初三数学知识结构及基本原理

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1、初三数学知识结构及基本原理代数部分一、一元二次方程1、整式方程：方程两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程。注：判断一个方程是整式方程还是分式方程的依据：关键是看分母中含不含未知数，如分母中不含有未知数，则为整式方程，含有未知数，则为分式方程。2、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a0）。3、判断方法：（1）只含有一个未知数 ； （2）未知数的最高次数是2 ；（3）二次项系数不等于0 ； （4）整式方程。4、一元二次方程的解法：一元二次方程有直接开平方法、配方法 、因式分解法 、公式法四种解法，解一元二

2、次方程时，一般应遵循如下原则，a首先判断能否进行因式分解，如易于分解，则宜于用因式分解法;b若不易于分解，系数简单，则宜于用配方法；c若不易于分解，系数又繁琐，则宜于用公式法。d只要一个一元二次方程有解，就一定能用公式法求解，但有时不一定简单。e解方程时，不能将方程两边的公因式约去,否则会失根。注：二次三项式的配方（1）理论依据：完全平方式，（a+b）2=a2+2ab+b2(2)步骤：a二次项系数化为1， b加上并且减去一次项系数的一半的平方，c整理5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式（1）我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式，用符号“

3、”来表示。0 一元二次方程有两个不相等的实数根； =0 一元二次方程有两个相等的实数根； 有两个实数根；0 一元二次方程没有实数根。（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式值的符号，只能判断方程根的情况，当0 一元二次方程有两个正实数根； x1.x20 b 0x1+x20 一元二次方程有两个负实数根；x1.x20 c 0x1+x2=0 一元二次方程两根互为相反数；d 0x1.x20 一元二次方程两根异号；e 0x1.x2=0 一元二次方程有一根为0；f 0x1+x2=0 一元二次方程有两根为0；x1.x2=0g 是完全平方式a,b,c是有理数 一元二次方程两根为有理数。7、换

4、元法：把某个式子（分式或根式等）看成一个新的未知数，并用一个字母表示，进行变量代换，把原方程转化为易解的新的未知数的方程，求出新未知数的值，把它代入所设的式子，并求出原来未知数的值。8、二次三项式ax2+bx+c（a0）的因式分解（1） 十字相乘法:ax2+bx+c=（a1x+ c1）（a2x+ c2） (分解条件：a1c2+a2c1=b)（2） 公式法：a分解条件：ax2+bx+c=0时的一元二次方程根的判别式0，且当=0时,分解的结果是完全平方式。b分解方法：令ax2+bx+c=0，求出两根x1，x2, 即分解为ax2+bx+c=a(x- x1)(x- x2)（3）二次齐次式ax2+bxy

5、+cy2（a0）的因式分解：可把y看作常量，这时它仍然可看作是关于x的二次三项式，令其为0，求出的两个根都是含有y的代数式，分解的因式中不可将y或系数a漏掉。注：只要一个二次三项式ax2+bx+c（a0）能在实数范围内分解因式，十字相乘法和公式法都能分解，分解的形式有可能不同，但结果完全相同，不过用公式法一定能分解，但用十字相乘法有时不易观察出来。9、分式方程及其解法（1） 定义：分母中含有未知数（不是字母）的方程叫做分式方程。（2） 解法：首先要将各分式的分子与分母分解因式，找出最简公分母，接着通分，化为整式方程，再求解。有时分子、与分母上会出现公因式，不能将分子、与分母上的公因式约去,否则

6、会失根。具体步骤如下， a (找最简公分母)去分母 b 去括号 c移项 d合并同类项 e 系数化为1 f 检验 注：最简公分母是指各分母所有因式最高次幂的积；互为有理化因式是指两个含有二次根式的代数式相乘，如果积中不含有二次根式，那么这两个代数式互称互为有理化因式。10、简单的二元二次方程组及其解法 （1） 定义：含有两个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程组，叫做二元二次方程组。（2） 分类：有两种类型，型 二元一次方程 型 二元二次方程二元二次方程 二元二次方程（3） 解法：基本思想是消元降次，目前我们主要熟练掌握第一种类型（型）的解法，第二种类型（型）仅解其中一个可以分解为两个二元一次

