函数的极大值和极小值

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1、4.3.2函数的极大值和极小值教学目标：1理.解极大值、极小值的概念；2. 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3. 掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一创设情景观察图，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大.那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大ta附近函数h(t)的图像，如图.可以看出hf(a)；在ta,当t,a时,函数h(t)单调递增，h(t)0；当ta时，函数h(t)单调

2、递减，h(t),0；这就说明，在ta附近，函数值先增(t,a，h(t)0)后减(ta，h(t),0).这样，当t在a的附近从小到大经过a时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)0.对于一般的函数yfx，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号.二. 新课讲授1.问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)-4.9+6/5的图像，B.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度V随时间t变化的函

3、数v(t)h(t)-9.81+6.5的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：(1) 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数.相应地，v(t)h(t)0.(2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数.相应地，v(t)h(t),0.2.函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.如图3.3-3，导数f(x)表示函数f(x)在点(x,y)处的切线的斜率.在x=x处，0000f(x)0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f

4、(x)在x附近单调递增；在x二x处,001f(x)，0，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x附近单调递减.01结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数y二f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)，0，那么函数y二f(x)在这个区间内单调递减.说明：(1)特别的，如果f(x)=0，那么函数y二f(x)在这个区间内是常函数.3.求解函数y二f(x)单调区间的步骤：(1) 确定函数y二f(x)的定义域；(2) 求导数y二f(x)；(3) 解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；(4) 解不等式f(x),0,解集在定义域内的部分为减区间.三.

5、 典例分析例1.已知导函数f(x)的下列信息：当1,x,4时，f(x)0；当x4，或x,1时，f(x),0；当x=4，或x=1时，f(x)=0试画出函数y二f(x)图像的大致形状.解：当11时，函数f(x)=x2-2x-3单调递增；当f(x),0，即x,1时，函数f(x)=x2-2x-3单调递减；函数f(x)=x2-2x-3的图像如图3.3-5(2)所示.(3) 因为f(x)=sinx-xxg(0,)，所以，f(x)=cosx-1,0因此，函数f(x)=sinxx在(0,)单调递减，如图3.3-5(3)所示.(4) 因为f(x)=2x3+3x2-24x+1，所以.当f(x)0，即时，函数f(x

6、)=x2-2x-3；当f(x)0，即时，函数f(x)二x22x3；函数f(x)=2x3+3x224x+1的图像如图3.3-5(4)所示.注：(3)、(4)生练例3如图3.3-6，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.分析：以容器(2)为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图像上，(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解：(1)T(B,2T(A),(3)T(D,4T(C思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其

7、变化的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些.如图3.3-7所示，函数y二f(x)在(0,b)或(a,0)内的图像“陡峭”在(b,+8)或(乜,a内的图像“平缓”.例4求证：函数y=2x3+3x2，12x+1在区间(一2,1)内是减函数.证明：因为y=6x2+6x一12=6C2+x一2)=6(x一1)(x+2当xe(，2,1)即-2x0为增函数，f(x)0对xg1,1恒成立，即x2，ax20对xg1,1恒成立，解之得：ia0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解.四. 课堂练习1.求下列函数的单调区间1fx)=2x36x2+7fx)=+2xx.x)=sinx,xg0,2兀4.y=xlnx2.课本P101练习五回顾总结(1)函数的单调性与导数的关系(2) 求解函数yf(x)单调区间(3) 证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性六.布置作业4