数值分析第四版习题与答案

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1、7832 1.41. . .第四版数值分析习题1. 设 x0,x第一章 的相对误差为,求lnx的误差.绪 论2. 设 x的相对误差为 2 ,求 xn的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数 ,即误差限不超过最后一位的半个单位 ,试指出 它们是几位有效数字:x* 1.1021,x* 0.031,x* 385.6,x* 56.430,x* 1 2 3 4 54. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:7 1.0.(i)x* x* x* ,(ii)x* x* x* ,(iii)x* /x* 1 2 4 1 2 3 2 4,其中x* ,x* ,x* ,x* 1 2 3 4均为第 3

2、题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为 1 ,问度量半径 R时允许的相对误差限是多少?6. 设Y028,按递推公式YnYn 11783100 ( n=1,2,)计算到Y100.若取783Y27.982(五位有效数字),试问计算 100 将有多大误差?7. 求方程 x2 56x 1 0的两个根,使它至少具有四位有效数字( 27.982).8. 当 N充分大时,怎样求N11 x2dx?9. 正方形的边长大约为 100 ,应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 2 ?10. 设S12gt2假定 g 是准确的,而对 t的测量有0.1 秒的误差,证明当 t 增加时 S 的绝对误差增加,而相对误差却减

3、小.11. 序列y n满足递推关系yn10 yn 11(n=1,2,),若y0(三位有效数字 ),计算到y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算f ( 2 1)6,取 2 1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?1 1,(3 2 2)3 ,( 2 1)6 (3 2 2)3,99 70 2.13.f(x) ln(x x2 1),求 f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若学习参考 .1010x =x +khk 0. . .改用另一等价公式ln( x - x2-1) =-ln( x + x2+1)计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组x +1

4、0 x =10 ; 1 2x +x =2.1 2假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1s = ab sin c, 2其中 c 为弧度,0 c p2 ,且测量 a,b ,c的误差分别为Da, Db, Dc.证明面积的误差 Ds满足Ds Da Db Dc + + .s a b c第二章1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令插值法1x0x 20x n0证明V ( x )nV ( x ) =V ( x , x , , x , x ) =n n 0 1 n -111x , , x,且是 n 次多项式,它的根是0n -1xn -1xx 2n -1x 2x nn -1x nV (

5、x ) =V ( x , x , n n -1 0 1, x )( x -x ) ( x -x ) n -1 0 n -1.2. 当 x= 1 , -1 , 2 时,f(x)= 0 , -3 , 4 ,求 f(x)的二次插值多项式.3. 给出 f(x)=lnx的数值表用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值.xlnx0.4-0.9162910.5-0.6931470.6-0.5108260.7-0.3577650.8-0.223144. 给出 cosx,0x490的函数表,步长 h =1=(1/60),若函数表具有 5 位有效数字,研究用线性插值求 cos x 近似值时的总误差界.5

6、. 设 ,k=0,1,2,3,求max l ( x ) 2x xx0 3.6. 设i)xj为互异节点(j=0,1,n),求证: nx k l ( x ) x k ( k =0,1, , n ); j jj =0.学习参考.nf ( x) =e xy =2 n D4 y d4ymn -1 n -1n -1-1f 7 4n,把n . . .ii)7. 设( x -x ) k l ( x ) 0(k=1,2, , n). j jj =0f ( x ) C 2 a,b且f( a ) = f (b ) =0 ,求证maxa xb1f ( x ) (b -a )82maxa xbf (x).8. 在 -4

7、 x 4上给出 的等距节点函数表 , 若用二次插值求ex的近似值 , 要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长 h应取多少?9. 若 n ,求 n 及 n .10. 如 果f ( x )是 次 多 项 式 , 记Df ( x ) = f ( x +h ) - f ( x), 证 明f ( x )的 k 阶 差 分Dkf ( x)(0 k m )是 m -k 次多项式,并且Dm +lf ( x) =0(l为正整数).11. 证明12. 证明D( f g ) = f Dg +g Df.k k k k k +1 k f Dg = f g - f g -gk k n n 0 0k =0 k =0

8、k +1Df .k13. 证明j =0D2y =Dy -Dy . j n 014. 若f ( x) =a +a x + +a0 1n -1x n -1 +a xnn有 n 个不同实根x , x , , x 1 2 n,证明n x k j f (x )j =1 j=0,0 k n-2; a , k =n-1.n15. 证明 n阶均差有下列性质:i)若F ( x ) =cf ( x ),则F x, x , , x =cfx,x , , x0 1 n 0 1 n;ii)若F ( x ) = f ( x ) +g ( x),则F x, x ,0 1, x =fx,x ,n 0 1, x +gx,x,n

