人教版九年级上册数学全册教案

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1、九年级数学上册教学方案和全册教案二十一章 一元二次方程 第1课时 211 一元二次方程 教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0a0及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目 1通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义 2一元二次方程的一般形式及其有关概念 3解决一些概念性的题目 4通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情 重难点关键 1重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题 2难点关键：通过提出问题，建立一元二次方

2、程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 教学过程 一、复习引入 学生活动：列方程 问题1古算趣题：“执竿进屋笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算出我佩服。如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_尺，长为_尺，根据题意，得_ 整理、化简，得：_ 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题 1上面三个方程整理后含有几个未知数？ 2按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ 3有等号吗？还是及多项式一样只有式子？ 教师点评：1都只含一个未知数x；2它们的最高次数都

3、是2次的；3都有等号，是方程 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数一元，并且未知数的最高次数是2二次的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0a0这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0a0后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项 例1将方程3xx-1=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0a0因此，方程3xx-1=5(x+2)必须运用整

4、式运算进展整理，包括去括号、移项等解：略注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2学生活动：请二至三位同学上台演练 将方程x+12+x-2x+2=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项 分析：通过完全平方公式和平方差公式把x+12+x-2x+2=1化成ax2+bx+c=0a0的形式 解：略 三、稳固练习教材 练习1、2补充练习:判断以下方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0 四、应用拓展 例3求证

5、：关于x的方程m2-8m+17x2+2mx+1=0，不管m取何值，该方程都是一元二次方程 分析：要证明不管m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+170即可 证明：m2-8m+17=m-42+1 m-420 m-42+10，即m-42+10不管m取何值，该方程都是一元二次方程 练习: 1.方程2a4x22bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 2.当m为何值时,方程(m+1)x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程 五、归纳小结学生总结，教师点评 本节课要掌握： 1一元二次方程的概念；2一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=

6、0a0和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用 六、布置作业 第2课时 211 一元二次方程 教学内容 1一元二次方程根的概念； 2根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目 教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题 重难点关键 1重点：判定一个数是否是方程的根； 2难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是

7、否确定是实际问题的根教学过程一、复习引入 学生活动：请同学独立完成以下问题问题1前面有关“执竿进屋的问题中,我们列得方程x2-8x+20=0列表：x1234567891011x2-8x+20 问题2前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44x123456x2+7x列表： 教师点评略 二、探索新知 提问：1问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ 2如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？ 教师点评：1问题1中x=2及x=10是x2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x2+7x-44=0的解.2如果抛开实际问题，问题2中还有x=-

8、11的解 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 回过头来看：x2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解 例1下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根例2.假设x=1是关于x的一元二次方程a x2

9、+bx+c=0(a0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,那么求a的值点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解. 例3你能用以前所学的知识求出以下方程的根吗？ 1x2-64=0 23x2-6=0 3x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义 解：略 三、稳固练习 教材 思考题 练习1、2 四、归纳小结学生归纳，教师点评 本节课应掌握： 1一元二次方程根的概念； 2要会判断一个数是否是一元

10、二次方程的根； 3要会用一些方法求一元二次方程的根(“夹逼方法; 平方根的意义) 六、布置作业 1教材 复习稳固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9 2选用课时作业设计 第3课时 21 配方法 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次，转化为两个一元一次方程 教学目标 理解一元二次方程“降次转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解aex+f2+c=0型的一元二次方程 重难点关键 1重点：运用开平方法解形如x+m2=nn0的方程；领会降次转化的数学思想 2难点

11、及关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如x+m2=nn0的方程 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成以下各题 问题1填空1x2-8x+_=x-_2；29x2+12x+_=3x+_2；3x2+px+_=x+_2问题1：根据完全平方公式可得：116 4；24 2；32 问题2：目前我们都学过哪些方程二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？ 二、探索新知 上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=3，如果x换元为2t+1，即2t+12=9，能否也用直接开平方的方法求

12、解呢？ 学生分组讨论 教师点评：答复是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=3 即2t+1=3，2t+1=-3 方程的两根为t1=1，t2=-2例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为x+22=1 解：(2)由，得：x+32=2 直接开平方，得：x+3= 即x+3=，x+3=- 所以，方程的两根x1=-3+，x2=-3- 例2市政府方案2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到，求每年人均住房面积增长率 分析：设每年人均住房面积增长率为x一年后人均住房面积就应该是

