专题5导数的应用含参函数的单调性讨论

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1、专题5导数的应用含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视一、思想方法：f(x)0x,AB.f(x)增区间为A,B和.f(x)0x,CD.f(x)增区间为C,D和.x,D时/(x)0f(x)在区间D上为增函数x,D时/(x)0f(x)在区间D上为减函数x,D时/(x)=0f(x)在区间D上为常函数讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论二、典例讲解典例1讨论f(x)=x+a的单调性，求

2、其单调区间.x解：f(x)=x+-的定义域为(8,0)(0,+8)xax2af(x)二1二(x丰0)(它与g(x)二x2a同号)x2x2I) 当a0时，f(x)0(x丰0)恒成立，此时f(x)在(8,0)和(0,+8)都是单调增函数，即f(x)的增区间是(8,0)和(0,+8)；II) 当a0时f(x)0(x丰0)xa或xaf(x)0(x丰0)一ax0或0x0)(它与g(x)=x+a同号)xxI) 当a0时，f(x)0(x0)恒成立，此时f(x)在(0,+，)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,+，)，不存在减区间；II) 当a0时f(x)0(x0)ox-a；f(x)0(x0)o0x0(x

3、0)恒成立(此时f(x)=0ox=-没有意a义)此时f(x)在(0,+，)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,+，)II) 当a0时，f(x)0(x0)恒成立，(此时f(x)=0x=-丄不在定义域内，没有意义)a此时f(x)在(0,+，)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,+，)III) 当a0时，无解；当a0时,x-(另一根不在定义域内aa舍去)i)当a-0时，f(x)0(x0)恒成立(此时f(x)-0x2-一-没有意义)a此时f(x)在(0,+，)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,+，)ii) 当a0时，f(x)0(x0)恒成立，(此时方程ax2+1-0判别式A0,方程无解)

4、此时f(x)在(0,+，)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,+，)iii) 当a0，f(x)是开口向上的二次函数，11令f(x)=0得x=,x(a0),因此可知(结合f(x)的图象)13a2ai)当a0时，xx12f(x)0ox-或x;f(x)0。一丄x-a3aa3a所以此时，f(x)的增区间为(8,)和(丿-,+8)；f(x)的减区间为(-,)a3aa3aii)当a0of(x)0oxx12x-丄;3aa11x);f(x)的减区间为(匸，3aa3aa小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论(即分讨论其相应不等式的解区间)，常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要

5、注意讨论两根大小(分大、小、等三种情况)。含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负变式练习3求f(x)=3x3+2ax2+x1的单调区间.解：f(x)的定义域为R，f(x)二x2ax1f(x)是开口向上的二次函数，A=a2-4I) 当A0o，2a2时，f(x)0oa2时令f(x)二0得=,x一a+a2一4,xx212因此可知（结合f（X）的图象）f（x）与f（x）随X变化情况如下表X(,x)1x1(x,x)12x2(x,炖)2f(x),00,f(x)增/减增/所以此时，f（X）的增区间为Y,a弓“4）和（-a+丫2_4,+耳

6、）；f（X）的减区间为（a24a小结：三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论；然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表，注意用根的符号x,x代12替复杂的式，最后结论才写回个别点处导数为0不影响单调性只有在某区间内导数恒为0时，相应区间内原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况.总结：求单调区间要确定定义域，确定导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是类型（一次与二次的根个数显然不同）；第二有没有根（二次的看判别式），第三是有根是

7、否为增根（在不在定义根内；第四有根的确定谁大；第五看区间内导函数的正负号（二次函数要看开口）确记要数形结合，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题中往往有特别条件，不少讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个）判别式与开口的讨论点先谁都可以，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根时它只有一种符号，相应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单调函数较简单导数的应用含参函数的单调性讨论班级姓名1已知函数f(x)lnx-,求f(X)的单调区间.x解：函数的定义域为(，+8),f(X)=-=巴丄,xx2x2令f(x)=0得:xa若-a0，则广,)0,f(x)在(0,)上单调递增；若a0即