9、 0 1, xn.16. f ( x) =x +x +3 x +1 ,求 2 0 ,2 1 ,27及f2 0 ,2 1 ,28.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是R ( x) = f (4) ( x)( x -x ) 2 ( x -x 3 k并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.k +1)2/ 4!, x(x , xkk +1)18. 求一个次数不高于 4 次的多项式P ( x),使它满足P (0) =P ( -k +1)并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式 P (0) =P(0) =0 , P (1) =P (1) =1 , P

10、(2) =1.P ( x),以便使它能够满足以下边界条件20. 设f ( x) C a,b a,b分为 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数j ( x )n并证明当 时,j ( x )n在a,b上一致收敛到f ( x ).21. 设f ( x ) =1/(1 +x 2 ), 在 -5 x 5 上取 n =10 , 按等距节点求分段线性插值函数I ( x )h,计算各节点间中点处的I ( x )h与f ( x)的值,并估计误差.学习参考.bbb222bbr. . .22. 求f ( x ) =x2在a,b上的分段线性插值函数I ( x )h,并估计误差.23. 求f ( x ) =x4在a,

11、b上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:xyjj0.250.50000.300.54770.390.62450.450.67080.530.7280试求三次样条插值S ( x)并满足条件i)ii)25. 若S (0.25) =1.0000, S (0.53) =0.6868; S (0.25) =S (0.53) =0.f ( x) C 2 a,b,S(x) 是三次样条函数,证明i)f(x)dx-S(x)dx=a a af (x) -S (x) dx+2aS (x) f(x) -S (x) dx;ii)若f ( x ) =S ( x )(i =0,1, , n ) i i,

12、 式 中xi为 插 值 节 点 , 且a =x x x =b0 1 n, 则aS (x) f(x) -S (x) dx=S(b)f(b)-S(b)-S(a)f(a)-S(a).26. 编出计算三次样条函数S ( x )系数及其在插值节点中点的值的程序框图 (S ( x )可用 (8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为a,b的伯恩斯坦多项式.(b)对f ( x ) =sin x在0,p/ 2上求 1 次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当m f ( x ) M时,m B ( f , x ) M n.

13、(b)当f ( x) =x时,B ( f , x ) =x n.3. 在次数不超过 6 的多项式中,求f ( x ) =sin 4 x在0,2p的最佳一致逼近多项式.4. 假设f ( x)在a,b上连续,求f ( x )的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数 a ,使max x0x13-ax达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求f ( x ) =sin x在0,p/ 2上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求f ( x) =ex0,1在 上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取 r ,使p ( x) =x 2 +r在-1,1上与零偏差最小? 是否唯一?9. 设f ( x) =x4 +3 x

14、 3-1,在0,1上求三次最佳逼近多项式.学习参考.,求a bn nnp0,定义f (x) g (x) dx;( b )( f , g ) =11. . .10. 令T ( x ) =T (2 x -1), x 0,1 n nT * ( x), T * ( x ), T * ( x ), T ( x ) 0 1 2 3.11. 试证T*(x ) 0,1 n 是在 上带权r=1x -x2的正交多项式.12. 在-1,1上利用插值极小化求 1f ( x) =tg -1x的三次近似最佳逼近多项式.13. 设f ( x) =ex在-1,1上的插值极小化近似最佳逼近多项式为L ( x )n, 若f -L

15、n有界 ,证明对任何n 1,存在常数、 ,使14. 设在-1,1上a T ( x) f ( x ) -L ( x) b T ( x) ( -1x 1). n n +1 n n n +11 1 3 15 165j(x) =1 - x - x 2 - x3 - x 4 - x 52 8 24 384 3840 ,试将 j(x )降低到 3 次多项式并估计误差.15. 在-1,1上利用幂级数项数求f ( x) =sin x的 3 次逼近多项式,使误差不超过 0.005.16.f ( x )是-a,a上的连续奇( 偶) 函数,证明不管 是奇数或偶数 ,f ( x )的最佳逼近多项式F * ( x) H

