数值分析课程设计

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1、 数值分析上机实验报告数值分析上机实验报告武汉大学数学与统计学院数值分析实验报告学院：物理科学与技术学院专业：电子科学与技术专业实验名称使用matlab编写数值计算程序指导教师吴老师姓名杨倩年级2005学号200531510031 辅修成绩实验一、用Jacobi迭代法计算迭代次数一、实验目的：、学习使用matlab编写数值计算程序。、了解Jacobi迭代法的迭代原理和编程方法。、根据Jacobi迭代法的迭代原理编写matlab程序，并运行的出结果。二、实验原理：设n阶非奇异矩阵的主对角元全不为，记diag（ ）是非奇异对角阵，做的一个分裂：。记。迭代过程式为。这种迭代方法称为Jacobi迭代法

2、。其迭代矩阵记为：右端向量记为：= -记，Jacobi迭代过程为：对照等号两边，得到计算(i=1,2,n)的公式为，或，i=1,2,n三、实验内容与步骤：、实验内容：依照实验原理编写Jacobi迭代法的程序。、实验步骤：首先，在电脑上安装matlab，然后，启动matlab，新建一个M文件。实验程序如下：程序代码程序代码说明function x,k=jacobi(,b);x=zeros(size(b);D=diag(diag();B=inv(D)*(D-);g=inv(D)*b;tol=1e-6;err=2;k=0;while(errtol)x1=B*x+g;err= max(abs(x1-x

3、);x=x1;k=k+1;enduse the function。初始化x0。D为的主对角元上的值。根据公式。最小精度设为tol。从k=0开始迭代。先要判断是否收敛，如果不收敛，则提示出错。如果收敛，则根据x1 =B*x+g，计算出第一步迭代的值。把x的值放在x1中，k加一继续迭代，直到达到设定的精度为止。四、实验数据及结果：、实验送的初值为：=-2 1 0; 1 -2 1 ; 0 1 -2; b=-2 0 -3；、实验结果为：X =2.2500 2.5000 2.7500K = 43五、实验分析：、在本次实验中所输的初值所对应的矩阵为收敛的，所以会产生结果，如果当输入一个Jacobi矩阵为发

4、散的初值时，则matlab会提示出错。同时也可能会导致死机。、在本次实验中，很容易把迭代矩阵中各分量的代码的写错，因为编程技术还不够熟练，所以在使用数学指令上还不够全面，因此常翻阅书籍找指令代码，这在以后的实验中是应该加强训练的。、通过本次实验也增强了我对matlab这个软件的了解。实验二、用最小二乘法计算一、实验目的：、学习使用matlab编写数值计算程序。、了解最小二乘法的拟合原理和编程方法。、根据最小二乘法的拟合原理编写matlab程序，并运行的出结果。二、实验原理：设A是阶矩阵，称线性方程组：(1)为超定方程组，这里。如果的秩r(A)=n，称为列满秩矩阵。记残向量=b-Ax，考虑确定一

5、个向量，使达到最小的问题称为线性最小二乘问题，这样的称为方程组（）的最小二乘解。线性最小二乘问题与欧式空间的正交性等有密切联系。设超定方程组（）的系数矩阵A是列满秩矩阵，由定理（当mn时，超定方程组（）的最小二乘解总是存在。最小二乘解惟一的充分必要条件是）知，方程组（）的最小二乘解总是存在而且惟一的。设x是最小二乘解，。由定理（当mn时，超定方程组（）的最小二乘解总是存在。最小二乘解惟一的充分必要条件是），残向量，因此，（）也就是说。X是方程组（）的最小二乘解等价于是方程组（）的解。方程组（）称为最小二乘问题的正则方程组或法方程组，由于是列满秩的，因此，方程组（）是正定方程组。用正则方程组求最

6、小二乘解的计算步骤为如下：形成；计算的分解，记；求解下三角方程组；求解上三角方程组。三、实验内容与步骤：、实验内容：依照实验原理编写最小二乘法的程序。、实验步骤：首先，在电脑上安装matlab，然后，启动matlab，新建一个M文件。实验程序如下：程序代码程序代码说明function c=ercheng(x,y,m)for i=1:m+1a(i,:)=x.(i-1);end=a*a;b=a*y;c=inv()*b;x0=-100:100;y0=0;for i=1:m+1 y0=y0+c(i).*x0.(i-1);endplot(x,y,+,x0,y0,k:)use the function。定

7、义范围为到。分别表示出和b,c的表示式。x0的范围是从-100到100。y0的范围从0开始，并根据输入的数值大小决定上限。计算纵坐标的大小。画图，表示输入的点和拟合的曲线。四、实验数据及结果：、实验送的初值为：x=-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100;y=4.06 6.78 9.49 16.27 40.67 97.62 146.43 151.85 162.7;m=4;实验结果为：49.20611.46920.0104-0.0001-0.0000拟合波形为：、实验送的初值为：x=-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100;y= 3.855 7.555