8、a0得，由广,)0时，f(x)在(0,+8)上单调递增；当a0时,f(x)在(-a,+8)上单调递增在()上单调递减2.已知函数f(x)=2x2-ax+(a-1)lnx,讨论函数f(x)的单调性，求出其单调区间.解：f(x)的定义域为(0,+8)./、a-1x2-ax+a-1(x-1)(x+1-a),x1)x-,a1)f(x)x-a+=xxxx令f(x)=0得:1,xa112(1) 若a-10即a0ox1;f(x)0o0x0即a1时， 若a11即a2时，f(x)二匕0,故f(x)在(0,+8)单调递增.x 若0a11,即1a2时，由f(x)0得，a1x0得，0x1故f(x)在(a1,1)单调递

9、减，在(0,a1),(1,+8)单调递增. 若a11,即a2时，由f(x)0得，1x0得，0xa1故f(x)在(1,a1)单调递减，在(0,1),(a1,+8)单调递增.综上所述，当a1，f(x)单调增区为(1,+8),减区间是(0,1)；当1a2时，f(x)的减区间是(1，a1)，在增区间是(0,1),(ah+8).3.已知函数f(x)ax3+3x2+3x+1,a,R,讨论函数f(x)的单调性.解：因为f(x)ax3+3x2+3x+1,a,R,所以f/(x)=3(ax2+2x+1)(1)当a0时，f/(x)3(2x+1),当x2,时，f/(x)0时，f/(x)3(ax2+2x+1)的图像开口

10、向上，A=36(1-a)I)当a1时，A36(1a)0,时，f/(x)0，所以函数f(x)在R上递增；II)当0a0,时，方程f/(x)=0的两个根分别为1+J1a,x,且xx,a2a121J1a1+Ja所以函数f(x)在(叫)，(,+8)上单调递增,a在(丄旦,出三)上单调递减;aa(3)当a011a1+V1a方程f/(x)0的两个根分别为x,x,且1a2axx,12所以函数f(x)在(-8,土匕)a(土匕,+8)上单调递减,a1+寸1a1J1a在(，)上单调递增。aa1+、：1a1；1a综上所述，当a0时，所以函数f(x)在(，)上单调递增，aa1+J1a、1J1a在(8,)，(,+8)上

11、单调递减;当a0时，f(x)在(-，,-上单调递增，在-2,+，)上单调递减;11a1+1a当0a1时，所以函数f（x）在（，,）,（,+，）上单调递aa增,11a1+1a在(，)上单调递减;aa当a1日寸，函数f(x)在R上递增；1a4.已知函数f(x)Inx一ax+一1(agR).讨论f(x)的单调性.x1a解：因为f(x)Inx-ax+-1的定义域为(0，+,)x1a1ax2x所以f（x）a+xg（0,+，），xx2x2令h(x)ax2x+1a,xg(0,+，)，贝yf(x)与g(x)同号法一：根据熟知二次函数性质可知g(x)的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论:(1)当也二0时，迦

12、=,听以当M(0,1)时,应此时于(对0,函数川对单调递减i当施厲柯时，班对0,函数了单调递增(2)当盘韭0时，由/(；x)=0,即a+1ci=0,解得珂=1无=丄一1a当a0时，由于一KO0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；xg(1,+，)时，h(x)0，函数f(x)单调递增.当a0时，h(x)开口向上，但x2是否在定义域需要讨论：因110,a0，函数f(x)单调递增.x(1,+8)时，h(x)0，此时f(x)V0,函数f(x)单调递减;ii)当0a10,g(x)开口向上且在(0,+a)有两根2ax(0,1)时，h(x)0，此时f(x)V0,函数f(x)单调递减；x(1,1)时h(x)

13、V0,此时f(x)0，函数f(x)单调递增；ax(丄1,+a)时，h(x)0,此时f(x)V0,函数f(x)单调递减;ac)当1a1时，0-10，此时f(x)V0,函数f(x)单调递减;ax(丄1,1)时h(x)V0,此时f(x)0，函数f(x)单调递增；ax(1,+a)时，h(x)0,此时f(x)V0,函数f(x)单调递减;小结：此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内，再讨论两根大小注，结合g(x)的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨论