13、10+10x=101+x；二年后人均住房面积就应该是101+x+101+xx=101+x2 解：设每年人均住房面积增长率为x， 那么：101+x2 1+x2 直接开平方，得1+x= 所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去 所以，每年人均住房面积增长率应为20% 学生小结教师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想 三、稳固练习教材 练习 四、应用拓展 例3某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二

14、、三月份营业额平均增长率是多少？ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是1+x，三月份的营业额是在二月份的根底上再增长的，应是1+x2 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x 那么1+1+x+1+x2= 把1+x当成一个数，配方得： 1+x+2=2.56，即x+2=256 x+=1.6，即x+=1.6，x+ 方程的根为x1=10%，x2 因为增长率为正数， 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10% 五、归纳小结 本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如x2=pp0，那么x=转化为应用直接开平方法解形如mx+n2=pp0，那么mx+n=，到达降次转化之目

15、的假设p0那么方程无解 六、布置作业 1教材 复习稳固1、2 第4课时 22.2.1 配方法(1) 教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程 教学目标 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题 通过复习可直接化成x2=pp0或mx+n2=pp0的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤 重难点关键 1重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤 2难点及关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为的转化方法及技巧 教学过程 一、复习引入 学生活动请同学们解以下方程 13x2-1=5 24x-12-9=

16、0 34x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7 教师点评：上面的方程都能化成x2=p或mx+n2=pp0的形式，那么可得x=或mx+n=p0 如：4x2+16x+16=2x+42 ,你能把4x2+16x=-7化成2x+42=9吗 二、探索新知 列出下面问题的方程并答复： 1列出的经化简为一般形式的方程及刚刚解题的方程有什么不同呢？ 2能否直接用上面三个方程的解法呢？ 问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？ 1列出的经化简为一般形式的方程及前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有 2不能 既然不能直接降次解方

17、程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化： x2+6x-16=0移项x2+6x=16两边加6/22使左边配成x2+2bx+b2的形式 x2+6x+32=16+9左边写成平方形式 x+32=25 降次x+3=5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解 例1用配方法解以下关于x的方程 1x2-8x

18、+1=0 2x2-2x-=0 分析：1显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；2同上 解：略 三、稳固练习 教材P38 讨论改为课堂练习，并说明理由 教材P39 练习1 21、2 四、应用拓展例3如图，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 分析：设x秒后PCQ的面积为RtABC面积的一半，PCQ也是直角三角形根据列出等式 解：设x秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 根据题意，得：8-x6-x=86 整理，得：x2-14x

19、+24=0 x-72=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去 所以2秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 五、归纳小结 本节课应掌握： 左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程 六、布置作业 1教材 复习稳固23(1)(2) 第5课时 21.2.1 配方法(2) 教学内容 给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程 教学目标 了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目 重难点关键

20、1重点：讲清配方法的解题步骤 2难点及关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 学生活动解以下方程： 1x2-4x+7=0 22x2-8x+1=0 教师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进展解题 解：略. (2)及(1)有何关联 二、探索新知讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：(1)现将方程化为一般形式；2化二次项系数为1；3常数项移到右边；4方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；5变形为(x+p)

21、2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-pq；如果q0,方程无实根 例1解以下方程 12x2+1=3x 23x2-6x+4=0 31+x2+21+x-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方解：略 三、稳固练习 教材P 练习 23、4、5、6 四、归纳小结 本节课应掌握：1配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤2配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性如例3在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。 六、布置作业45 复习稳固334补

22、充：1x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，那么求x+y+z的值2求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数第6课时 21.2.2 公式法 教学内容 1一元二次方程求根公式的推导过程； 2公式法的概念； 3利用公式法解一元二次方程 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0a0的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程 重难点关键 1重点：求根公式的推导和公式法的应用 2难点及关键：一元二次方程求根公式法的推导 教学过程一、 复

23、习引入1 前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法，比方，方程1x2=4 (2)(x-2) 2=7提问1 这种解法的理论依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？只对那种“平方式等于非负数的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。 2面对这种局限性，怎么办？使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方的形式。 学生活动用配方法解方程 2x2+3=7x 教师点评略 总结用配方法解一元二次方程的步骤学生总结，教师点评(1)现将方程化为一般形式；2化二次项系数为1；3常数项移到右边；4方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；5变形为(x+p)2=q的形

24、式，如果q0，方程的根是x=-pq；如果q0,方程无实根二、探索新知用配方法解方程 （1） ax27x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0a0，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题 问题：ax2+bx+c=0a0，试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗什么情况下有解？) 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+2=-+2 即x+2=

