全国中考数学压轴题解析汇编及答案浙苏赣皖湘鄂省会

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1、 【2013杭州22题】（1）先求解下列两题： 如图，点B、D在射线AM上，点C、E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知EDM=84，求A的度数； 如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，ACx轴，点B、C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数y=(x0)的图象经过点B、D，求k的值。（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单写出。解：（1） 在ADE中，EDM=A+AEDAED=EDM-ACD=DEAED=DCEDCE=EDM-A在ACD中，DCE=A+ADCADC=DCE-A=EDM-2ABC=CDADC=DBCDBC=EDM-2A在ABC中

2、，DBC=A+ACBACB=DBC-A=EDM-3AAB=BCA=ACBA=EDM-3AA=EDMEDM=84A=21 点B在反比例函数图象上，且横坐标为3可设点B的坐标为（3，）C的横坐标是3，且BC=2点C的坐标为（3，）D的横坐标为1，且ACx轴点D的坐标为（1，）点D在反比例函数图象上1（）=kk=3（2）两小题的共同点是：用已知的量通过一定的等量关系去表示未知的量，建立方程解答问题【2013杭州23题】如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件EPF=45，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积为S1.（1）

3、求证：APE=CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，y=。 求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值； 当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值。解：（1）过点P作PGAB于G，PHBC于H。AC是正方形ABCD的对角线HPC=HCP=45EPF=45APE+HPF=180-EPF-HPC=90PHF=90CFP+HPF=90APE=CFP（2）P是正方形ABCD的对称中心，边长为4PH=GP=2，AP=CP=2CF=x SPFC=CFPH=xS2=2SPFC=2xAPE=CFP，PAE=PCF=45APECFPAE=SAPE=AEGP=SABC

4、=ABBC=8S四边形BFPE=SABC-SAPE-SPFC=8-xS1=2S四边形BFPE=16-2xy=点F在BC边上，点E在AB边上，且EPF=452x4y=当，即x=2时，y有最大值，最大值为1 因为两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，要使其关于点P成中心对称，则两块阴影部分图形还要关于直线BD成轴对称，此时BE=BFAE=CF则=x，得x=2或-2(舍去)x=2y=2-2【2013南京26题】已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)（a、m为常数，且a0）。（1）求证：不论a与m为何值，该函数与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于

5、点D。 当ABC的面积等于1时，求a的值； 当ABC的面积与ABD的面积相等时，求m的值。解：（1）当y=0时，a(x-m)2-a(x-m)=0a0x2-(2m+1)x+m2+m=0=(2m+1)2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=10方程a(x-m)2-a(x-m)=0恒有两个不相等的实数根故，不论a与m为何值，该函数与x轴总有两个公共点（2）由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)=0解得：x=m或m+1点A的坐标为（m，0）点B的坐标为（m+1，0）AB=m+1-m=1 由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m-)2 -a得顶点C的坐标为（m+

6、，-a）ABC的面积等于11|-a|=1a=8 当x=0时，y=am2+am点D的坐标为（0，am2+am）SABD=1|am2+am|=|am2+am|=|a|m2+m|由可得SABC=1|-a|=|a|SABC=SABD|a|m2+m|=|a|a0|m2+m|=当m2+m=时，m2+m-=0解得m=或当m2+m=-时，m2+m+=0解得m=m=或或【2013南京27题】对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如，如图，ABCABC，且沿周界ABCA与ABCA环绕的方向相同，

7、因此ABC与ABC互为顺相似；如图，ABCABC，且沿周界ABCA与ABCA环绕的方向相反，因此ABC与ABC互为逆相似。（1）根据图I、图II和图III满足的条件，可得到下列三对相似三角形：ADE与ABC；GHO与KFO；NQP与NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 （填写所有符合要求的序号）（2）如图，在锐角ABC中，ABC，点P在ABC的边上（不与点A、B、C重合）。过点P画直线截ABC，使截得的一个三角形与ABC逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由。解：（1）根据定义，结合图形和条件可知，互为顺相似的是；互为逆相似的

8、是。（2）由题意，分以下三种情况：第一种情况：当P在BC边上时，过点P能画出两条截线PQ1、PQ2，使CPQ1=A，BPQ2=A，此时，PQ1C、PBQ2均与ABC互为逆相似。第二种情况：当P在AC边上时，作CBM=A，BM交AC于M。当点P位于AM上（不含M）时，过点P1能画出一条截线P1Q1，使AP1Q1=ABC，此时，AP1Q1与ABC互为逆相似。当点P位于CM上时，过点P2能画出两条截线P2Q2、P2Q3，使CP2Q2=CBA，AP2Q3=CBA，此时，CP2Q2、AP2Q3均与ABC互为逆相似。第三种情况：当P在AB边上时，作BCD=A，CD交AB于D，作ACE=B，CE交AB于E。

