2016新课标三维人教B版数学选修1-12.3抛物线

《2016新课标三维人教B版数学选修1-12.3抛物线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016新课标三维人教B版数学选修1-12.3抛物线（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2.3抛_物_线23.1抛物线的标准方程抛物线的定义如图，把一根直尺固定在图板内直线l的位置，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘再把一条绳子的一端固定于三角板的另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔描出一条曲线问题1：笔尖(设为动点M)在运动过程中满足的条件是什么？提示：|MC|MF|.问题2：|MC|是点M到直线l的距离吗？提示：因为ACl，所以|MC|是M到l的距离问题3：此曲线是否为椭圆或一支双曲线？如果不是，猜想它是什么？提示：

2、不是椭圆，也不是一支双曲线，而是抛物线平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.抛物线的标准方程在平面直角坐标系中，有以下点和直线A(1,0)，B(1，0)，C(0,1)，D(0，1)；l1：x1，l2：x1，l3：y1，l4：y1.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y24x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y24x.问题3：到定点C和定直线l3、到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？提示：x24y，x24y.抛物线标准方程的几种形式图形标

3、准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线2抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点决定于一次项，开口决定于正负号，即标准方程中，如果含的是x的一次项，则焦点就在x轴上，并且焦点的横坐标为，相应的准线是x(或x)，如果含的是y的一次项，有类似的结论3抛物线标准方程中的参数p的几何

4、意义是焦点到准线的距离求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)准线方程为2y40；(2)过点(3，4)；(3)焦点在直线x3y150上思路点拨精解详析(1)准线方程为2y40，即y2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x22py(p0)，又2，所以2p8，故抛物线方程为x28y.(2)点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10)把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(3)令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0

5、，5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.一点通求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2ay(a0)1以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()Ay216xBy216xCy28x Dy28x解析：由双曲线方程1，可知其焦点在x轴上，由a216，得a4，该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，抛物线的焦点为F(4,0)设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由4，得p8，故所

6、求抛物线的标准方程为y216x.答案：A2根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y1；(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.解：(1)由准线方程为y1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且1，则p2.故抛物线的标准方程为x24y.(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y22px(p0)，则焦点坐标为，准线为x，则焦点到准线的距离是p3，因此所求的抛物线的标准方程是y26x.抛物线定义的应用例2已知抛物线的方程为x28y，F是焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|PA|的值最小思路点拨精解详析(2)20)，则1022p(2)，p25，抛物线方程为x250

7、y，即yx2.(6分)若货船沿正中央航行，船宽16 m，而当x8时，y821.28 m，即船体在x8之间通过，B(8，1.28)，此时B点距水面6(1.28)4.72 (m)，而船体高为5 m，无法通行(9分)又54.720.28 m,0.280.047，15071 050 (t)，即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t，而船最多还能装1 000 t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔(12分)一点通涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决，建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解5探照灯反

8、光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是()A11.25 cm B5.625 cmC20 cm D10 cm解析：如图建立直角坐标系，设抛物线方程是y22px(p0)，因为A(40,30)在抛物线上，3022p40，p，光源到反光镜顶点的距离为5.625 (cm)答案：B1求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形”(确定焦点位置)定量(参数p的值)的程序求解2应用定义可以解决两类问题：求抛物线的方程；涉及抛物线的最值问题，通常将到焦点的距离转化为到准线的距离，充分

9、利用直角梯形的性质解题1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则拋物线的方程是()Ay28xBy28xCy24x Dy24x解析：由准线方程为x2，可知拋物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p4，所以标准方程为y22px8x.答案：B2若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2 B2C4 D4解析：由椭圆方程可知a，b，c2，椭圆右焦点为(2,0)，2，p4.答案：D3已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1C. D.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|A

10、F|BF|).答案：C4设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线B双曲线C椭圆 D圆解析：由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线答案：A5抛物线xy2的焦点坐标是_解析：方程改写成y24mx，得2p4m，p2m，即焦点(m,0)答案：(m,0)6右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_ m.解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)

11、在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2 m.答案：27根据下列条件求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.解：(1)双曲线方程化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)且3，p6，方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义得5|AF|m|.又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.8如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构

12、成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m.(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7 m，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少m(精确到0.1 m)?解：如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，代入方程解得p，所以该抛物线的方程为x25y.(2)设车辆的高为h，则|DB|h0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0 m.23.2抛物线的几何性质一只很

13、小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴探照灯也是利用这个原理设计的问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对问题3：抛物线有渐近线吗？提示：没有抛物线的简单几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点

