）求袋子内黑球的个数； （）求的分布列； （）求的数学期望.19.如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，底面，为的中点.DPEABC （）求证：平面平面； （）求直线
5、与平面所成的角； （）求点到平面的距离.20.已知数列的前项和为，且有，.（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和；（）若，且数列中的每一项总小于它后面的项，求实数的取值范围.21.已知，点满足，记点的轨迹为.（）求轨迹的方程；（）若直线过点且与轨迹交于、两点. （i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围.22.已知函数. （）若、，求证：； .（）若，其中，求证：； （）对于任意的、，问：以的值为长的三条线段是否可构成三角形？请说明理由.参考答案一、选择题：题号1
6、23456789101112答案DABDBCABCBDC二、填空题：13. 2 14. 24 15. 16. 三、解答题：17.解：（）由条件（2分）（4分） 为定值.（6分）（）（7分） 由（）知，（8分）从而（10分）取等号条件是， 即 取得最大值，此时ABC为等腰钝角三角形（12分）18.解：（）设袋中黑球的个数为n，则（2分）化简得：，解得或（舍去），即有4个黑球（4分）（） （8分）的分布列为 （直接写不扣分）（9分）（）（12分）19.解法一：（）设与交点为，延长交的延长线于点，则，又，又，又底面，平面，平面，平面平面（4分）PEABDCHF（）连结，过点作于点，则由（）知平面平面
7、，且是交线，根据面面垂直的性质，得平面，从而即为直线与平面所成的角.在中，在中，. 所以有，即直线与平面所成的角为（8分）（）由于，所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，即. 在中，从而点到平面的距离等于（12分）PEABDCzxy解法二：如图所示，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，.（）由于， ， 所以，所以，而，所以平面，平面，平面平面（4分）（）设是平面的一个法向量，则， 由于，所以有，令，则，即，再设直线与平面所成的角为，而，所以，因此直线与平面所成的角为（8分）（）由（）知是平面的一个法向量，而，所以点到平面的距离为（12分）20.解：（），（
8、2分） ，（4分） （）， （6分）（8分）（），.（10分） ，.（12分）21.解：（）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为（3分）（）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、， 解得 （5分）（i） （7分） 假设存在实数，使得， 故得对任意的恒成立， ，解得 当时，. 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立， 综上，存在，使得. （8分） （ii），直线是双曲线的右准线，（9分） 由双曲线定义得：， 方法一： （10分） ，（11分） 注意到直线的斜率不存在时，综上， （12分） 方法二：设直线的倾斜角为，由于直线与双曲线右支有二个交点，过作，垂足为，则， （10分） 由，得故： （12分）22.解：（）要证：，只需证：，则，只需证：，即，成立，成立.（4分）又,由得：，且，上述两式相加得：.（6分） （）时显然成立，时，由（）得：，.各式相加得：（10分）说明：直接用比较法证明的同样给分. （）（11分）由得或，在上为增函数，恒成立，以的值为长的三条线段一定能构成三角形（14分）
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