25、 4a20，4a20, 当b2-4ac0时0 x+2=()2 直接开平方，得：x+= 即x= x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0a0的根由方程的系数a、b、c而定，因此： 1解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这表达了公式的统一性及和谐性。) 2这个式子叫做一元二次方程的求根公式3利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解 4由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 例1用公式法解以下方程 12x2

26、-x-1=0 2x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 44x2-3x+2=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可 补:5x-23x-5=0 三、稳固练习 教材P42 练习11、3、5或(2) 、(4) 、(6) 四、应用拓展 例2某数学兴趣小组对关于x的方程m+1+m-2x-1=0提出了以下问题 1假设使方程为一元二次方程，m是否存在？假设存在，求出m并解此方程 2假设使方程为一元二次方程m是否存在？假设存在，请求出 你能解决这个问题吗？ 分析：能1要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足m+10 2要使它为一元一次方程，必须满足:

27、或或 五、归纳小结 本节课应掌握： 1求根公式的概念及其推导过程； 2公式法的概念； 3应用公式法解一元二次方程的步骤:1将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，假设结果为负数，方程无解，4假设结果为非负数，代入求根公式，算出结果。 4初步了解一元二次方程根的情况 六、布置作业教材 复习稳固4第7课时 判别一元二次方程根的情况 教学内容 用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0a0的根的情况及其运用 教学目标 掌握b2-4ac0，ax2+bx+c=0a0有两个不等的实根，反之也成立；b2-4a

28、c=0，ax2+bx+c=0a0有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac0、b2-4ac=0、b2-4ac0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac0，有两个不相等的实根；2b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；3b2-4ac=-441=00时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=x1=，即有两个不相等的实根当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0a0有两个不相等实数根即x1=，x2= 2当b-4ac=0时，一元二次

29、方程ax2+bx+c=0a0有两个相等实数根即x1=x2= 3当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0a0没有实数根 例1不解方程，判定方程根的情况 116x2+8x=-3 29x2+6x+1=0 32x2-9x+8=0 4x2-7x-18=0 分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进展分析即可 解：1化为16x2+8x+3=0 这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4163=-1280的解集用含a的式子表示 分析：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二次方程a-2x2-2ax

30、+a+1=0没有实数根，即-2a2-4a-2a+10一元二次方程ax2+bx+c=0a0有两个不相等的实根；b2-4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0a0有两个相等的实根；b2-4ac0一元二次方程ax2+bx+c=0a0没有实数根及其它的运用 六、布置作业 教材复习稳固6 综合运用9 拓广探索1、2 第8课时 因式分解法 教学内容 用因式分解法解一元二次方程 教学目标 掌握用因式分解法解一元二次方程 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题 重难点关键 1重点：用因式分解法解一元二次方程 2难点及关键：

31、让学生通过比拟解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便 教学过程 一、复习引入 学生活动解以下方程 12x2+x=0用配方法 23x2+6x=0用公式法 教师点评：1配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上2，同时减去22直接用公式求解 二、探索新知 学生活动请同学们口答下面各题 教师提问1上面两个方程中有没有常数项？ 2等式左边的各项有没有共同因式？ 学生先答，教师解答上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 因此，上面两个方程都可以写成： 1x2x+1=0 23xx+2=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是1x=0或

32、2x+1=0，所以x1=0，x2=- 23x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2以上解法是如何实现降次的？ 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法 例1解方程 x2 =0 2xx-2+x-2 =0 (3)5x2-2x-=x2-2x+ (4)(x-1) 2 =(3-2x) 2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？ 解：略 方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。练习：1下面一元二次方程解法中，正确的选项是 Ax-3x-5=102，x

33、-3=10，x-5=2，x1=13，x2=7 B2-5x+5x-22=0，5x-25x-3=0，x1= ，x2= Cx+22+4x=0，x1=2，x2=-2 Dx2=x 两边同除以x，得x=1三、稳固练习 教材 练习1、2 例29a2-4b2=0，求代数式的值 分析：要求的值，首先要对它进展化简，然后从条件入手，求出a及b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比拟大，比拟容易发生错误 解：原式= 9a2-4b2=0 3a+2b3a-2b=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-b或a=b 当a=-b时，原式=-=3 当a=b时，原式=-3 四、应用拓展 例3我们知道x2-a+bx+ab=x

