第3讲四边形答案版

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1、第2讲四边形中点的联想1. (顺义)如图，四边形 ABCD是平行四边形，E , F分别为BC , AD的中点，(1) 求证：AE=CF ；(2) 延长 CF交BA的延长线于点M，求证：AM=ABF2. (海淀) 如图，在 ABC中，点D，E，F分别是边 AB，AC， BC 的中点，且 BC - 2AF .(1)求证：四边形 ADFE为矩形；2AF 2ADFE()若C 30 一 ，-，写出矩形的周长r7E,3 .(门头沟)如图，在ABCD中，AC丄BC ,连接AE交CD于点F.(1) 求证：四边形 ADEC是矩形；(2) 在ABCD中，取AB的中点M，连接CM =5 ,且AC=8，求四边形 AD

2、EC的面积.4 (平谷)如图，在 ABC中，D为AB边上一点，F为AC的中点，过点 AII F DC作CE/AB交DF的延长线于点E,连结 AE .（1）求证：四边形 ADCE为平行四边形；（2 ）若 EF=2 2，/ FCD=30 ，/ AED=45 ，求 DC 的长.5.（西城）（1 ）画图连线写依据：形状的相应填在横线先分别完成以下 画图（不要求尺规作图），再与判断四边形DEMN结论 连线，并写出判定依据（只将最后一步判定特殊平行四边形的依据 上） 如图1，在矩形 ABEN中，D为对角线的交点，过点 N画直线NP / DE，过点E画直线 EQ / DN , NP与EQ的交点为点 M，得到

3、四边形 DEMN ;如图2，在菱形ABFG中，顺次连接四边AB, BF , FG , GA 的中点 D , E, M, N,得到四边形DEMN .（2）请从图1、图2的结论中选择一个进行证明 哥* 嘟下樽应步柚内期勺 咼证曲相应麻律|我选择证明 图1中的结论；图2中的鰭论.证明:特殊四边形证明1.（房山）如图，在 ABC中，AB=BC, BD平分/ ABC .过点 D作AB的平行线，过点 B作AC的平行线，两平行线相交于点E，BC交DE于点F，连接CE .求证：四边形 BECD是矩形.A面积及边长1.（昌平）如图，在四边形是 的中点，AB=4,AC中， /, 平分/ABCD AB CD AC=

4、2.5，写出求四边形EC, BAD CE AD 的面积的思路.ABCD于.如果点AB EE2.（朝阳）如图，等边三角形 ABC中，D , E分别是 AB , AC的1中点，延长 BC至点F，使CF = BC，连接DE , CD, EF .（1）求证：四边形 DCFE是平行四边形；（2） 若等边三角形 ABC的边长为a，写出求EF长的思路.3. （东城）如图 1，在 ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点 A作BC的平行线交CE的延长线于 F，且AF = BD，连接BF .（1）求证：点D是线段BC的中点； 如图2，若AB = AC=13, AF = BD=5，求四边形 AFBD的面积

5、.折叠1.（东城） 如图，正方形 ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点E处，折痕为 GH .若BE : EC -2 :1，求线段EC , CH的长.D落在BC边上的点D2.（房山）如图，矩形 ABCD中，AB =8 , BC=4，将矩形沿 AC折叠，点 D落在点D 处，求重叠部分厶AFC的面积角平分线模型1. (石景山)如图，四边形 ABCD为平行四边形，/ BAD的角平分线 AF交CD于点E，交BC的延长线于点 F .求AB的长.(1 )求证：BF=CD ;2BE BE AF F=60 _)连接 ，若 丄，/, BE _2 3 ,线段的数量关系1ABCDEDEC.(通州)如图，在平行四边

6、形中，点 是AB边上任意一点，连接.过点作线段DE的平行线，交 AB延长线于点F .(1) 证明：AE 二 BF .(2) 过点E作EG JLCF，垂足为点 G .点M为DC边中点，连接 ME , MG . 根据题意完成作图； 猜想线段 ME , MG的数量关系，并写出你的证明思路 .中点的联想1. 证明：(1 )四边形 ABCD是平行四边形，二 AD=BC , AD / BC .又 E, F分别为BC , AD的中点，11 AF= AD , CE= BC,22 AF=CE ,二四边形 AECF是平行四边形， AE=CF .(2 )T四边形 AECF是平行四边形，二 AE / CF ,又 E为

7、BC的中点， A为BM的中点.即 AM=AB .2. ( 1 )证法一：连接 DE . E , F分别是边AC , BC的中点，二 EF / AB , EF-1AB.2点D是边AB的中点，1二 AD -AB. 2AD EF.二四边形ADFE 为平行四边形 由点D , E分别是边 AB , AC的中点，可得:F1DE 一 BC .v BC - 2AF ,二 2DE - 2AF，即 DE - AF二四边形ADFE为矩形.证法二：v E , F分别是边 AC ,BC的中点，1F二 EF / AB , EF,BC -2BF.2v点D是边AB的中点，AD AB. 2 AD EF.四边形ADFE 为平行四

8、边形v BC - 2AF , BFAF._v点D是边AB的中点， DFAB.三 ADF90 二二四边形ADFE 为矩形.(2) 2 3 2.3证明：(1)v四边形 ABCD是平行四边形， AD / BC .又 v DE / AC ,四边形ADEC是平行四边形.又v AC丄BC , / ACE = 90o .四边形ADEC是矩形.解：(2) v AC 丄 BC ,Z ACB = 90o .v M是AB的中点， AB=2CM=10 .v AC=8, BC宁对102 -82 - 6.又v四边形 ABCD是平行四边形， BC=AD .又v四边形 ADEC是矩形， EC=AD . EC= BC=6 .矩

