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1、立几问题中的转化策略山东 代夫珍立体几何是高考的重点、难点，也是很多同学感到头疼的问题我们做题时，若能根 据题目的特点进行合理的转换，则常常能使问题较容易的得以解决.本文就立几问题中常见的几种转化策略作一介绍，供同学们学习时参考.一、空间问题平面化所谓平面化是指将空间的点、 线、面的位置关系通过适当的转化，使之转化在同一平面上进行研究常见的转化策略有“截、展、移”等.(1) “截”就是根据题目需要，在几何体的适当位置作一能反映所研究各元素间关系的 面，使问题转化在同一个平面上研究.例1设球0的半径为5，一个内接圆台的上、下底面半径分别为3和4，求这个圆台的体积.1/解析：图1是球及其内接圆台的
2、轴截面，球心0到圆台的两底面的距离分别为 0M二 捋 _4? =3, ON =污 -3? =4. 若圆台的两底面在球心的两侧，则圆台的高为MN =4.所以圆台的体积为V二n 7 (323 4 42 259 n.33 若圆台的两底面在球心的同侧，则圆台的高为MN =4-3=1 .所以圆台的体积为 1 (32 3 4 42 37n .竺八33(2) “展”就是将几何体展开，将空间几何问题转化为平面几何问题来解决.此法通常用来解决空间几何体的表面积问题和几何体表面上(曲线)线段的最小值问题.转化的关键是要搞清楚几何体中的点、 线在展开图中的相应的位置关系.此种方法我们在前面已经讲过了，这里就不再缀述
3、.(3) “移”就是将立体几何图形中的某些图形平移到适当的位置，使不在同一平面上的元素经过平移后，集中在某一个平面内， 再用平面几何知识来处理. 常用于异面直线所成的 角.例2如图2，三棱锥A-BCD的各棱长都相等，M , N分别为BC, AD的中点，求异 面直线MN与BD所成的角.解：如图2,取CD的中点F，连结MF , NF. M为BC的中点， MF / BD , MF=BD .同理 NF=AC.则/ NMF (或其补角)就是异面直线MN与BD所成的角.连结AM , MD .三棱锥的各条棱都相等，三棱锥各面都是正三角形.设棱长为a，贝y AM=MD=a .又 N为AD的中点， MN丄AD
4、.在 Rt AMN 中，MN2 二 AMf A 矩Y ( 1 a 丿12丿2；1 2a . a21a , MN 2 二 MF 2 NF 2, 2故厶MFN是等腰直角三角形./ NMF =45 .故MN与BD所成的角为45.又 MF 二丄 BD =-a , NF2 2二、空间问题“割补”化对于某些立体几何问题，如果直接根据原有图形进行解题比较困难时， 不妨将图形巧妙 的进行割补，转化为我们熟悉的柱、 锥等较规则的或易于研究的几何体来处理， 从而化繁为 简，化难为易，使问题易于解决.已知三棱锥 A-BCD中，AB=CD=1 ,例3 如图3,A-BCD的体积.解：将三棱锥设长方体的长、BC=BD=A
5、C=AD=2 .求三棱锥A - BCD补形成如图3所示的长方体. 宽、高分别X,y, z,2 2 2则 x y =BD-422一 2x z = BC = 4z2 y2 =CD2 =1.I)X由三式解得x2二 VA_BCD - V方体 -Vp-ABC _vq _BCD VSBD =匕体 -4Vq,1 1xy3 -xyz1 4xyz.31 2三、空间问题整体化当立几问题中的某些元素无法找到或者较难作出时，整体上考察问题中的数量关系和空间形式，对整体结构进行全面、达到探求解题思路或优化和简化解题过程的目的.可把问题作为一个有机的整体， 从 深刻的分析和改造， 从而例4如图4,棱长为2的正方形SGG2
6、G中，E, F分别是GG2 , G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿 SE, SF及EF把这个正方体折叠成一个四面体，且Gb G2, G3三点重合,重合后的点记为 G,求四面体 G- SEF的体积.分析：本题若先求出点 G到平面SEF的距离，然后利用 三棱锥的体积公式求解， 则比较麻烦.若注意到三棱锥 G - SEF的体积与三棱锥 S- GEF的体积相等，即 Vg$ef =VS七EF使问题较容易的得到解决.由正方形的的体积为解：由题易知 SG丄GE, SG丄GF，且 GEQ GF = G，所以SG丄面GEF .1棱长为2 ,易知 SG=2 , Sa gef,所以四面体 G SEF2VG _SEF -VS_GEF1丄2
立几问题中的转化策略