34、-ax-b，那么x2-a+bx+ab=0就可转化为x-ax-b=0，请你用上面的方法解以下方程 1x2-3x-4=0 2x2-7x+6=0 3x2+4x-5=0 分析：二次三项式x2-a+bx+ab的最大特点是x2项是由xx而成，常数项ab是由-a-b而成的，而一次项是由-ax+-bx穿插相乘而成的根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式 五、归纳小结 本节课要掌握： 1用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用 2因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0 六、布置作业 教材 复习稳固5 综合运用8、10 拓广探索11 第9课时

35、 一元二次方程的解法复习课 教学内容 习题课教学目标能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理，通过提醒各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法。重难点关键1 重点：会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理。2 难点：通过提醒各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。教学过程1用不同的方法解一元二次方程3 x2-5x-2=0(配方法，公式法，因式分解发)教师点评：三种不同的解法表达了同样的解题思路把一元二次方程“降次转化为一元一次方程求解。2把以下方程的最简洁法选填在括号内。(A)直接开平方法 (B) 配方法 (C)

36、公式法 (D)因式分解法17x-3=2 x2 ( ) (2)4(9x-1) 2=25 ( ) (3)(x+2)(x-1)=20 ( ) (4) 4x2+7x=2 ( ) (5)2(0.2t+3) 2-12.5=0 ( ) (6) x2+2x-4=0 ( )说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，假设没有特殊说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便。3 将以下方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。(1)3x2=x+4 (2)(2x+1)(4x-2)=(2

37、x-1) 2+2 (3)(x+3)(x-4)=-64(x+1) 2-2(x-1) 2=6x-5说明：将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的根本技能，而节能为揭露的选择提供根底。4.阅读材料，解答问题：材料：为解方程(x2-1) 2-5(x2-1) 2+4=0,我们可以视x2-1为一个整体，然后设x2-1=y,原方程可化为y 2-5y+4=0.解得y1=1,y2=4。当y1=1时，x2-1=1即x2=2，x=.当y2=4时，x2-1=4即x2=5, x=5。原方程的解为x1= ,x2=- ,x3=5,x4=-5解答问题：1填空：在由原方程得到的过程中利用_法，到达了降次的目的，表达_的

38、数学思想。2解方程x4x26=0.5.小结(1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识(消元、降次、化归的思想)(2)三种方法配方法、公式法、因式分解法的联系及区别： 联系降次，即它的解题的根本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次 公式法是由配方法推导而得到 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程 区别：配方法要先配方，再开方求根 公式法直接利用公式求根 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0作业P58复习题22 1. 一元二次方程根及系数的关系 【教学设计总意图】：本课是一节公式定理的新知课第一课时

39、，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但在中考中表达，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用. 本册教材又将曾一度删去的内容恢复，可见根系关系的重要.它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一课时，让学生体会公式根本内容，在头脑中形成积极印象很关键. 所以从绝大多数同学掌握的知识程度出发，针对本班学生的特点，本课在(a0 , b2 4ac0)的前提条件下设计，所有的一元二次方程均有解.教学目标：1、理解根系关系的推导过程； 2、掌握不解方程，应用根系关系解题的方法； 3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路教学重点：应用根系关系解决问题；教学难点

40、：根系关系的推导过程教学流程：引入新知，推导新知，稳固新知，应用新知， 教学过程：一、 前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话，内容如下：郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？董：什么秘密？郑：你知道咱们得意的张教师年龄到底有多大吗？董：哦？郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x2 12x +35 =0的两根的积，回去你把2根求出来就知道了.董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张教师的年龄啊还是方程x2 -35x -200=0的2根的和呢.郑：哈哈，你太有才了。对了，咱们应该也让同学猜一猜，不解方程，能不能求出张教师的年龄

41、.【设计意图】创设一个情境：学生自我娱乐的同时自我探讨数学知识,本班学生活泼，他们自己在平时也会开一些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的兴趣.二、 求出以下方程的2根，计算2根和及2根积的值，并猜测2根和、2根积及一元二次方程各项系数之间的关系序号一元二次方程x1x2x1+x2x1x21x2 5x +6 =0235622x2 3x +1 =0133x2 + x -2 =0- 1- - 【设计意图】二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会及猜测2根和、2根积及系数之间的关系.三、 引导学生独立证明： x1和x2 是一元二次方程 ax2 +

