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1、函数与方程知识点总结1、函数零点的定义(1) 对于函数yf(x)，我们把方程f(x)=0的实数根叫做函数y=f(x)的零点。(2) 方程f(x)=0有实根O函数y=f(x)的图像与x轴有交点O函数y=f(x)有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程f(x)=0，所得实数根就是f(x)的零点(3) 变号零点与不变号零点 若函数f(x)在零点x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。0 若函数f(x)在零点x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。0 若函数f(x)在区间匚,b上
2、的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)0是f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定(1) 零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在x0e(a,b)，使得f(x)=0，这个x也就是方程f(x)=0的根。(2) 函数yf(x)零点个数(或方程f(x)=0实数根的个数)确定方法 代数法：函数yf(x)的零点Of(x)=0的根； (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。(3) 二次函数零点个数确定 0
3、oyf(x)有2个零点Of(x)0有两个不等实根； 0Oyf(x)有1个零点Of(x)0有两个相等实根；A0Oyf(x)无零点Of(x)0无实根；对于二次函数在区间a,b上的零点个数，要结合图像进行确定.1、二分法(1) 二分法的定义:对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数yf(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;(2) 用二分法求方程的近似解的步骤:确定区间a,b,验证f(a)f(b)o,给定精确度,:求区间(a,b)的中点c；计算f(c)；(i)若f(c)=0，则c就是函数的零点;(ii
4、)若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x(a,c);(iii)若f(c)f(b)0,则令a二c(此时零点x(c,b);0判断是否达到精确度，即a-b,则得到零点近似值为a(或b);否则重复至步.【经典例题】【例1】函数f(x)=2x+X3-2在区间(0,1)内的零点个数是(B)A、0B、1C、2D、3【解析】解法1：因为f(0)=1+0-2=-1,f(1)=2+23-2=8,即f(0)f(1)0且函数f(x)在(0,1)内连续不断,故f(x)在(0,1)内的零点个数是1.解法2：设y=2x,y=2-x3，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.12425102【例2】函数fx
5、)=2x+3x的零点所在的一个区间是(B)A、(-2,-1)B、(一1,0)C、(0,1)D、(1,2)【解析】7(1)=2-1+3一1)=一50,.f(-1)f(0)0且a丰】）有两个零点，方程axxa=0有两个不相等的实数根,两个函数yax与yx+a的图像有两个不同的交点，当0a1时，两个函数的图像有且仅有一个交点,合题意；当a,1时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.例5】函数f(x)；+：x-3,x:0，零点个数为1-2+lnx,x,0A、3B、2C、1D、03#【例6】若函数f（x）x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:A、1.2B、1.3C、
6、1.4D、1.5f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=-0.054那么方程x3+x2-2x-20的一个近似根（精确到0.1）为#【例7】如果二次函数yx2+x+m+3有两个不同的零点，则m的取值范围是A、（”,+）B、（-，）C、（-，）D、伴，+）4242【例8】方程lgx-x0根的个数为A、无穷多B、3C、1D、0#【例9】用二分法研究函数f（x）x3+3x-1的零点时，第一次经计算f（0）o,f（o.5）,0，可得其中一个零点x0，第二次应计算.以上横线上应填的内容为A、(0，0.5)，f(0.25)B、(0，1)，f(0.25)#C、（0.5，1），f（0.75）D、（0，0.5），f（0.125）反思：（1）函数零点（即方程的根）的确定问题，常见的有：函数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定; 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.（2）提醒：函数的零点不是点，是方程f（x）0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零.函数的零点也就是函数y=f（x）的图象与x轴的交点的横坐标.#
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