广东省深圳市高考数学二模试卷理科解析版

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1、2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1若复数z满足（1+i）z=1i（i为虚数单位），则|z|=（）ABC2D12设A，B是两个集合，则“xA”是“x（AB）”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3若coa（）=，则cos（2）=（）ABCD4若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）ABCD25在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A1B2Clg2D106已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变

2、为原来的一半，纵坐标不变，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=7以直线y=x为渐近线的双曲线的离心率为（）A2BC2或D82位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）ABCD9如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=+，则+=（）A2BCD10已知f（x）=，则关于m的不等式f（）ln的解集为（）A（0，）B（0，2）C（，0）（0，）D（2，0）（0，2）11如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A48B16C32D1612设定义在（0，+）上的函数f（x）满足xf

3、（x）f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值，又有极小值D既无极大值，也无极小值二、填空题13高为，体积为2的圆柱体的侧面展开图的周长为14过点P（3，1）的直线l与圆C：（x2）2+（y2）2=4相交于A，B两点，当弦AB的长取最小值时，直线l的倾斜角等于15在（2+）10的展开式中，x4项的系数为（结果用数值表示）16如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，ACCD，AC=CD，当ABC变化时，对角线BD的最大值为三、解答题17设数列an的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nan的

4、前n项和Tn18某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：等级优秀合格不合格男生（人）15x5女生（人）153y根据表中统计的数据填写下面22列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？优秀男生女生总计非优秀总计（2）以（1）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等

5、级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d临界值表：P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63519在三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CEEF（）证明：平面ABB1A1平面ABC；（）若CACB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值20过抛

6、物线C：y2=2px（p0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为4（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点21已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）（1）求实数a的值；（2）用minm，n表示m，n中的最小值，设函数g（x）=minf（x），x（x0），若函数h（x）=g（x）cx2为增函数，求实数c的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CFAB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，AEC=

7、30（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求ADAE的值选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（是参数），直线l的极坐标方程为sin（）=1（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值选修4-5：不等式选讲24已知关于x的不等式|x2|x+3|m+1|有解，记实数m的最大值为M（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +12016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1若复数z满足（1+i）z=1i

8、（i为虚数单位），则|z|=（）ABC2D1【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：（1+i）z=1i（i为虚数单位），（1i）（1+i）z=（1i）（1i），2z=2i，即z=i则|z|=1故选：D2设A，B是两个集合，则“xA”是“x（AB）”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】x（AB），可得xA，则反之不一定成立，即可判断出关系【解答】解：x（AB）xA，则反之不一定成立“xA”是“x（AB）”的必要不充分条件故选：B3若coa（）=，则cos（2）=（）ABCD【考

9、点】三角函数中的恒等变换应用【分析】直接利用二倍角的余弦得答案【解答】解：由cos（）=，得cos（2）=cos2（）=故选：C4若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）ABCD2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（3，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z=，故选：C5在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A1B2Clg2D10【考点】程序框图【分析】根据已知及程序框图，判断执行语

10、句x=lga+lgc，从而计算求值得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出x的值，由题意，a=2，b=4，c=5，不满足条件ab且ac，不满足条件bc，执行x=lg2+lg5=lg10=1故选：A6已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论【解答】解：已知函数f

11、（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，可得y=cos（x）的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数f（x）=cos（2x）的图象，令2x=k，可得f（x）的图象的对称轴方程为x=+，kZ，结合所给的选项，故选：A7以直线y=x为渐近线的双曲线的离心率为（）A2BC2或D【考点】双曲线的简单性质【分析】讨论双曲线的焦点在x轴或y轴上，设出双曲线的标准方程，求得渐近线方程，运用双曲线的基本量的关系，由离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为=1（a，b0），可得渐近线方程为

12、y=x，由题意可得=，即有b=a，c=2a，离心率为e=2；当双曲线的焦点在y轴上时，设方程为=1（a，b0），可得渐近线方程为y=x，由题意可得=，即有a=b，c=a，离心率为e=综上可得离心率为2或故选：C82位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数，再求出3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数，由此能求出3位女生中有且只有两位女生相邻的概率【解答】解：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，基本事件总数n=120，3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数m=72，3位

13、女生中有且只有两位女生相邻的概率p=故选：B9如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=+，则+=（）A2BCD【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出，【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（，1），=（1，1）=+，解得+=故选：D10已知f（x）=，则关于m的不等式f（）ln的解集为（）A（0，）B（0，2）C（，0）（0，）D（2，0）（0，2）【考点】分段函数的应用【分析】可判断f（x）是（，0）（0，+）上的偶函数，再由函数的单调性解不等式【解答】解：当x0时