42、bx +c =0 (a0 , b2 4ac0) x1+x2 = - , x1x2 = 注意：负号不能漏写【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识根底上，可以最快速度说出x1和x2的值，接下来将字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式 x1+x2 和x1x2 得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程.还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀.四、 应用第一组习题：不解方程，求以下方程的2根和及2根积（1） x2 3x +1 =0（2） 3x2 2x - 2=0（3） 2x2 3x =0（4） 3x2 =1【设计意

43、图】新知产生后，直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最根本的知识目标，这时需要强化记忆，除设计第1组习题外还设计板书例题和第2组习题.第一组习题小评时，可引导学生发现应用根系关系解决2根和及2根积的问题不需求出复杂的2根，同时渗透着整体代入的数学方法，为例2稳固知识奠定根底.例2：x1和x2 是一元二次方程x2 -4x +1=0的2根, 求以下代数式的值1 + 2x12 + x22 3x1 - x22 学生练习：1 + 2x1+1x2+1【设计意图】 本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法 .五、 本课小结：六、

44、 课后作业：第10课时 21.3 实际问题及一元二次方程(1) 教学内容 由“倍数关系等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题 教学目标 掌握用“倍数关系建立数学模型，并利用它解决一些具体问题 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系建立数学模型，并利用它解决实际问题 重难点关键 1重点：用“倍数关系建立数学模型 2难点及关键：用“倍数关系建立数学模型 教学过程 一、复习引入 学生活动问题1：列一元一次方程解应用题的步骤？ 审题，设出未知数. 找等量关系. 列方程， 解方程， 答. 二、探索新知 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用

45、一元一次方程的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题 学生活动探究1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人分析: 1第一轮传染 1+x第二轮传染后1+x+x(1+x)解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么第一轮后共有 人患了流感,第二轮后共有 人患了流感.列方程得 1+x+x(x+1)=121 x2+2x-120=0解方程,得x1=-12, x2=10根据问题的实际意义,x=10答:每轮传染中平均一个人传染了10个人.思考:按照这样的传染速度,三

46、轮传染后有多少人患流感 (121+12110=1331)通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗后一轮被传染的人数前一轮患病人数的x倍烈已于练习.1.某种植物的主干长出假设干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支解:设每个支干长出x个小分支, 那么1+x+x.x=91即x2+x-90=0 解得x1=9,x2=10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.2.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,方案安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛五、归纳小结本节课应掌握：1. 利用“倍数关系建立关于一元二次方程

47、的数学模型，并利用恰当方法解它2. 列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤1审2设3列4解5验检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去。6答六、布置作业 1教材P58 复习题22 6 第11课时 21.3实际问题及一元二次方程(2)教学内容建立一元二次方程的数学模型，解决增长率及降低率问题。教学目标 掌握建立数学模型以解决增长率及降低率问题。重难点关键 1重点：如何解决增长率及降低率问题。2难点及关键：解决增长率及降低率问题的公式a(1x)n=b,其中a是原有量,x增长或降低率,n为增长或降低的次数,b为增长或降低后的量。教学过程探究2两年前生产 1吨甲种药品的本钱是5000元,生产1吨

48、乙种药品的本钱是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的本钱是3000元,生产1吨乙种药品的本钱是3600元，哪种药品本钱的年平均下降率较大 分析:甲种药品本钱的年平均下降额为 (5000-3000)2=1000(元) 乙种药品本钱的年平均下降额为 (6000-3600)2=1200(元)乙种药品本钱的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率解:设甲种药品本钱的年平均下降率为x,那么一年后甲种药品本钱为5000(1-x)元,两年后甲种药品本钱为 5000(1-x)2 元,依题意得 50001-x2=3000解方程,得答:甲种药品本钱的年平均下降率约为22.

49、5%.算一算:乙种药品本钱的年平均下降率是多少 比拟:两种药品本钱的年平均下降率(22.5%,一样)思考：经过计算,你能得出什么结论本钱下降额较大的药品,它的本钱下降率一定也较大吗 应怎样全面地比拟对象的变化状况经过计算,本钱下降额较大的药品,它的本钱下降率不一定较大,应比拟降前及降后的价格.小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式假设平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,那么它们的数量关系可表示为a(1x)n=b(中增长取+,降低取)二稳固练习 1某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材

50、多少立方米2某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率一样，均为x，可列出方程为_(3)公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率一样，求这个增长率4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？三应用拓展 例2某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，假设存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率 分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x80%；第二次存，本金就变为1000+2000x80%，其它依此类推 解：设这种存款方式的年利率为x 那么：1000+2000x80%+1000+2000x8%x80%=1320 整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0 解得：x1=-2不符，舍