9、当P在AD上（不含D）时，过点P1能画出一条截线P1Q1，使AP1Q1=ACB，此时，AQ1P1与ABC互为逆相似。当P在DE上时，过点P2能画出两条截线P2Q2、P2Q3，使AP2Q2=ACB，BP2Q3=ACB，此时，AQ2P2、Q3BP2均与ABC互为逆相似。当P在BE上（不含E）时，过点P3能画出一条截线P3Q4，使BP3Q4=ACB，此时，Q4BP3与ABC互为逆相似。【2013合肥22题】某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到了一种成本20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表示。销售量p（件）p=50-x销售单价q（元/件）当1x20时，q=30+x当2

10、1x40时，q=20+（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；（3）在40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）当1x20时，q=解得x=10 当21x40时，q=解得x=35故，第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件。（2）由题意得，y=p(q-20)，则当1x20时y当21x40时y 利润y关于x的函数关系式为：（3）当1x20时，当x=15时，y有最大值为612.5当21x40时，由y知，y随x的增大而减小当x=21时，y有最大值，此时最大值为612.5725在这40天中，第21天时获得的利润最大，最

11、大利润为725元。【2013合肥23题】我们把有不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”，如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”，其中B=C（1）在图1所示“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，B=C，E为边BC上一点，若ABDE，AEDC，求证：； （3）在由不平行于BC的直线AD截PBC所得的四边形ABCD中，BAD与ADC的平分线交于点E, 若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形

12、），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论。（不必说明理由）解：（1）如下图所示（2）AECD ，ABEDAEB=C，B=DECABEDCEB=CAEB=BAB=AE（3）当点E在四边形ABCD内部时，四边形ABCD是“准等腰梯形”。理由如下：过点E作EFAB于F，EGAD于G，EHCD于H。AE平分BAD EF=EGED平分ADCEG=EHEF=EHEB=ECRtBFERtCHEFBE=HCEEB=ECEBC=ECBFBE+EBC=HCE+ECBABC=DCBAD不平行于BC四边形ABCD是“准等腰梯形”当点E不在四边形ABCD

13、内部时，有两种情况：一、当点E在边BC上时，四边形ABCD为“准等腰梯形”二、当点E在四边形ABCD的外部时，四边形ABCD为“准等腰梯形”【2013武汉24题】已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G。（1）如图，若四边形ABCD是矩形，且DECF，求证：；（2）如图，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，BAD=90，DECF，请直接写出的值。解：（1）DECF，即DGF=90ADE+CFD=90四边形ABCD是矩形A=CDF=90ADE+AED=90AED=

14、CFDAEDDFC（2）当B+EGC=180时，成立。证明如下：CGD+EGC=180B=CGD四边形ABCD是平行四边形B=CDFCGD=CDFDCG=FCD（公共角）CDGCFDABCDA+B=180A=EGCDGF=EGC（对顶角）A=DGFADE=GDF（公共角）ADEGDF（3）=。解析如下：连接AC、BD交于H。由已知条件，易证ACBD，AH=CH在四边形AEGF中，BAD=90，EGF=90AEG+AFG=180AEG+BED=180BED=AFG易证EBD=FACBEDFAC=在RtABD中，由勾股定理可求得BD=10，由面积相等ABAD=BDAH可求得AH=，则AC=10=【

15、2013武汉25题】如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点。（1）若直线m的解析式为y=-，求A、B两点的坐标；（2） 若点P的坐标为（-2，t），当PA=AB时，请直接写出点A的坐标； 试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA=AB成立。（3）设直线l交y轴于点C，若AOB的外心在边AB上，且BPC=OCP，求点P的坐标。解：（1）联立抛物线和直线m的解析式得x2 =-，即2x2 +x-3=0解得x=1或当x=1时，y=1；当x=时，y=点A坐标为（，），点B坐标为（1，1）（2）点P（-2，t）在直线l：y=

16、-2x-2上 t=2，即P（-2，2）可设直线m的解析式为y=kx+2k+2联立抛物线解析式有：x2-kx-2k-3=0设A（x1，x12），B（x2，x22），则x1+x2=k，x1x2=-2k-3PA=AB 2x1=x2-2上述三式消去k和x2得，x12 +4x1+3=0解得x1= -1或-3点A坐标为(-1，1)或(-3，9) 设P（n，-2n-2），A（a，a2），过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为P、A、B。PA=AB AA是梯形PPBB的中位线PA=AB，2AA=PP+BBa-n=xB-a，2a2=-2n-2+yBB（xB，yB）即（2a-n，2a2+2n+2）代入抛物线解析式