7、方程的方程组。常用方法有代入消元法加减消元法消二次项法，消一次项法，利用一元二次方程根与系数的关系，将一个方程化为两个一次方程，再分别与另一方程组成方程组等。（4） 型方程组有一组实数解的条件:把二元一次方程代入二元二次方程得的一元二次方程的根的判别式=0。11、方程及方程组的应用（1） 列方程（方程组）解应用题的步骤：设，列，解，答，检验。（2） 常见数量关系:工程问题 工作量=工作效率工作时间 路程问题 s=v.t a 相遇问题 s=s1+s2 b 追及问题 同时不同地：甲用的时间=乙用的时间，甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程；同地不同时：甲用的时间=乙用的时间-时间差，甲走的

8、路程=乙走的路程。c 流水行舟问题：顺水速度=两速（水速和船速）之和；逆水速度=两速之差。 浓度问题 溶质=溶液浓度 数字问题 三位数=100百位数字+10十位数字+个位数字 面积问题 SABC=1/2ah，S矩形=ab,S梯形=1/2(a+b)h，S平行四边形=ah， 增长率问题 增长（下降）率=增长（下降）数/基数100% a(1+x)n=b(其中a表示原有量，b表示现有量，x表示增长（或降低）率,n表示增长或降低次数) 利润（息）问题 利润（息）=售价（本息和）-进价（本金） 利润（息）率=利润（息）/进价（本金）100%二、函数及其图象1、平面直角坐标系（1）定义：在平面内两条互相垂直

9、的数轴组成平面直角坐标系（或在平面内，有公共原点且互相垂直的两条数轴组成平面直角坐标系），水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点为原点，这个平面叫做坐标平面。（2）象限：坐标轴把平面分成四个区域，从右上角起， 第二象限 第一象限按逆时针方向分别叫做第一象限，第二象限，第三象限， （-，+） （+，+）第四象限。 注：坐标轴上的点不在任何一个象限。 第三象限 第四象限（3）点在数轴上的坐标：就是点在数轴上对应的实数。 （-，-） (+, -) (4)点在平面直角坐标系中的坐标，以及点与坐标的关系 设坐标平面内有一点P，分别过P作x轴y轴的垂线

10、，垂足分别为M,N，如M，N在数轴上的坐标分别为a，b，则点P坐标为（a, b),记作P（a，b）；坐标平面内的点与有序实数对是一一对应关系。（5） 各象限内点的坐标的符号特征：设点P（x,y）,则点P在第一象限x0,y0;点P在第二象限x0;点P在第三象限x0,y0;点P在第四象限x0,y0.(6)坐标轴上点的坐标的符号特征：设点P（x,y）,则点P在x轴上y=0P(x,0);点P在y轴上x=0P(0，y);点P在坐标原点x=0,y=0=P（0,0）.(7) 各象限角平分线上点的坐标的符号特征：设点P（x,y），则点P（x,y）在第一、三象限角平分线上x=yP(x,x)或P(y,y);（即横

11、纵坐标相等）在第二、四象限角平分线上x=-yP(x,-x)P(y,-y).（即横纵坐标互为相反数）(8)平行于坐标轴的直线上点的坐标的符号特征及两点间距离：设P1（x1，y1）,P2（x2，y2 ）直线P1P2x轴y1=y2P1P2=x1-x2或x2- x1;直线P1P2y轴x1=x2P1P2=y1-y2或y2-y1.(9)点到坐标轴、原点的距离：设点P（x,y）， 则点P到x轴的距离是y; （即横变纵不变）点P到y轴的距离是x; （即纵变纵不变）点P到原点的距离是 x2+y2 。（10）一对对称点的坐标的符号特征:设点P（x,y），则点P关于x轴的对称点的坐标是P1（x,-y）;关于y轴的对