16、 nn也是奇(偶)函数.17. 求 a 、 b 18. f ( x) 、2 ax+b-sin x 2dx 使g ( x) C1 a,b为最小.并与 1 题及 6 题的一次逼近多项式误差作比较.( a )( f , g ) =b bf (x) g (x) dx +f ( a ) g ( a );a a问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式 (4.5) 估计10x 61 +xdx的上界 , 并用积分中值定理估计同一积分的上下界 ,并比较其结果.(x -ax 2 ) 2 dx , x -ax 2 dx20. 选择 a ,使下列积分取得最小值: .-1 -121. 设空间 j1=span 1,x,

17、j2=span x100, x101 ,分别在 j1、 j2上求出一个元素 , 使得其22.x2 C 0,1为 的最佳平方逼近,并比较其结果. f ( x) = x -1,1 j =span 1,x2, x 4在 上,求在 1上的最佳平方逼近.23.u ( x ) = nsin (n+1)arccos x 1 -x 2是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系un+1(x)=2xu(x)-un n -1(x).24. 将1f ( x ) =sin x2在-1,1上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把.考f ( x) =arccos

18、 x在-1,1上展成切比雪夫级数.学习参.1hdx, n =10dx , n =8. . .26. 用最小二乘法求一个形如y =a +bx2的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.xi1925313844yi19.032.349.073.397.827. 观测物体的直线运动,得出以下数据:时间距离ts(秒)(米)000.9101.9303.0503.9805.0110求运动方程.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:时间浓度0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37

19、4.51 4.58 4.62 4.64用最小二乘拟合求y = f (t ).29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进 FFT 算法的程序框图.31. 现给出一张记录x=4,3,2,1,0,1,2,3 k,试用改进 FFT 算法求出序列xk 的离散频谱Ck( k =0,1, ,7).第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数 ,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具 有的代数精度:(1)h-hf ( x)dx A f ( -h) +A f (0) +A f ( h)-1 0 1;(2)2 h-2hf ( x )dx A f ( -h) +A

20、f (0) +A f (h)-1 0 1;(3)-1f ( x )dx f(-1)+2 f ( x ) +3 f ( x ) /31 2;(4)0f ( x ) dx h f(0) + f ( h ) /1+ah2f (0) -f (h).2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:11 x 1 (1-e-x ) 2(1) 0 4 +x 2 ; (2) 0 x ;.学习参考.1bbbbb1p. . .(3)91xdx , n =4; (4)p60-sin2jdx, n =6.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有 5 次代数精度.4. 用辛普森公式求积分 e -x dx 0并计算误差.5.

21、推导下列三种矩形求积公式:(1)(2)aaf ( x )dx =(b -a ) f (a) +f ( x ) dx =(b -a ) f (b ) -f (h) 2f (h) 2(b -a )(b -a )22;(3)af ( x )dx =(b -a ) f (a +b f (h) + (b -a ) 3 2 24 .6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当 n 时收敛到积分af ( x)dx.7. 用复化梯形公式求积分af ( x)dx,问要将积分区间a,b分成多少等分,才能保证误差不超过e(设不计舍入误差)?8. 用龙贝格方法计算积分2p e-x dx 0,要求误差不超过1

22、0 -5 .9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是p cS =a 2 1 -( ) 2 sin 2 qdq 0 a,这里 a是椭圆的半长轴 , c 是地球中心与轨道中心 (椭圆中心 ) 的距离 ,记 h 为近地点距离 , H 为远地点距离,R =6371公里为地球半径 , 则a =(2 R +H +h ) / 2, c =( H -h ) / 2. 我国第一颗人造卫星近地点距离 h =439 公里,远地点距离 H =2384 公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式n sinpn=p-p33! n2+p55! n4-试依据n sin(p/ n)( n =3,6,12)的值 ,用外推算

23、法求 的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求f ( x) =1(1+x )2在x =1.0,1.1 和 1.2 处的导数值,并估计误差.f ( x )的值由下表给出:xf ( x )1.00.25001.10.22681.20.20661.30.18901.40.1736.学习参考.nn222nn1. . .1. 就初值问题y第五章=ax +b , y(0) =0常微分方程数值解法分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解y

24、=12ax 2 +bx相比较。2. 用改进的尤拉方法解初值问题y =x+y ,0 x 1; y (0) =1,取步长 h=0.1 计算，并与准确解y =-x -1 +2ex相比较。3. 用改进的尤拉方法解y =x2 +x -y; y (0) =0,取步长 h=0.1 计算y(0.5)，并与准确解y =-e-x +x 2 -x +1相比较。4. 用梯形方法解初值问题y +y=0; y (0) =1,证明其近似解为2 -h y = ,2 +h 并证明当 h 0 时，它原初值问题的准确解y =e-x。5. 利用尤拉方法计算积分xetdt在点x =0.5,1,1.5,2的近似值。06. 取 h=0.2