17、得：2a2+2n+2=(2a-n)2=4a2+4an+n2即2a2+4an+n2-2n-2=0=16n2-8(n2-2n-2)=8n2+16n+16=8(n+1)2+80对于任意的n，关于a的方程总有两个不相等的实数根，即对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到两个满足条件的点A。（3）AOB的外心在边AB上 AOB=90过点A、B作x轴的垂线，垂足为E、F。易证得AEOOFB，则设A（r，r2），B（t，t2），其中r0，t0，则OE=-r，AF=r2，OF=t，BF=t2-rt=r2t2，得rt=-1设直线m的解析式为y=kx+b，联立抛物线解析式可得x2-kx-b=0，由韦达定理

18、得，rt=-bb=1，则点D坐标为（0，1）由直线l：y=-2x-2得，点C坐标为（0，-2）DC=3BPC=OCP DP=DC=3设点P坐标为（n，-2n-2），过点P作PKy轴于K，则PK=|n|，DK=|-2n-3|PK2+DK2=DP2=9n2+(-2n-3)2=9，即5n2+12n=0n=0(舍去)或则-2n-2=-2()-2=点P坐标为（，）【2013长沙25题】设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式axb的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a，b。对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当mxn时，有myn，我们就称此函数是闭区间m，n上的“闭函数”。（1）

19、反比例函数y=是闭区间1，2013上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b(k0)是闭区间m，n上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数y=是闭区间a，b上的“闭函数”，求实数a、b的值。解：（1）反比例函数y=是闭区间1，2013上“闭函数”，理由如下：当x=1时，y=2013；当x=2013时，y=1且函数y=在闭区间1，2013上，y随x的增大而减小当1x2013时，有1y2013，符合“闭函数”定义，故是闭函数。（2）分如下两种情况： 当k0时，y随x的增大而增大由题意知，当x=m时，y=km+b=m当x=n时，y=kn+b=n解此方程组得：k=1，b

20、=0函数解析式为y=x 当k0时，y随x的增大而减小由题意知，当x=m时，y=km+b=n当x=n时，y=kn+b=m解此方程组得：k=-1，b=m+n函数解析式为y=-x+m+n（3）由y=知，二次函数开口向上，对称轴为x=2，最小值为，且当x2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的增大而增大。 当b2时，y随x的增大而减小，则当x=a时，y=b (i)当x=b时，y=a (ii)(i)-(ii)并整理得：(a-b)(a+b+1)=0ab a+b+1=0 (iii)解(i)(iii)方程组的得或ab 当a2b时，此时，a=，而由“闭函数”定义，对于b，则有如下两种可能：即b=2，故不可能

21、或=b，即解得b=或(舍去)a=，b= 当a2时，y随x的增大而增大，则当x=a时，y=a当x=b时，y=b即a、b是方程的两个根解得a=2，b=，故舍去综上可得，或【2013长沙26题】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴、y轴交于点A、B，动点P(a，b)在第一象限内，由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（垂足为M、N）分别与直线AB相交于点E、F，当点P(a，b)运动时，矩形PMON的面积为定值2.（1）求OAB的度数；（2）求证：AOFBEO；（3）当点E、F都在线段AB上时，由三条线段AE、EF、BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，OEF的面积为S2。试探

22、究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由。解：（1）由y=-x+2知，当x=0时，y=2 B（0，2），即OB=2当y=0时，x=2 A（2，0），即OA=2OA=OB AOB是等腰直角三角形OAB=45（2）EMOB FNOA AFBE=ONOM=2OMON矩形PMON的面积为2 OMON=2AFBE=4OAOB=4AFBE=OAOB，即OAF=EBO=45AOFBEO（3）易证AME、BNF、PEF为等腰直角三角形AM=EM=2-a AE2=2(2-a)2=2a2-8a+8BN=FN=2-b BF2=2(2-b)2=2b2-8b+8PF=PE=a+b-2E

23、F2=2(a+b-2)2=2a2+4ab+2b2-8a-8b+8ab=2 EF2=2a2+2b2-8a-8b+16EF2= AE2+BF2由线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆面积为：S1=EF2=2(a+b-2)2=(a+b-2)2S梯形OMPF=(PF+OM)PMSPEF=PFPE，SOME=OMEMS2=S梯形OMPF-SPEF-SOME=(PF+OM)PM-PFPE-OMEM=PF(PM-PE)+OM(PM-EM)=(PFEM+OMPE)=PE（EM+OM)=(a+b-2)(2-a+a)=a+b-2S1+S2=(a+b-2)2+(a+b-2)设