8、 25.554 36.245 45.547 65.558 98.587 129.548 256.3525;m=4;实验结果为：51.24240.4511-0.00070.0001 0.0000拟合波形为：、实验送的初值为： x=-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100; y=25.6 65.4 75.58 50.63 17.58 47.57 12.55 35.25 12.35; m=4;实验结果为：32.8234-0.5284-0.00870.0000 -0.0000拟合波形为：五、实验分析：、在本次实验中所输的初值与对应的不太好时，就会出现像初值那样的，拟合点和拟合曲线

9、之间有很大的差距，但基本上拟合点还是均匀分布在曲线周围的，初值和初值的拟合曲线和拟合点均对应的很好。基本在曲线上，或是曲线附近很小的范围内。、这种算法只适用于拟合函数是多项式的情形。用正则方程组求最小二乘解得方法，有两个注意的问题：形成正则方程组时，计算出来的可能不是正定的，也可能是奇异的，以致后面不能用分解来求解正则方程组。比如说：采用六位有限数位计算，得，这时是奇异的。矩阵的状态数与的状态数密切相关，对列满秩的阶矩阵，有，因此，用正则方程组求最小二乘解时，会增加误差的敏感性实验三、复化Simpson求积公式一、实验目的：、学习使用matlab编写数值计算程序、了解复化Simpson求积公式

10、的原理和编程方法、根据复化Simpson求积公式的原理编写matlab程序，并运行的出结果。二、实验原理：设积分区间等分，j=0，1，。在各长度为的子区间（j=1，2，n）上用复化Simpson求积公式之值代替在这些子区间上的值，得：。及上式右端为,有：。上式称为等距情形的复化Simpson求积公式。三、实验内容与步骤：、实验内容：依照实验原理编写复化Simpson求积公式的程序。、实验步骤：首先，在电脑上安装matlab，然后，启动matlab，新建一个M文件实验程序如下：程序代码程序代码说明Functionsnf=Simpson(a,b,n)syms x;h=(b-a)/(2*n);S1=

11、0.0;S2=0.0;for i=1:(n-1) x=a+2*i*h; S1=S1+fc(x);endfor i=1:n x=a+(2*i-1)*h; S2=S2+fc(x);endx=a;fa=fc(x);x=b;fb=fc(x);snf=h*(fa+4*S2+2*S1+fb)/3;nhendfunction y=fc(x)y=exp(x);enduse the function。计算出h的大小。给S1和S2赋初值。计算下一个点的x的大小。计算S1的函数值。计算下一个点的x的大小。计算S2的函数值。给赋值a。求出当x=a时的f(x)的函数值。给赋值b。求出当x=时的f(x)的函数值。定义最终

12、求出的近似值的大小，并输出其值。输出n,h的值。定义函数，并把f(x)函数的表达式定义为exp(x)。四、实验数据及结果：、实验送的初值为：a=4；b=0；n=4；、实验结果为：n =4h =-0.5000snf =-53.6162五、实验分析：误差估计及收敛性：误差估计及收敛性的讨论和复化梯形求积公式的讨论是类同的。设，在j=1个子区间（j=1，2，n）上，误差估计式：，将n个子区间的误差相加得：。由闭区间上连续函数的介值性质可知在上至少存在一点，使，而,故， （3）公式，与（3）分别为复化梯形、复化Simpson求积公式，的误差估计。同样，当讨论的是等距离求积公式时，分划的最大子区间的长度

13、为，因此只要，当也即时。故。若只要在上可积，记，则，这三个累加式都是积分和且极限都为。故（可积），即复化Simpson求积值序列收敛于积分值。实验总结和感悟：通过使用Matlab编写数值计算的程序，让我加深了对数学编程软件的使用，同时也使我对各种算法的原理有了更深的一层理解。这是我第一次使用数学编程工具，虽然我们学院在本学期同时也开设了关于Matlab编程的课程，但我们主要学习使用其中的Simlink软件的操作，因此，我对Simulink的使用很熟悉，但在编写数值计算的程序时还是有点吃力。不过，我在两学期前就已经跟着2005级的数学类的同学学习过数值分析这门课，因此，对各种算法还是有一定的了解，所以，我在课下从网络上寻找了一些高手们编写的程序，仔细理解他们的编写思路，并在有空时在图书馆楼自然科学阅览室查阅有关Matlab的编程书籍。这学期的数值分析上机实验教会了我在遇到自己不熟悉的知识时，一定要多上机操作，并多查阅相关的书籍，虽然我不能确定我已经把这门课学的很精通，但这门课的学习经历教会了我很多。虽然每个周三下午，上机时，周围的没有我熟悉的同学，面对一张张陌生的面孔，我坚持下来了。因为我是怀着对数学的热情来到这里的。为了我的梦想，我坚持，坚持，再坚持！教师评语指导教师：年月日物理科学与技术学院电子科学与技术专业杨倩200531510031辅修