12、称点的坐标是P2（-x,y）;关于原点对称点的坐标是P3（-x,-y）；关于直线y=x对称点的坐标是P4（y, x）；关于直线y=-x对称点的坐标是P5（- y,- x）。（11）坐标平面内任意两点间的距离：设点P（x1，y1）,点P（x2，y2 ），则P1P2=（x2-x1）2+( y2-y1)22、函数 （1） 定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，那么就说x是自变量,y是x的函数。注：对于每一个x的值，有对应的唯一y值，多个x的值对应同一个y值亦属于此种情况，此时，y为x的函数，但若一个x对应多个y值，则不符合定义条件，因此，y不是x的

13、函数。如初三代数配练39页1题，y2=x (x0), y不是x的函数。（2） 函数的三要素：a定义域：自变量x的取值范围；b值域：函数y的取值范围；c对应法则：函数y与x之间的对应关系。（3） 函数的表示方法：a解析法 b 列表法 c 图象法（4） 函数的图象：一般的，对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，由这些点所组成的图形叫做函数的图象。（5） 函数图象的画法：a 列表 b 描点 c 连线（6） 函数与其图象的关系:适合函数解析式的有序实数对（x,y）所表示点，必在函数图象上，反之，函数图象上点的坐标(x,y)，必满足函数解

14、析式，也就是说函数的每对对应值（即有序实数对，点的坐标）和坐标平面内函数图像上的点是一一对应的。（7） 判断两函数是同一函数的条件：a自变量的取值范围相同，b对同一个自变量值对应的函数值相同（与所用字母无关，通常化简后解析式相同）。（8） 函数自变量的取值范围的确定：(许多函数往往是用以下式子或以下综合式子表示的)a整式全体实数（R）； b 分式分母不等于0； c偶次根式被开方数大于或等于0 ； d 0指数幂或负指数幂底数不等于0；e实际问题符合实际或几何意义； f 综合式子求公共部分（9） 两函数图象的交点坐标：求两个函数图象的交点坐标，就是求两个函数解析式组成的方程组的解，最后不要忘记把每

15、组解写成点的坐标的形式。3 、 一次函数 （1）定义：一般地，如果y=kx+b(k,b为常数，k0),那么y叫做x的一次函数.特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx(k为常数，k0),这时y叫做x的正比例函数。当k=0,b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=0,这时y叫做常函数，不再是一次函数。（2）判断方法：a函数是关于自变量x的整式； b化简后自变量x的最高次数是1；c化简后自变量x的系数不等于0；d自变量x的系数不等于0。（3）图象 ：a正比例函数y=kx的图象是经过坐标原点（0，0）的一条直线，其图象也叫做直线y=kx,经过象限如下表所示K的符号经过象限k0第一 、三

16、象限K0,b0第一、二 、三象限在y轴左侧在x轴上侧k0,b0第一、三 、四象限在y轴右侧在x轴下侧K0第一、二 、四象限在y轴左侧在x轴上侧K0,b0时,直线与y轴的交点在x轴的上方(y轴的正半轴)，当b0时,y随着x的增大而增大; 当k0b0 y yK0时,y随着x的增大而增大; 当k 0或ax+b0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，图象有最低点，函数有最小值；当a0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，图象有最高点，函数有最大值。c对称轴: 直线x=-b/2a, d顶点坐标：(-b/2a ， (4ac-b2）/4a)e截距：图象在x轴上的截距是图象与x轴交点的横坐标，即x1,x2,求法，

17、令y=0,求x的值; 图象在y轴上的截距是图象是y轴交点的纵坐标，即c,求法，令x=0,求y的值。注：二次函数y=ax2+bx+c（a0）中a,b,c的作用，a, b同号(-b/2a0)抛物线对称轴在y轴左侧 即左同右异a, b异号(-b/2a0)抛物线对称轴在y轴右侧c0抛物线与y轴交点在x轴上方；c=0抛物线与y轴交点在坐标原点,图象必过原点O（0，0）；c0抛物线与y轴交点在x轴下方。（4） 性质：当a0,x0,x-b/2a时，y随x增大而增大；当a0,x-b/2a时，y随x增大而增大；当a-b/2a时，y随x增大而减小.（5） 抛物线y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=