25、，用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题：1）2）y=x+y ,0 x 1; y(0) =1,y=3y /(1 +x ),0 x 1; y(0) =1.7. 证明对任意参数 t，下列龙格库塔公式是二阶的： hy =y + ( K +K );n +1 n 2 3K = f ( x , y );1 n nK = f ( x +th, y +thK );K = f ( x +(1 -t )h, y +(1 -t )hK ). 3 n n 18. 证明下列两种龙格库塔方法是三阶的：.学习参考.42n n133 392n n134 4n n -1. . .1）2）hy =y + ( K +3 K );

26、n +1 n 1 3K = f ( x , y );1 n nh hK = f ( x + , y + K );3 32 2K = f ( x + h, y + hK ); n n 2hy =y + (2 K +3 K +4 K ); n +1 n 1 2 3K = f ( x , y );1 n nh hK = f ( x + , y + K );2 23 3K = f ( x + h, y + hK ). n n 29. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：y=1-y, y (0) =0,取h =0.2, y =0, y =0.181,0 1计算y (1.0)并

27、与准确解y =1 -e-x相比较。10. 证明解y=f ( x , y )的下列差分公式yn +1=1 h ( y +y ) + (4 y2 4 -y +3y n +1 nn -1)是二阶的，并求出截断误差的首项。 11. 导出具有下列形式的三阶方法：y =a y +a y n +1 0 n 112. 将下列方程化为一阶方程组：n -1+a y2n -2+h (b y 0+b yn 1n -1+b y2n -2).y-3y+2y =0,1）y (0) =1, y(0) =1;y-0.1(1-y2) y+y=0,2）y (0) =1, y(0) =0;3）x(t)=-x y, y (t)=- ,

28、 r = x r 3 r 32+y 2 ,x(0) =0.4, x (0) =0, y (0) =0, y (0) =2. 13. 取 h=0.25，用差分方法解边值问题14. 对方程y=f(x, y )y +y =0;y (0) =0, y(1) =1.68. 可建立差分公式yn +1=2 y -ynn -1+h2f ( x , y ), n n试用这一公式求解初值问题.学习参考.xx =1 +1/ x 2k +1 kx =3 1 +x 2k +1 k1x =tgx. . .y =1;y (0) = y (1) =0,验证计算解恒等于准确解y ( x) =x 2 -x2.15. 取 h=0.

29、2 用差分方法解边值问题(1 +x 2 ) y -xy-3y =6 x -3; y (0) -y (0) =1, y (1) =2.第六章方程求根1. 用二分法求方程 x 2 -x -1 =0的正根，要求误差0.05。2. 用比例求根法求 | f ( x ) |0.005kf ( x) =1 -x sin x =0时终止计算。在区间0,1内的一个根，直到近似根 k 满足精度3. 为求方程 x3-x2-1 =0在x =1.50附近的一个根 ，设将方程改写成下列等价形式 ，并建立相应的迭代公式。1） x =1 +1/ x 2 ，迭代公式 ；2） x3 =1 +x 2，迭代公式 ；3）x2=1x -

30、 ，迭代公式x =1/ x -1 k +1 k。试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。4. 比较求 e x +10 x -2 =0的根到三位小数所需的计算量；1）在区间0,1内用二分法；2) 用迭代法x =(2 -e xk ) /10 k +1，取初值x =00。5. 给 定 函 数f ( x)， 设 对 一 切x, f(x)存 在 且0 m f(x) M， 证 明 对 于 范 围内0 l2 / M的任意定数 ，迭代过程x =x -l k +1 kf ( x )k均收敛于f ( x)的根x *。6. 已知x =j(x )在区间a,b内只有一根，而当 ax1，试

31、问如何将x =j(x )化为适于迭代的形式？将 化为适于迭代的形式，并求 x=4.5（弧度）附近的根。7. 用 下 列 方 法 求f ( x) =x3-3 x -1 =0在x =20附 近 的 根 。 根 的 准 确 值x*1.87938524，要求计算结果准确到四位有效数字。 1) 用牛顿法；2）用弦截法，取x =1, x =1.9 0 1；.学习参考.k02k +1*. . .3）用抛物线法，取x =1, x =3, x =2 0 1 2。8. 用二分法和牛顿法求x -tgx =0的最小正根。9. 研究求a的牛顿公式xk +1=1 a( x + ), x 0, 2 xk证明对一切k =1,

