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1、 概率、统计案例知识方法总结一、离散型随机变量及其分布列1. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。常用大写英文字母X、Y等或希腊字母、等表示。 2.分布列:设离散型随机变量可能取得值为： x1，x2，x3，取每一个值xi（i=1，2，）的概率为，则称表x1x2xiPP1P2Pi为随机变量的分布列 3. 分布列的两个性质： Pi0，i1，2， P1+P2+=1.常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型 考点一: 离散型随机变量分布列的性质1随机变量的概率分布规律为P(n)(n1，2，3，4)，其中a是常数，则P()
2、的值为 ABCD答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。解：由题知2，3，4，5 表示前2只测试均为没电， 表示前两次中一好一坏，第三次为坏， 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏， 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好 分布列为2345P三、 条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。2. 相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概
3、率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P（A1A2An）= P（A1）P（A2）P(An)3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.4.如果在1次试验
4、中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：Pn（k）=CP k（1p）nk,其中，k=0,1,2，,n.5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到随机变量的概率分布如下：01knP由于恰好是二项展开式中的各项的值，所以称这样的随机变量服从二项分布，记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记b(k；n，p)6. 两点分布： X 0 1 P 1p p
5、7.超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。称分布列 X 0 1 m P 为超几何分布列， 称X服从超几何分布。 四、热点考点题型 题型1. 条件概率例1 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从09中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率解析：设事件表示第次按对密码事件表示恰好按两次按对密码，则设事件表示最后一位按偶数，事件表示不超过2次按对密码，因为事件与事件为互斥事件，由概率的加法
6、公式得：说明：条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A发生的条件下事件B发生的概率可以看成在样本空间为事件A中事件B发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法缩减样本空间法题型2.相互独立事件和独立重复试验例2某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资（）求此公司一致决定对该项目投资的概率；（）求此公司决定对该项目投资的概率；解析：（）此
7、公司一致决定对该项目投资的概率P= ()3（）此公司决定对该项目投资的概率为PC32()2()C33()3答: （）此公司一致决定对该项目投资的概率为（）此公司决定对该项目投资的概率为.说明： 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有次发生与指定次发生的区别, 对独立重复试验来说,前者的概率为,后者的概率为题型3: 两点分布与超几何分布的应用例3 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？解析：从50名学生中随机取5人共有种方法，没有女生的取法是，恰有1名女生的取法是，恰有2名女生的取法是，恰有3名
8、女生的取法是，恰有4名女生的取法是，恰有5名女生的取法是，因此取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布为：X012345P题型4: 独立重复试验与二项分布的应用例题4：在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽样时，抽到次品数的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数的分布列.解：（1）不放回抽样时，抽到次品数服从参数为10,2,3超几何分布：P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，所以的分布列为012（2）放回抽样时，抽到次品数B（3,0.2）：P（=k）=C0.83k0.2k（k=0，1，2，3），所以的分布列为0123C0.83C0.820.2C0.80.22C
9、0.23五、离散型随机变量的期望和方差1数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 为的数学期望，简称期望2.期望的一个性质: 3.若B（n,p），则E=np 4.方差: 5.标准差:叫做随机变量的标准差6.方差的性质： ； 7.若B(n，p)，则np(1-p) 六、热点考点题型题型一：离散型随机变量的期望与方差 例题1：为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。（）求n,p的值并写出的分布列；（）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需
10、要补种，求需要补种沙柳的概率解析： (1)由得,从而的分布列为0123456(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得 或 例题2：一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.（1）求这箱产品被用户接收的概率；（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件，. 即这箱产品被用户接收的概率为 （2）的可能取值为1，2，3 =，=，=， 的概率分布列
11、为：123= 七、正态分布1. 正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差。当时得到标准正态分布密度函数：.2.正态曲线的性质： 曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 曲线是单峰的，关于直线x 对称； 曲线在x处达到峰值； 曲线与x轴之间的面积为1；3. 是参数与图象的关系: 当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移； 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。(1)P=0.683；(2)P=0.954 (3)P=0.997八、热点考点题型考点一： 正态分布的应用例题1：某市组织一次高三调研考试，考试后统
12、计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是 （ ）A该市这次考试的数学平均成绩为80分；B分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D该市这次考试的数学成绩标准差为10.答案：B例题2：设随机变量服从正态分布,若,则c= ( )A.1 B.2 C.3D.4答案:B九、独立性检验与回归分析1、独立性检验：列联表：为了研究事件与的关系，经调查得到一张列联表，如下表所示 合计合计卡方统计量，它的表达式是 经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：与.当根据具体的数据算出的时，有的把握说事件与有关；当时，有的把握
13、说事件与有关；当时，事件与无关.2、相关性检验对于变量与随机抽取到的对数据样本相关系数 r具有以下性质：当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关；当|r|1,并且|r|越接近1时，两个变量的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，两个变量的线性相关程度越弱;相关性检验的步骤： 作统计假设 根据小概率与在附表中找出的一个临界值 根据样本相关系数计算公式算出值 用统计判断.当时有95%的把握说两个变量间具有线性相关关系，当时二者无相关关系。十、热点考点题型1.独立性检验为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表： 理科文科男1310女720已知P（3.841）0.05，P（6.635）0.01.根据表中数据，得到=4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 .答案 5%2. 相关性检验下列说法：将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；设有一个回归方程=3-5x,变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；线性回归方程=必过（，）;曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系;在一个22列联表中,由计算得=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是 .答案 3
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答