18、a(x-h)2+k（a0）的关系：抛物线形状开口方向对称轴顶点坐标最 值位置关系增 减 性a0a0a0x0xha0xhahy=ax2完全相同向上向下x=0(y轴)（0，0）ymin=0ymax=0xy xyxyxyxyxyxyxyy=ax2+k （0，k）ymin=kymax=k可由抛物线y=ax2向上平移k个单位得到y=a(x-h)2x=h （h，0）ymin=0ymax=0可由抛物线y=ax2向右平移h个单位得到y=a(x-h)2+k（h，k）ymin=kymax=k可由抛物线y=ax2向右平移h个单位、向上平移个单位得到y=ax2+k 右平移h单位 y=a(x-h)2+k 左平移h单位

19、上平 下平 下平 上平移k 移k 右平移h、上平移k单位 移k 移k 单位 单位 左平移h、下平移k单位 单位 单位 右平移h单位y=ax2 左平移h单位 y=a(x-h)2注：当h,k大于或等于0时，移动方向与实际一致；当h,k小于0时，移动方向与实际相反。（6） =b2-4ac与二次三项式ax2+bx+c（a0）,方程ax2+bx+c=0（a0）,二次函数y=ax2+bx+c（a0）之间的关系：b2-4acax2+bx+cax2+bx+c=0y=ax2+bx+cb2-4ac0可分解为两个一次因式有二不等实根与x轴有两个不同的交点b2-4ac=0可分解为完全平方式有二等实根与x轴有唯一一个交

20、点或顶点在x轴上或与x轴相切，表达式可化为y=a(x-h)2的形式b2-4ac0时,抛物线在x轴上方,当a0时,图象位于第一、三象限，关于直线y=+x对称；当k0k0时,y随着x的增大而减小； 当k0时,y随着x的增大而增大。（6）反比例函数解析式的确定:三、统计初步1、统计学的基本思想：用样本情况估计总体情况。2、有关概念（1） 总体（2）个体（3）样本（4）样本容量（5）平均数，众数，中位数（6）方差，标准差（7）频率分布，频率分布表，频率分布直方图 注：以上概念中，平均数，众数，中位数反映数据集中趋势的特征，方差，标准差，反映数据波动大小的特征，一组数据的平均数，中位数是唯一的，但众数不

21、一定唯一。3有关公式 （1）平均数 （2）中位数 （3）方差 （4）标准差例1.为了了解某校初三年级400名学生的体重情况, 从中抽查了50名学生的体重进行统计分析, 在这个问题中, 总体是指( )A. 400名学生 B. 被抽取的50名学生 C. 400名学生的体重 D. 被抽取的50名学生的体重例2.一个容量为80的样本中，最大值是141，最小值是50，取组距为10，则这个样本可以成【 】A10组 B9组 C8组 D7组.频数、频率： 一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数频数与数据总数的比为频率，频率反映了各组频数的大小在总数中所占的份量，频率100%就是百分比例3.已知在一

22、个样本中有50个数据，它们分别落在5个组内，第一、二、三、四、五组数据的个数分别为2，8，15，x，5，则x等于_，第四组的频率为_.条形统计图及其优缺点（1）条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量关系，根据数量的多少画成长短不同的条形，条形的宽度必须保持一致，然后把这些条形排列起来，这样的统计图叫做条形统计图。（2）优点能够显示每组中的具体数据；易于比较数据间的差别（3）缺点 ：不能明确显示出部分与整体的对比关系条形统计图及其特点.扇形统计图及其优缺点（1）扇形统计图：用圆代表示总体，圆中的扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。（

23、2）优点：用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；易于显示每组数据相对于总数的大小（3）缺点 ：不能明确显示各组中的具体数据（4）画扇形统计图时如何确定圆心角度数？ 圆心角=360百分比例4在一幅扇形统计图中，扇形表示的部分占总体的百分比为20，则此扇形的圆心角为 .折线统计图及其优缺点（1）折线形统计图：用一个单位长度表示一定的数量关系，根据数量的多少描出各点，然后用线段顺次把各点连接起来，它既可以表示出项目的具体数量，又能清楚的反映事物变化的情况。（2）优点：它既可以表示出项目的具体数量，又能清楚的反映事物变化的情况。（3）缺点 ： 例5反映某种股票的涨跌情况，应选择 【 】 A条形统计