14、，f（x）=ln（x）x=lnxx=f（x），故f（x）是（，0）（0，+）上的偶函数；当x0时，f（x）=lnxx为减函数，而ln=ln22=f（2），故f（）ln=f（2），故2，故0m；由f（x）是（，0）（0，+）上的偶函数知，m0；综上所述，m（，0）（0，），故选C11如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A48B16C32D16【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图画出此几何体：镶嵌在正方体中的四棱锥，由正方体的位置关系判断底面是矩形，做出四棱锥的高后，利用线面垂直的判定定理进行证明，由等面积法求出四棱锥的高，利用椎体的体积公式求

15、出答案【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥OABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，OD=2，AB=DC=OC=2，做OECD，垂足是E，BC平面ODC，BCOE、BCCD，则四边形ABCD是矩形，CDBC=C，OE平面ABCD，ODC的面积S=6，6=，得OE=，此四棱锥OABCD的体积V=16，故选：B12设定义在（0，+）上的函数f（x）满足xf（x）f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值，又有极小值D既无极大值，也无极小值【考点】利用导数研究函数的极值【分析】由xf（x）f（x）=xlnx，

16、得到=，求出的原函数，得到f（x）=+cx，由f（）=，解出c的值，从而得到f（x）=+x，通过求导判断函数f（x）的单调性，进而判断函数的极值即可【解答】解：xf（x）f（x）=xlnx，=，=，而=，=+c，f（x）=+cx，由f（）=，解得c=，f（x）=+x，f（x）=（1+lnx）20，f（x）在（0，+）单调递增，故函数f（x）无极值，故选：D二、填空题13高为，体积为2的圆柱体的侧面展开图的周长为6【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】根据棱柱的体积计算底面半径，则侧面展开图矩形的边长为圆柱的底面周长和高【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的体积V=r2=2，r=1圆柱的

17、底面周长为2r=2侧面展开图的周长为22+2=6故答案为：614过点P（3，1）的直线l与圆C：（x2）2+（y2）2=4相交于A，B两点，当弦AB的长取最小值时，直线l的倾斜角等于45【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意结合图象可得当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式和直线的垂直关系可得【解答】解：（32）2+（12）2=24，点P在圆C内部，当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式可得kPC=1，故直线l的斜率为1，倾斜角为45，故答案为：4515在（2+）10的展开式中，x4项的系数为180（结果用数值表示）【考点】二项式定理的应用【分析】通过

18、分析只需考虑（2+）10展开式中的第二项，进而只需考查的展开式中通项Tk+1=210k中含x4的项，比较可得k=8，进而计算可得结论【解答】解：（2+）10=，依题意，只需考虑r=0时，即只需中x4项的系数，的展开式中通项Tk+1=210k，令=x4，可得k=8，所求系数为2108=180，故答案为：18016如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，ACCD，AC=CD，当ABC变化时，对角线BD的最大值为+1【考点】解三角形的实际应用【分析】设ABC=，ACB=，求出AC，sin，利用余弦定理，即可求出对角线BD的最大值【解答】解：设ABC=，ACB=，则AC2=42cos，由正弦定理

19、可得sin=，BD2=3+42cos2cos（90+）=72cos+2sin=7+2sin（45），=135时，BD取得最大值+1故答案为： +1三、解答题17设数列an的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）通过等差中项的性质可知2an=Sn+1，并与2an1=Sn1+1（n2）作差，进而整理可知数列an是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知Tn=120+221+322+n2n1，进而利用错位相减法计算即得结论【解答】解：（1）an是Sn和1的等差中项，2an

20、=Sn+1，2an1=Sn1+1（n2），两式相减得：2an2an1=an，即an=2an1，又2a1=S1+1，即a1=1，数列an是首项为1、公比为2的等比数列，an=2n1；（2）由（1）可知Tn=120+221+322+n2n1，2Tn=121+222+（n1）2n1+n2n，两式相减得：Tn=1+21+22+2n1n2n=n2n=1（n1）2n，Tn=1+（n1）2n18某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评

21、价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：等级优秀合格不合格男生（人）15x5女生（人）153y根据表中统计的数据填写下面22列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？优秀男生女生总计非优秀总计（2）以（1）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d临

22、界值表：P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635【考点】独立性检验的应用【分析】（1）先求出从高一年级男生中抽出人数及x，y，作出22列联表，求出K2=1.1252.706，从而得到没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”（2）由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为，从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为由此能求出所选3名学生中恰有2人综合素质评价为优秀学生的概率X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量XB（3，），由此能求出X的数学期望【解答】解：（1）设从

23、高一年级男生中抽出m人，则，解得m=25x=2520=5，y=2018=222列联表为：男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045K2=45（1551015）230152520=1.1252.706，没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”（2）由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为=，从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价为优秀学生”为事件A，则事件A发生的概率为：P（A）=X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量XB（3，），X的数学期望E（X）=3=219在三棱柱ABC

