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1、存在性问题-直角三角形例题1：如图，已知直角梯形ABCD中，ADBC，BAD=90，AD=2,AB=4,BC=5,点P为AB边上一动点，连接PC、PD,若PCD为直角三角形，则满足条件的点P有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个例2：12345670-11-21-31-41xy123456-11-21-31-41AB在直角坐标平面内，为原点，二次函数的图像经过A（-1，0）和点B（0，3），顶点为P。（1）求二次函数的解析式及点P的坐标；（2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标。例3：如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于
2、点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式 练习1：如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为点在抛物线的图象上，过点作轴，垂足为，且点横坐标为（1）求证：；（2）求所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由ABDCOxy(第25题图)练习2.如图，在平面直角坐标系中，直
3、线交轴于点，交轴于点，抛物线的图象过点，并与直线相交于、两点. 求抛物线的解析式（关系式）； 过点作交轴于点，求点的坐标； 除点外，在坐标轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 练习2. 答案 ； 、或、或、或解： 如图，因为一次函数交轴于点，所以，即.又，一次函数交轴于点，所以，即. 由、是抛物线的图象上的点， 所以，抛物线的解析式是： 如图，、 在中， 点的坐标：设除点外，在坐标轴上还存在点，使得是直角三角形 .在中，若， 那么是以为直径的圆与坐标轴的交点， .若交点在上（如图），设，则有， ，此时 .若交点在上（如图），设，此时过作垂直于点，则有
4、，于是： ， ，此时， 或 .在中，若，如图，设，同样过作垂直于点，则在中，有 ， 此时， 综上所述，除点外，在坐标轴上还存在点，使得是直角三角形，满足条件的点的坐标是：、或、或、或，共四个点.例3.考点：二次函数综合题。分析：（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解（2）根据题意求出ACD中AC边上的高，设为h在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，
5、从而求得D点坐标注意：这样的平行线有两条，如答图1所示（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形从而问题得解注意：这样的切线有两条，如答图2所示解答：解：（1）令y=0，即=0，解得x1=4，x2=2，A、B点的坐标为A（4，0）、B（2，0）（2）SACB=ABOC=9，在RtAOC中，AC=5，设ACD中AC边上的高为
6、h，则有ACh=9，解得h=如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=1的两个交点即为所求的点D设l1交y轴于E，过C作CFl1于F，则CF=h=，CE=设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（4，0），B（0，3）坐标代入，得到，解得，直线AC解析式为y=x+3来源:学.科.网直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，直线l1的解析式为y=x+3=x则D1的纵坐标为（1）=，D1（4，）同理，直线AC向上平移个长度单位得到l2，可求得D2（1，）综上所述，D点坐标为：D1（4，），D2（1，）
7、（3）如答图2，以AB为直径作F，圆心为F过E点作F的切线，这样的切线有2条连接FM，过M作MNx轴于点NA（4，0），B（2，0），F（1，0），F半径FM=FB=3又FE=5，则在RtMEF中，ME=4，sinMFE=，cosMFE=在RtFMN中，MN=MNsinMFE=3=，FN=MNcosMFE=3=，则ON=，M点坐标为（，）直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=kx+b，则有，解得，所以直线l的解析式为y=x+3同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x3综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x3点评：本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用难点在于第（3）问中对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解，这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用
二轮-存在性问题直角三角形