14、相应。法二：(1) 当a=0Bf,扯对=x+l,;rE(O,4W),听以当血(0,1)时，纵讥0,此时/(a)0,函数川不)单调递减；当工E(l,4w)时，刃(巧0,此时八论心函数了单调递増(2) 当盘“时，由/)=0,即一工+1&=0,解得疋1=1心=丄一1a10,a0或a1ai) 当a0，此时f(x)V0，函数f(x)单调递减；x(1,)时，h(x)V0,此时f(x)0，函数f(x)单调递增.ii) 当a10，0a1时g(X)开口向上且x2时，由于一1V00，函数f(x)单调递增.(0,+)i)当a=2时,xh(x)20恒成立,2,x(1,)时，h(x)0，此时f(x)V0,函数f(x)单

15、调递减;此时f(x)W0，函数f(x)在(0,a)上单调递减;ii)当0VaV时，一110,g(x)开口向上且在(0,+a)有两根2ax(0,1)时，h(x)0，此时f(x)V0,函数f(x)单调递减；x(J一1)时h(x)V0,此时f(x)0，函数f(x)单调递增；ax(11,+a)时，h(x)0,此时f(x)V0,函数f(x)单调递减;aiii)当1a1时，0-11,g(x)开口向上且在(0,+，)有两根2aX(0,1)时，h(x)0，此时f(x)vo，函数f(x)单调递减;ax(1,1)时h(x)V0,此时f(x)0，函数f(x)单调递增；ax(1,+，)时，h(x)0，此时f(x)V0

16、，函数f(x)单调递减;5.设a0，讨论函数f(x)二Inx+a(1a)x22(1a)x的单调性.解：函数f(x)的定义域为(0,+,)f(x)二1+2a(1a)x2(1a)二2a(1a)x22(1a)x+1(x0)xx令g(x)二2a(1a)x22(1a)x+1,则f(x)与g(x)同号(1)当a二1时，g(x)=1,f(x)=10,f(x)=lnx在定义域(0,+，)上为增函数x(2)当a丰1时，A=4(1a)28a(1a)=12a216a+4=4(3a1)(a1)当A0O3a0，则f(x)在(0,+，)上单调递增当A0oa1或a1,此时令f(x)=0，解得1aA1a+Ax二,x二12a(

17、1a)22a(1a)由于2a(1a)0o0a1og(x)开口向上且0xx,12因此可进一步分类讨论如下：i)当a1时，2a(1a)0ng(x)开口向下，x00，f(x)0o0xx;f(x)0oxx则f(x)在(0,1a2(3aaD)上单调递增,2a(1a)11递增，在(1一a(3a一1)(a一1)2a(1a),+，)上单调递减ii)当0af(x)0o0xx或xx;f(x)0oxxx12121-a-%/(3a1)(a1)则f(x)在(0,-2a(1一a),(上書辛EU,+,)上单调2a(1a)1一a73a一1)(a一D)上单调递减2a(1一a)在(1-a_(3a-)(a-1)土2a(1a)综上所

18、述，f(x)的单调区间根据参数a讨论情况如下表:0a1311a13a1(0,x)1(x,x)12(x,+，)2(0,+，)(0,x)1(x,+，)1增减增增增增(其中x=丄一巫更辺,x=丄+42)12a2a(1a)22a2a(1a)16.已知函数/(x)=ln(1+x)-x+一kx2(k三o),求f(x)的单调区间.2解：xe(1,+,),f(x)=.令f(x)=0得：=0,x=,(k丰0)1+x12k(1) 当k=0时，f(x)=1+x所以，在区间(1,0)上,f(x)0；在区间(0,+，)上,f(x)0.故/(x)的单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0,+，).(2) 当x1即1时

19、，考虑到得，无解.2kx2(3) 当x=x即k=1时，f(x)=0故f(x)的单调递增区间是(1,+，).211+x(4) 当xx即0k0)时，211-k1-k由f(x)0得，0x；由f(x),0得，一1x0或X,kk1一k1一k故f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(,+)，单调递减区间是(0,).kk(5)当xx即k,1(k0)时，211一k1一k、由f(x)0得,x0；由f(x),0得,-1x-或x,0k.k1一k1一k故f(x)的单调递增区间-1)和(0,+)单调递减区间是(，0).kk综上知：当k0时，f(x)得单调递增区间是(-1,0)，单调递减区间是(0,+)；当k=1时，f(x)的单调递增区间是(-1,+)；1一k当0k1时，f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(,+)，单调递减区间是k(0,1-k当k,1时，f(x)的单调递增区间是(-1,)和(0,+)，单调递减区间是k,0)13