24、m=a+b-2，则S1+S2=m2+m=(m+)2-面积之和不可能为负数当m-时，S1+S2随m的增大而增大当m最小时，S1+S2就最小m=a+b-2=a+-2=()2+2-2当，即a=b=时，m最小，最小值为2-2S1+S2的最小值=(2-2)2+ 2-2= 2(3-2)+2-2【2013南昌24题】某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DFAB于点F，EGAC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可） ：AF=AG=A

25、B；MD=ME；整个图形是轴对称图形；MDME。（2）数学思考：在任意ABC中，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：（i）在任意ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断MED的形状。答： （ii）在三边互不相等的ABC中(见备用图)，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论仍然成立，你

26、认为应添加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由。解：（1）正确结论为。（2）MD=ME。证明如下：过点D作DFAB于F，连接FM；过点E作EGAC于G，连接GM。ABD为等腰直角三角形，DFABF为AB的中点，且DF=AB同理可证，G为AC的中点，且EG=ACM为BC的中点 FMAC，且FM=AC同理可证，GMAB，GM=ABFMAC，GMAB四边形AFMG是平行四边形AFM=AGMAFD=AGE=90DFM=MGEFM=EG=AC，DF=GM=ABDFMMGE MD=ME（3）（i）MED是等腰直角三角形。证明方法与(2)相同，得DFMMGEMD=ME，MDF=EMG令DF与MG

27、交于K，MGAB，DFAB则DFMG，即MKD=90DME=90MED是等腰直角三角形（ii）当ABD=ACE时，结论MD=ME仍然成立。取AB的中点F，连接DF，MF；取AC的中点G，连接EG，MG。则DF=AB，EG=AC与(2)同理，DF=MG，FM=EG，BFM=CGMBF=DF BDF是等腰三角形CG=EG CEG是等腰三角形ABD=ACE，即FBD=GCEBFD=CGEDFM=BFM-BFDMGE=CGM-CGEDFM=MGEDFMMGE（SAS） MD=ME【2013南昌25题】已知抛物线yn=-(x-an)2+an (n为正整数，且0a1a2an)与x轴的交点为An-1 (bn

28、-1，0)和An (bn，0)，当n=1时，第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0 (0，0)和A1 (b1，0)，其他依此类推。（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（ ， ）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（ ， ）；（用含n的式子表示）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ；（3）探究下列结论： 若用An-1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0 A1的值，并求出An-1 An； 是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在

29、，请说明理由。解：（1）抛物线y1=-(x-a1)2+a1过点A0 (0，0)-a12+a1=0，解得a1=0或1a10a1=1则抛物线y1的对称轴为x=1由抛物线的对称性得，A1 (2，0)b1=2由题意知，抛物线y2=-(x-a2)2+a2过点A1 (2，0)-(2-a2)2+a2=0，解得a2=1或4a2a1=1a2=4抛物线y2的解析式为y2=-(x-4)2+4（2）与(1)同理可得：抛物线y3的解析式为y2=-(x-9)2+9抛物线y3的顶点坐标为（9，9）由抛物线y1的顶点坐标为（1，1）抛物线y2的顶点坐标为（4，4）抛物线y3的顶点坐标为（9，9）依此类推可得抛物线yn的顶点坐

30、标为（n2，n2）所有的顶点坐标满足的函数关系式是：y=x(其中x为正整数)（3） 由(1)可得，A0 A1=2由yn=-(x-n2)2+n2得，当yn=0时，-(x-n2)2+n2=0解得x=n2+n或n2-nAn-1 (n2-n，0)，An (n2+n，0)An-1 An= n2+n-(n2-n)=2n 假设存在满足题述条件的直线，因为直线过点A（2，0），则可设其表达式为y=kx-2k由-(x-n2)2+n2=kx-2k得x2+(k-2n2)x+n4-n2-2k=0=(k-2n2)2-4(n4-n2-2k)=(4k-4)n2+k2+8k当k=1时，对于任意的n，都有=90，即该直线和所有抛物线都相交。设直线与抛物线yn的交点横坐标为x1n，x2n，截得的线段为MnNn。当k=1时，有x2+(1-2n2)x+n4-n2-2=0由韦达定理得，x1n+x2n=2n2-1，x1nx2n=n4-n2-2则MnNn2=(x1n-x2n)2=(x1n+x2n)2-4x1nx2n=(2n2-1)2-4(n4-n2-2)=9MnNn=3为定值，与n无关，即该直线被每一条抛物线截得的线段的长度都相等。故，存在满足题述条件的直线，该直线的表达式为y=x-2