24、图 B折线统计图 C扇形统计图 D直方图.频数分布直方图及其优缺点（1）组数、组距：在统计学中把分成的组的个数称为组数，每组两个端点的差称为组矩。（2）频数分布直方图：在统计数据时，按照频数分布表，在平面直角坐标系中横轴标出每个组的端点，纵轴表示频数，用矩形高代表对应组频数的统计图称为频数分布直方图（3）优点能够显示各组频数分布情况；易于显示各组之间频数的差别（4）缺点 ：不能明确显示出部分与整体的对比关系（5）条形统计图和频数分布直方图的比较相同之处：条形图与直方图都是在坐标系中用矩形的高来表示频数的图形 不同的是： 直方图组距是相等的，而条形图不一定 直方图各矩形间无空隙，而条形图则有空隙

25、 直方图可以显示各组频数分布的情况，而条形图不能明确反映这点 注：统计中常见的条形图、扇形图、折线图和直方图各有特点它们可以从不同的角度清楚、有效地描述数据我们可以根据实际需要及各自特点选用适当的描述方法例5.去年我国遭受到非典型肺炎传染性疾病的巨大灾难，全国人民万众一心，众志成城，抗击“非典”.图(1)是我市某中学“献爱心，抗非典”自愿捐款活动学生捐款情况制成的条形统计图，图(2)是该中学学生人数比例分布(已知该校共有学生1450人).(1)初三学生共捐款多少元？(2)该校学生平均每人捐款多少元？课外研究性学习次数120 1 2 3 4 5B3人数甲班乙班例7.我区教育局为了了解本区中小学生

26、研究性学习的开展情况,抽查了某中学九年级甲,乙两班的部分学生,了解他们在一个月内参加课外研究性学习的次数情况,结果如下面统计图所示:(1)在这次抽查中甲班被抽查了 人,乙班被抽查了 人;(2)在被抽查的学生中,甲班学生参加课外研究性学习的平均次数为 次, 乙班学生参加课外研究性学习的平均次数为 次,(3)根据以上信息,用你学过的统计知识,估计甲,乙两班开展课外研究性学习方面哪个班级更好一些? ,(4)从图中你还能得到哪些信息?(写出一个即可).几何部分四、解直角三角形1、锐角三角函数（1）定义：在ABC中，C为直角，A，B，C所对的边分别为a,b,c,则a A的正弦sinA=a/c Bb A的

27、余弦cosb/cc A的正切tanA=a/b c ad A的余切cotA=b/a. A b C注:B四种锐角三角函数定义同上（2）锐角三角函数值的取值范围a 0sinA1 b 0cosA0 d cotA02、特殊角的三角函数值A00300450600900sinA01/22/23/21cosA13/22/21/20tanA03/313不存在cotA不存在313/30注：由上表可发现（1）特点：以上各角的正弦值，余弦值都可看作是分母为2，分子是被开方数分别为0，1，2，3，4的二次根式的分数。正切值，余切值都可看作是分母为3，分子是被开方数分别为0，3，9，27，+的二次根式的分数。（2）应用a

28、计算 b 确定角、三角函数值的取值范围 c比较大小3互为余角的三角函数间的关系任意锐角的正弦等于它的余角的余弦，任意锐角的余弦等于它的余角的正弦；任意锐角的正切等于它的余角的余切，任意锐角的余切等于它的余角的正切。用数学式子表示为：sinA=cos(900-A) cosA=sin(900-A) tanA=cot(900-A) cotA=tan(900-A)4、同角的三角函数间的关系a平方关系sin2A+cos2A=1 b商数关系tanA=sinA/cosAc倒数关系tanA=1/cotA (tanA.cotA=1,tanA.tan(900-A)=1,cotA.cot(900-A) 特点：角相等