32、2, L, x ka且序列x , x ,L 1 2是递减的。10. 对于f ( x ) =0的牛顿公式x =x - f ( x ) / f (x ) k +1 k k k，证明R =( x -x k kk -1) /( xk -1-xk -2)2收敛到- f (x*)/(2 f (x*)，这里 x*为f ( x ) =0的根。11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：1) f ( x ) =x , x 0; - -x , x 0;2)3 x 2 , x 0; f ( x ) =-3 x 2 , x iin| a |(iij=1,2,L , n ),6. 设 A 为 n 阶矩阵，如果j

33、=1j i称 A 为对角优势阵。证明：若 A是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A 具有形式a110a T1A2。7. 设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为a110a T1A2，其中A =( a ) , A =( aij n 2ij(2)n -1;证明 （1）A 的对角元素aii0(i=1,2,L , n);（2）A2是对称正定矩阵；（3）a( n )na , (i =1,2, iiL , n);（4）A 的绝对值最大的元素必在对角线上；（5）max | a2 i, j n(2)ij| max | a |;ij2 i, j n.考| a |1（6）从（2），（3），（5）推

34、出，如果ij| a ( k ) |k L =I L I I列阵。9. 试推导矩阵 A 的 Crout 分解 A=LU 的计算公式，其中 L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。 10. 设 Ux =d ，其中 U 为三角矩阵。(a) 就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。(b) 计算解三角形方程组Ux =d的乘除法次数。(c) 设 U 为非奇异阵，试推导求U-1的计算公式。11. 证明（a）如果 A 是对称正定阵，则 A-1也是正定阵；（b）如果 A 是对称正定阵，则 A 可唯一写成 = T 阵。12. 用高斯约当方法求 A 的逆阵：,其中 L 是具有正对角元的下三角2 1 -3

35、 -1A = -1 2 4 -2 13. 用追赶法解三对角方程组 Ax =b ，其中2 -1 0 0 0 1 A =0 -1 2 -1 0 ,b =0 14. 用改进的平方根法解方程组0 0 0 -1 2 0 2 -1 1x 4 2 1 3 1x 6315. 下述矩阵能否分解为 LU（其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那么 分解是否唯一？.学习参考. 1 0.1 0.31| x |nnny . . .1 2 3 1 1 1 1 2 6A = 2 4 1 , B = 2 2 1 , C = 2 5 15 . 4 6 7 3 3 1 6 15 4616. 试划出部分选主元素三角

36、分解法框图，并且用此法解方程组0 3 4 x 1 1 -1 1 x = 22 2 1 2 x 33.17. 如果方阵 A 有a =0(| i - j |t ) ij，则称 A 为带宽 2t+1 的带状矩阵，设 A 满足三角分解条件，试推导 A =LU 的计算公式，对r =1,2, L , n.1）u =a -ri rir -1l urk kik =max(1, i -t)(i =r , r +1, L , min( n, r +t )；2）l =( a - ir irr -1l u ) / u ik krk =max(1, i -t)rr(i =r +1, L , min( n, r +t )

37、.18. 设A =0.6 0.5 ，计算 A 的行范数，列范数，2-范数及 F-范数。 19. 求证(a)| x | | x | n | x | ，(b)1n| A | | A | c | A | F 2 2F。20. 设 P Rnn且非奇异，又设 为Rn上一向量范数，定义| x | =| Px | p。试证明| x |p是 R 上的一种向量范数。21. 设 A R nn为对称正定阵，定义| x | =( Ax , x) A1/ 2，试证明| x |A为 R 上向量的一种范数。22. 设x R , x=( x x , L , x ) 1 2 nT，求证nlim( | x | p ) 1 / p

38、 =max x =| x |i ii =1 1in。23. 证明：当且尽当 x 和 y 线性相关且x T y 0时，才有| x +y | =| x | +| y |2 22。24. 分别描述 R2中（画图）S = x | x | =1, x R 2 , (v =1,2, ) v v。.学习参考.nnnT T1 1. . .25. 令 是 R （或Cn）上的任意一种范数，而 P 是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数| x |=| Px |，证明| A |=|PAP -1 |。26. 设| A | ,| A |st为 R 上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c , c 0 1 2，使对一切A Rnn满足c | A | | A | c | A | 1 s t 2s27. 设 A Rnn，求证 A A 与 AA 特征值相等，即求证l(A T A) =l(AA T )。28. 设 A 为非奇异矩阵，求证| A1-1