法向量经典练习题
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1、【山东省淄博市第一中学2012届高三第一学期期中理】1、(满分12分): 如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得,已知平面,为的中点(1) 求证:平面(2) 求证:平面平面(3) 求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值【山东省枣庄市2012届高三上学期期末理】2.(本题满分12分)如图,ABCD是菱形,PA平面ABCD,PA=AD=2,BAD=60.(1)证明:面PBD面PAC;(2)求锐二面角APCB的余弦值.【山东省临清三中2012届高三12月模拟理】3(本小题满分12分) 如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB2,BAD60()求证:B
2、D平面PAC;()若PAAB,求PB与AC所成角的余弦值;()当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长4.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB=60,FC平面ABCD,AEBD,CB=CD=CF。()求证:BD平面AED;()求二面角F-BD-C的余弦值。【答案】1、 证明:取DE中点G,建系如图,则A(0,0)、B(-1,0, 0)、C(1,0,0)、D(-1,0,1),E(1,0,3)、F(0,2)、G(0,0,2),=(2,0,2),=(1,1).设平面DEF的一法向量=(x,y,z), 则即 ,不妨取x=1,则y=0,z=-1,=(1,0,-1),平面AB
3、C的一法向量=(0,0,1),=(0,0). =0,.又OA平面DEF,OA/平面DEF.显然,平面BCED的一法向量为=(0,1,0),=0,平面DEF平面BCED由知平面DEF的一法向量=(1,0,-1),平面ABC的一法向量=(0,0,1), cos= =- 求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为 .【答案】2.(1)因为四边形ABCD是菱形, 所以AC 因为PA平面ABCD, 所有PABD.2分 又因为PAAC=A,所以BD面 PAC.3分而BD面PBD,所以面PBD面PAC.5分(2)如图,设ACBD=O.取PC的中点Q,连接OQ. 在APC中,AO=OC,CQ=QP,OQ为APC
4、的中位线,所以OQ/PA. 因为PA平面ABCD, 所以OQ平面ABCD,6分 以OA、OB、OQ所在直线分别为轴、轴,建立空间直角坐标系O 则7分因为BO面PAC, 所以平面PAC的一个法向量为8分 设平面PBC的一个法向量为 而 由得 令则 所以为平面PBC的一个法向量.10分 12分【答案】3(I)证明:因为四边形ABCD是菱形, 所以ACBD又因为PA平面ABCD, 所以PABD,所以BD平面PAC 4分()设ACBDO 因为BAD60,PAAB2, 所以BO1,AOCO如图,以O为坐标原点,OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,2),A(0,0),B(1,0,0),C(0,0)所以PB(1,2),AC(0,2,0)设PB与AC所成角为,则cos 8分()由()知BC(1,0)设P(0,t) (t 0),则 BP(1,t)设平面PBC的法向量m(x,y,z), 则BCm0,BPm0所以 令y,则x3,z, 所以m同理,可求得平面PDC的法向量n因为平面PBC平面PDC, 所以mn0,即60 解得t所以当平面PBC与平面PDC垂直时,PA 12分
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