29、时三角函数异名，角互余时三角函数同名)5、锐角三角函数的增减性: 当角在00-900间变化时，角度越大,正弦，正切越大，余弦，余切越小；角度越小，正弦，正切越小，余弦，余切越大。6、解直角三角形(1) 定义:由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。(2) 解直角三角形的依据:a边与边的关系:a2+b2=c2 b角与角的关系:A+B=900 c边与角的关系:（见四1，即锐角三角函数的定义） d在直角三角形中300的锐角所对的边是斜边的一半。e直角三角形斜边上的中线是斜边的一半。f射影定理 直角三角形的直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角

30、边在斜边上射影的比例中项。(3) 解直角三角形的条件: 除直角外，其余的五个元素中，只要知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可求出所有未知元素。(4) 解直角三角形的类型：（见下表）已知条件解法直角边和它的对角，如a,AB=900-A, c=a/sinA, b=acotA直角边和它的邻角，如a,BA=900-B, c=a/cosB, b=atanB斜边和一锐角，如c,AB=900-A, a=csinaA, b=ccosA两条直角边，如a,bc=（a2+b2）1/2, 用tanA=a/b, 求A, B=900-A斜边和一条直角边，如c,ab=（c2-a2）1/2, 用sinaA=a/c, 求

31、A, B=900-A注：（1）在求解直角三角形有关问题时，要画出图形，以利分析解决问题。（2）选择关系式时要尽量利用原始数据以防止误差积累。7、解直角三角形的应用（1）基本思路 a关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，然后按照解直角三角形的类型，求出未知量。 b如果几何图形不是直角三角形，可通过添加适当的辅助线把它们分割或补成一些直角三角形。 c理解常用的专业术语，如7（2）中提到的有关概念。（2）有关概念 a仰角和俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角。 b坡度和坡角：坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），一般”用字母i表示，

32、即i=h/l,坡度一般写成i=1：m的形式，如i=1：5；坡面与水平平面的夹角a叫做坡角。i=tana=h/l,显然坡度越大坡角越大，坡面就越陡。 c 方向角和象限角，在测量中，表示一个目标所处的方向，常用的方法有两种：从正北方向顺时针旋转到某条方位线（即观测点与目标的连线）所成的角叫做这个目标的方位角，方位角的取值在00-3600间；象限角，以观测者位置作为原点，东，西，南，北四个方向把平面分为四个象限，从正北或正南方向为始边旋转到目标的方向线所成的锐角叫做象限角。 d水位和标高，水位就是水面与水底的垂直高度；标高是当水位为0时的高度。 e 水平距离和垂直距离 略五、圆第一单元、和圆有关的一

33、些概念 （点和圆的位置关系）1、圆的定义（1）几何定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心（决定圆的位置），线段OA叫做半径（决定圆的大小）；（2）集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径；2、 点和圆的位置关系：设圆的半径为r，点和圆心的距离为d，则（1）点在圆上 d=r (2)点在圆内 dr (3)点在圆外dr、和圆有关的一些概念(1)弦和直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.(2)弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距.(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧.(4

34、)半圆、优弧、劣弧:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧（用三个大写字母或两个大写字母和一个小写字母表示，端点字母写两头）；小于半圆的弧叫做劣弧（用两个大写字母表示）。（5）弓形和弓形高：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形（由直线和曲线组成的图形）；弧的中点到弦的距离叫做弓形高。（6）同心圆：圆心相同，半径不相同的圆叫做同心圆。（7）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（8）等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧。（9）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。（10）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。（11）点的轨迹：把符合某一条件

35、的所有点组成图形叫做点的轨迹。（12）三角形的外接圆，圆的内接三角形和三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。（13）圆内接多边形和多边形的外接圆：略4、 有关性质、定理和推论（1）圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且还具有旋转不变性，圆心是旋转中心。（2）定理：不在同一条直线上的三个点确定（或有且只有）一个圆。注：过一个点可作无数个圆，圆心不确定；过两个点可作无数个圆，圆心在连接两点的线段的垂直平分线上。（3）垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