9、形 ADEC的面积=6 848 .-4. (1 ) v CE/ AB， / DAF = Z ECF .v F为AC的中点， AF= CF .在厶DAF和厶ECF中，ZDAFZECFLaf-cf图5 DAF ECF （ SAS ） AD = CE .v CE/ AB ,四边形ADCE为平行四边形.(2)如图，过点 F作FH丄DC于点H .v四边形ADCE为平行四边形.I 二 AE/ DC , DF = EF=2 , .FDC = / AED =45 .在 Rt DFH 中，/ DHF =90 , DF =2 魁*，/ FDC =45 ,二 FH =DH=2 ,在 Rt CFH 中，/ FHC =

10、90 , FH =2 ,Z FCD =30 ,二 FC=4 .由勾股定理，得HC= I II1-ft DC = DH + HC=2+-5.（西城）解：（1）见图4,图5，连线、依据略.（两个画图各1分，连线1分，两个依据各1分，所写依据 的答案不唯一）（2）如图4.v NP / DE , EQ / DN , NP 与 EQ 的交点为点 M ,四边形DEMN为平行四边形.v D为矩形ABEN对角线的交点，二 AE=BN , DE 1 AE , DN I “BN2 2 DE=DN .平行四边形DEMN是菱形如图6，连接AF , BG,记交点为 H.T D , N两点分别为 AB , GA边的中点，

11、1DE _ _ AF .2二 DN / BG, DN BG.21同理，EM / BG , EM _ BG , DE / AF,2二 DN / EM , DN =EM .四边形DEMN为平行四边形T四边形ABFG是菱形，二 AF 丄 BG.AHB 90.1- 180*aHB 90 .2- 180 - 1 90.二平行四边形 DEMN是矩形特殊四边形证明1.证明：T AB=BC, BD 平分/ ABC AD = DC , BD 丄 CAv AB / DE, AD / BE四边形 ABED是平行四边形 AD = BE , AD / BE, AB=DEDC=BE , DC / BEC四边形 BECD是

12、平行四边形D-jp|f、v BD 丄 CA-E.BDC 90：JrAB四边形 BECD是矩形面积及边长1 .AD / CE , AE / CD 四边形 AECD为平行四边形. AC 平分/ BAD , AD /CE AE=CE.由得，四边形 AECD是菱形.由/ ACE = / EAC，/ ECB = / B 和厶 ABC 内角和 180o ABC是直角三角形.1由菱形和为中点AECD El =3.Sa AECSA ACDSA BEC由 ABC是等边三角形，D为AB的中点，可得BD- 1ABCD丄 AB.四边形ABCD的面积为9 .2. ( 1)证明：点 D, E分别为AB, AC的中点,1.

13、DE / BC , DE= BC.21/ CF= BC ,2.DE=CF .又 DE / CF ,.四边形是平行四边形.DCFE(2 )求解思路如下：由四边形 DCFE是平行四边形，可得 EF = DC .DC长可求，即EF长可求.vAF= BD ,.=，即是的中点.BD DC D BC(2)解：v AF / BD , AF = BD ,.四边形AFBD是平行四边形.v AB = AC，又由(1)可知D是BC的中点，.AD丄 BC .在Rt ABD中，由勾股定理可求得AD =12 ,jrr在Rt BCD中，BC=，依据勾股定理a3. (1)证明：点 E是AD的中点，. AE = DE .vAF

14、/ BC ,.Z AFE =Z DCE ,Z FAE=Z CDE.EAF S EDC.AF= DC .矩形AFBD的面积为 BD 2D飞0 .折叠1.解：v BC 9 BE :EC一2:1 ,.EC 一3 .设 CH x ,则 DH 9-x由折叠可知EH - DH - 9 x . 在 Rt ECH 中， C=90 ,二 EC2 CH 2 = EH 2 .2即32带x2 =(旷x j解得x _4 . CH 4 .2.解：由题意得， ACD ACD :丄 ACD= / ACD 又矩形 ABCD 中，DC / ABAFB FA=FC设 FA FC 二x，则 BF = xZ*D在 Rt BCF 中，v

15、Z B=90 二由勾股定理得 FC 2 - BF 2 BC22即，X2 8 x4 2解得，x导5 FAFC5 -S AFC 二 1 AF BC 二 1笔暑 54102 2角平分线1 .( 1)证明：v 四边形ABCD为平行四边形，二 AB=CD , AD / BC .CFZ F= Z 1 .又v AF平分Z BAD , z2= Z1 . Z F= Z 2 . AB=BF . BF=CD(2)解：T AB=BF，/ F=60 ,ABF为等边三角形.t BE丄AF，/ F=60 ,/BEF=90 ,Z 3=30 .在 Rt BEF 中，设 EF _ x ,- BE 3x 2 3 . x x 2 . AB=BF=4 .线段的数量关系1. ( 1)证明：t四边形 ABCD是平行四边形 AB -CD , AB / CD 又t DE / CF四边形 DEFC是平行四边形 EF AB EF -BE AB BE AE -BF作图：猜想：ME - MG证明思路：延长EM, FC交于点H证明 DEM CHM得到ME -MH在Rt EHG中，得到ME - MG