24、A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CEEF（）证明：平面ABB1A1平面ABC；（）若CACB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（I）取AB的中点D，连结CD，DF设AC=a，计算CE，EF，CF，CD，DF，利用勾股定理的逆定理得出CDDF，由三线合一得CDAB，故而CD平面ABB1A1，从而平面ABB1A1平面ABC；（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC1与平面CEF所成角的正弦值等于|cos|【解答】证

25、明：（I）取AB的中点D，连结CD，DFAC=BC，D是AB的中点，CDAB侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE=，A1F=AE=，EF=，DF=设AC=a，则CE=，CD=CEEF，CF2=CE2+EF2=a2+=a2+CD2+DF2=a21+=a2+CD2+DF2=CF2，CDDF又AB平面ABB1A1，DF平面ABB1A1，ABDF=D，CD平面ABB1A1，又CDABC，平面ABB1A1平面ABC（II）平面ABB1A1平面ABC，三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABCCACB，AB=2，AC=BC=以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示

26、：则A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，2）=（，0，2），=（，0，），=（，2）设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，令z=4，得=（，9，4）=10，|=6，|=cos=直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为20过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为4（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+，联立

27、方程组，根据A，B两点的纵坐标之积为4，即可求出p的值，（2）表示出直线BD的方程可表示为，y=（x4），抛物线C的准线方程为，x=1，构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+与抛物线的方程联立，得y22mpyp2=0，y1y2=p2=4，解得p=2，p0，p=2，（2）依题意，直线BD与x轴不垂直，x2=4直线BD的方程可表示为，y=（x4）抛物线C的准线方程为，x=1由，联立方程组可求得P的坐标为（1，）由（1）可得y1y2=4，P的坐标可化为（1，），kAP=，直

28、线AP的方程为yy1=（xx1），令y=0，可得x=x1=直线AP与x轴交于定点（，0）21已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）（1）求实数a的值；（2）用minm，n表示m，n中的最小值，设函数g（x）=minf（x），x（x0），若函数h（x）=g（x）cx2为增函数，求实数c的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；（2）y=f（x）和y=x的交点为（x0，y0），分别画出y=f（x）和y=x在x0的图象，可得1x02，再由新定

29、义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h（x）0在0xx0时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f（x）=，设切点为（m，n），即有n=，n=m，可得ame=em，由直线y=x为曲线y=f（x）的切线，可得=，由解得m=1，a=1；（2）函数g（x）=minf（x），x（x0），由f（x）=的导数为f（x）=，当0x2时，f（x）递增，x2时，f（x）递减对x在x0递增，设y=f（x）和y=x的交点为（x0，y0），由f（1）（11）=0，f（2）（2）=0，即有1x02，当0xx0时，g（x）=x，h（x）=g（x）cx2=

30、xcx2，h（x）=1+2cx，由题意可得h（x）0在0xx0时恒成立，即有2c+，由y=+在（0，x0）递减，可得2c+当xx0时，g（x）=，h（x）=g（x）cx2=cx2，h（x）=2cx，由题意可得h（x）0在xx0时恒成立，即有2c，由y=，可得y=，可得函数y在（3，+）递增；在（x0，3）递减，即有x=3处取得极小值，且为最小值可得2c，由可得2c，解得c选修4-1：几何证明选讲22如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CFAB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，AEC=30（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求ADAE的值【考点】与圆有关的比例线段；弦切角【

31、分析】（1）连接OC，AC，证明AOC为等边三角形，利用CFAB，得出CF为AOC中AO边上的中线，即可证明结论；（2）证明B，E，D，F四点共圆，利用割线定理，求ADAE的值【解答】（1）证明：连接OC，AC，AEC=30，AOC=60OA=OC，AOC为等边三角形CFAB，CF为AOC中AO边上的中线，即AF=FO（2）解：连接BE，CF=，AOC为等边三角形，AF=1，AB=4AB是圆O的直径，AEB=90，AEB=AFDB，E，D，F四点共圆ADAE=ABAF=4选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的

32、参数方程为（是参数），直线l的极坐标方程为sin（）=1（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）曲线C的参数方程为（是参数），利用cos2+sin2=1可得直角坐标方程，把代入即可得出直角坐标方程（2）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心C（3，0）到直线l的距离d，即可得出切线长的最小值=【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（是参数），利用cos2+sin2=1可得：（x3）2+y2=4，展开可得：x2+y26x+5=0，极坐标方程为26cos+

33、5=0（2）直线l的极坐标方程为sin（）=1，展开为：（sincos）=1，可得yx=1圆心C（3，0）到直线l的距离d=2切线长的最小值=2选修4-5：不等式选讲24已知关于x的不等式|x2|x+3|m+1|有解，记实数m的最大值为M（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +1【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x2|x+3|x2（x+3）|=5，若不等式|x2|x+3|m+1|有解，则满足|m+1|5，解得6m4M=4（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 （a+b）+（b+c）=1+= （a+b）+（b+c）（+）=（1+1+）（2+2）4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号+1成立2016年8月24日