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1、平行截割定理与相似三角形适用学科数学适用年级高二适用区域新课标课时时长（分钟）60知 识 点相似三角形的判定及有关性质考情分析在高考中主要考查相似三角形的判定及有关性质、直角三角形射影定理的应 用，其中相似三角形的判定及 性质常与圆的知 识综合在一起考查。教学重点平行截割定理与相似三角形教学难点平行截割定理与相似三角形教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2经过梯形一腰的中点，且与底边
2、平行的直线平分另一腰 考点/易错点2 平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例考点/易错点3 相似三角形的判定定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一
3、个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似 考点/易错点4 两个直角三角形相 似的判定定理如果两个直角三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 (3)相似三角形的性质性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相
4、似比； 相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于相似比的平方考点/易错点5 直角三角形的射影定理直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项。三、例题精析【例题1】【题干】在梯形ABCD中，ADBC，AD2，BC5，点E、F分别在AB、CD上，且EFAD，若，则EF的长为_【答案】【解析】如图所示，延长BA、CD交于点P，ADBC， ，又，.ADEF，又AD2，EF.【例题2】【题干】已知，如图，在ABC中，ABAC，BD
5、AC，点D是垂足求证：BC22CDAC.【解析】过点A作AEBC，垂足为E，CEBEBC，由BDAC，AEBC.又CC，AECBDC.，即BC22CDAC.【例题3】【题干】已知圆的直径AB13，C为圆上一点，过C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，则AD_.【答案】9【解析】如图，连接AC，CB，AB是O的直径，ACB90设ADx，CDAB于D，由射影定理得CD2ADDB，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.ADBD，AD9.四、课堂运用【基础】1如图所示，已知abc，直线m、n分别与a、b、c交于点A，B，C和A，B，C，如果ABBC1，AB，则BC_.解析由平行线
6、等分线段定理可直接得到答案答案2如图所示，BD、CE是ABC的高，BD、CE交于F，写出图中所有与ACE相似的三角形_解析由RtACE与RtFCD和RtABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知BFEA，故RtACERtFBE.答案FCD、FBE、ABD【巩固】3如图，在ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么MON与AOC面积的比是_解析M、N分别是AB、BC中点，故MN綉AC，MONCOA，.答案144如图所示，已知DEBC，BFEF32，则ACAE_，ADDB_.解析DEBC，.BFEF32，.ACAE32.同理DEBC，得ABAD32，即.，即2.即2.ADBD
7、21.答案3221【拔高】5如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，点E、F分别为线段AB、AD的中点，则EF_.解析连接DE和BD，依题知，EBDC，EBDC，EBCD为平行四边形，CBAB，DEAB，又E是AB的中点，故ADDBa，E，F分别是AD、AB的中点，EFDBa.答案6. 如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根（I）证明：C，B，D，E四点共圆；（II）若，且求C，B，D，E所在圆的半径解析：（I）连接DE，根据题意在ADE和ACB中， ADAB=mn=AEAC， 即.又DAE=CAB，从而ADEACB 因此ADE=ACB 所以C，B，D，E四点共圆。（）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.故 AD=2，AB=12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A=900，故GHAB， HFAC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
《平行截割定理与相似三角形》教案