14、FFFF准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下1在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较椭圆双曲线抛物线对称轴x轴和y轴x轴或y轴对称中心(0,0)(0,0)无顶点4个2个1个(0,0)焦点2个2个1个准线不研究不研究1条渐近线无2条无离心率e(0,1)e(1，)e12参数p(p0)对抛物线开口大小的影响因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大3抛物线的图像具有的特征抛物线是轴对称图形，其焦点F和准线与对称轴的交点关于原点O对称，即若准线与对称轴的交点为M，则O为MF的中点

15、利用抛物线的几何性质求标准方程例1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程思路点拨解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可精解详析椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6，抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3和x3.一点通用待定系数法求抛物线方程的步骤：1顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()Ax23yBy26

16、xCx212y Dx26y解析：依题意知抛物线方程为x22py(p0)的形式，又3，p6,2p12，故方程为x212y.答案：C2在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的标准方程是_解析：线段OA的垂直平分线为4x2y50，与x轴的交点为，抛物线的焦点为，其标准方程是y25x.答案：y25x抛物线几何性质的应用例2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长思路点拨先证明x轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长精解详析如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐

17、标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.又OAOB，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x22p)0.x10，x20,2p0，x1x2，由此可得|y1|y2|，即线段AB关于x轴对称由此得AOx30，所以y1x1，与y2px1联立，解得y12p.|AB|2y14p.一点通抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质3等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p

18、0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则RtABO的面积是()A8p2 B4p2C2p2 Dp2解析：由抛物线的对称性，可知kOA1，可得A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，2p)，SABO2p4p4p2.答案：B4若双曲线1(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p的值为()A2 B3C4 D4解析：双曲线的方程可化为1，双曲线的左焦点为.又抛物线的准线为x，由题意 ，解得p4.答案：C与焦点弦有关的问题例3(12分)已知过抛物线y24x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程精解详析过焦点的弦长为36，弦所在的直线的斜率存在且不为零故可设弦所在直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1

19、，y1)、B(x2，y2)两点(2分)抛物线y24x的焦点为F(1,0)，直线的方程为yk(x1)(3分)由整理得k2x2(2k24)xk20(k0)x1x2.(6分)|AB|AF|BF|x1x222.(8分)又|AB|36，236，k.(10分)所求直线方程为y(x1)或y(x1)(12分)一点通解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用解题时注意整体代入思想的运用，简化运算5过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1x26，则|AB|的值为()A10

20、 B8C6 D4解析：y24x，2p4，p2.由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22628.答案：B6已知直线l与抛物线y28x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是()A. B.C. D25解析：抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l的方程为y(x2)，由得B点的坐标为.|AB|AF|BF|282.AB的中点到准线的距离为.答案：A1抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个2涉及抛物线的焦点弦问题优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离1设抛物线的顶

21、点在原点，其焦点为双曲线y21的右顶点，则当点(，y)在抛物线上时，y的值是()A.B2C D2解析：由双曲线y21得抛物线的焦点为(，0)，则抛物线方程为y24x，所以当x时，y2.答案：D2设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|4即可根据抛物线定义，|FM|y02，由y024，解得y02，故y0的取值范围是(2，)答案：C3边长为1的等边三角形OAB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过A、

22、B的抛物线方程为()Ay2x By2xCy2x Dy2x解析：由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y22px(p0)，且A为x轴上方的点，则易求A，p.p.抛物线方程为y2x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y2x.答案：C4过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A. B.C. D2解析：由题意，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2，2)，则直线AB的方程为y2(x1)，与y24x联立得2x25x20，可得B，所以SAOBSAOFSBOF1|

23、yAyB|.答案：C5设点A是抛物线y24x上一点，点B(1,0)，点M是线段AB的中点，若|AB|3，则M到直线x1的距离为_解析：由题意知点B即为抛物线的焦点，直线x1即为抛物线的准线，如图，|AB|3，|AA|3，又|BB|2，MM即为梯形BBAA的中位线，|MM|(|AA|BB|).答案：6抛物线顶点在坐标原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为_解析：过焦点且与y轴垂直的弦长为16，抛物线的焦点在y轴上，且2p16.当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，抛物线的方程为x216y；当抛物线的焦点在y轴的负半轴上时，抛物线的方程为x216y.答案：x216y或x

24、216y7求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(2，4)的抛物线的标准方程及其准线、焦点坐标解：由已知设抛物线的标准方程是x22p1y或y22p2x(p10，p20)，把P(2，4)代入x22p1y和y22p2x得p1，p24，故所求的抛物线的标准方程是x2y或y28x.当抛物线方程是x2y时，焦点坐标是F(0，)，准线方程是y.当抛物线方程是y28x时，焦点坐标是F(2,0)，准线方程是x2.8已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值解：由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3, 2)或(3，2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2(2k24)xk20.直线与抛物线相交于A，B两点，则k0，设其两根为x1，x2，x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，|AB|4，即线段AB的长的最小值为4.