36、。（2） 垂径定理的推论：推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 注：可归纳为，一直线，如果具有a经过圆心，b垂直于弦，c平分弦，d平分弦所对的优弧，e平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任意两条，就可推出其它三条，简称“知二推三”推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。（3） 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理和推论a定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。b推论：在同圆和等圆中，如果两个圆心角，两条

37、弧，两条弦，两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。（4） 圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。（5） 圆周角定理和推论a定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。b推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。c推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径。d推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（6） 圆内接四边形的定义和性质a定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形是圆内接四边形。b性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个

38、外角都等于它内对角。注：如果一个四边形有一组对角是直角，那么这个四边形是圆内接四边形。 如果延长圆内接四边形不平行的两条对边，相交于一点，就得到两个相似的三角形。第二单元、直线和圆的位置关系1、直线和圆的位置关系有相交、相切、相离三种情形，直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，直线叫做圆的割线；直线和圆有唯一的一个公共点时，叫做直线和圆相切，直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；直线和圆没有两个公共点时，叫做直线和圆相离。详细情况列表如下：位置关系d与r的关系公共点个数公共点名称直线名称相交dr0无无注：d是直线到圆心的距离,r是圆的半径。2、切线的判定和性质（1）判定 a定义判定法：直

39、线和圆有且只有一个公共点时，直线和圆相切；b距离判定法:直线到圆心的距离等于圆的半径时，直线和圆相切；c定理判定法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（3） 性质 a 定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；b推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；c推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；d圆的切线和圆有唯一公共点； e切线到圆心的距离等于圆的半径。3、三角形的内切圆、内心、圆外切三角形：(1)定义:和三角形各边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形，内切圆的圆心叫做三角形的内心。(2)内心的性质:a连接内心和三角形的各顶点的连线,平分三角形的各

40、个内角. b过内心作三角形各边的垂线,垂线段是三角形内切圆的半径,垂足是三角形各边和内切圆的切点.c在ABC中，若I为ABC的内心，则BIC=900+1/2A （AIC=900+1/2B, AIB=900+1/2C）.d三角形的面积 (S)等于周长(p)与内切圆半径(r)的乘积的一半,即S=1/2pr.e直角三角形内切圆的半径r=1/2（a+b-c）(a,b为直角边,c为斜边)f任意三角形内切圆的半径r=1/2（a+b-c）(a,b,c为三边)注：推导过程如下：第一种方法:S=1/2ab=1/2(a+b+c)r=r=ab/(a+b+c)=r=(a2+b2+2ab)-(a2+b2)/2（a+b+

41、c）=r=(a+b) 2-c2/2（a+b+c）=r=1/2(a+b-c)第一种方法:在等式 r=ab/(a+b+c)的右边分子、分母都乘(a+b-c)后化简可得。第一种方法:如图，根据切线长定理,等量代换等知识推导.5、切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点圆的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（ 平分过两个切点的圆心角，垂直平分以两个切点为端点的弦）。（3）性质：圆外切四边形两组对边的和相等。6、 弦切角和弦切角定理（1）弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另

42、一边和圆相切的角叫做弦切角。（2）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。（3）推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。注：弦切角所夹弧的度数=弧所对的圆心角=2弧所对的圆周角=2弦切角7 和圆有关的比例线段（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。（4）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。第三单元、圆和圆的位置关系1、两圆的位置关

43、系，判定和性质（列如下表：）位置关系简图d , R , r 关系（可判定两圆位置关系） 公共点个数内公切线外公切线连心线性质两圆外离d R+r022过内外公切线的交点两圆外切d =R+r112经过切点两圆相交R-rdR+r( R r)202垂直平分公共弦两圆内切d=R-r(R-r)101经过切点两圆内含dr)000对称轴2、 有关概念和性质(1)连心线:通过两圆圆心的直线叫做连心线.(2)圆心距:两圆圆心的距离叫做圆心距.(3)定理:如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.(4)定理:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.(5)性质：由两个圆组成的图形是连心线为对称轴的轴对称图形3、两圆的公切线:和两圆都相切