[理学]数学建模课后作业第三章

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1、 线性规划和整数规划实验3.2.基本实验1.生产计划安排解：（1）设A、B、C三种产品的生产量为x、y、z,则可以得出生产利润 ：f=3*x+y+4*z;约束条件为：6*x+3*y+5*z45; 3*x+4*y+5*z30； x、y、z均大于0； 只要f取得最大值即为最大利润则可以得出以下lingo程序；model:max=3*x+y+4*z;6*x+3*y+5*z=45;3*x+4*y+5*z=30;end运行程序后可得； Global optimal solution found. Objective value: 27.00000 Infeasibilities: 0.000000 To

2、tal solver iterations: 2 Model Class: LP Total variables: 3 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 3 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 9 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X 5.000000 0.000000 Y 0.000000 2.000000 Z 3.000000 0.000000 Row Slack or Surplus D

3、ual Price 1 27.00000 1.000000 2 0.000000 0.2000000 3 0.000000 0.6000000则可得当x=5、y=0、z=3时fmax=27为获利最大的生产方案；(2)由（1）中的程序Objective Coefficient Ranges: Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X 3.000000 1.800000 0.6000000 Y 1.000000 2.000000 INFINITY Z 4.000000 1.000000 1.500000

4、 Righthand Side Ranges: Current Allowable Allowable Row RHS Increase Decrease 2 45.00000 15.00000 15.00000 3 30.00000 15.00000 7.500000可以得出A的利润范围4,4.8,B的利润范围1,3,C的利润范围为2.5,5（3）假设购买材料的数量为d，生产利润 ：f=3*x+y+4*z-0.4d;约束条件为：6*x+3*y+5*z45; 3*x+4*y+5*z-d30； x、y、z、d均大于0； 则可以得到下面新的lingo程序；model:max=3*x+y+4*z-0

5、.4*d;6*x+3*y+5*z=45;3*x+4*y+5*z-d=30;end运行程序后可以得出： Global optimal solution found. Objective value: 30.00000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2 Model Class: LP Total variables: 4 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 3 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros

6、: 11 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X 0.000000 0.6000000 Y 0.000000 1.800000 Z 9.000000 0.000000 D 15.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 30.00000 1.000000 2 0.000000 0.4000000 3 0.000000 0.4000000由以上程序可以得出当z=9,d=15时，利润可以达到30，（4）假设新产品的数量为D，可以得出如下的生产利润 ：f=3*x+y+4*z+3D;

7、约束条件为：6*x+3*y+5*z+8*D45; 3*x+4*y+5*z+2*D30； x、y、z、D均大于0； 则可以得到下面新的lingo程序；model:max=3*x+y+4*z+3*D;6*x+3*y+5*z+8*D=45;3*x+4*y+5*z+2*D27但是z=5,D=2.5,由于D只能取整数，故当D=3时则不满足约束条件，当D=2是，利润为2627,所以如果其他条件不变化的话，这种产品不值得生产。2，工程进度问题解：设xij代表工程i第j年开始改造的投资金额(单位/千万元)，则有i=1,2,3,4;j=1,2,3,4,5;即x1j,x2j,x3j,x4j; 令工程进度=投入的总

8、金额/项目的总费用；第一年投资规划：约束条件：x11+x31-30;剩余预算资金y1=3- (x11+x31);第二年投资规划：第二年收益：0.01x11+0.01x31;约束条件：6+0.01x11+0.01x31-x12-x22-x320;剩余预算资金: y2=6+0.01x11+0.01x31-x12-x22-x32;第三年投资规划：第三年收益：0.01（x11+x12）+0.01(x31+x32)+0.07x22/8约束条件：7+0.01（x11+x12+ x31+x32）+0.07x22/8-（x13+x23+x33+x43）0;剩余预算资金:y3=7+0.01（x11+x12+ x

9、31+x32）+0.07x22/8-（x13+x23+x33+x43）;第四年投资规划：第四年收益：0.05+0.07/8(x22+x23)+0.01（x31+x32+x33）+1/60(x43);约束条件：7+0.05+0.07/8(x22+x23)+0.01（x31+x32+x33）+1/60(x43)-x24-x34-x440;剩余预算资金：y4=7+0.05+0.07/8(x22+x23)+0.01（x31+x32+x33）+1/60(x43)-x24-x34-x44;第五年投资规划：第五年初收益：0.05+0.02+0.07/8(x22+x23+x24)+0.01（x31+x32+x

10、33+x34）;第五年末的收益：y5=0.07+ (x22+x23+x24+x25)*0.07/8+0.01*(x31+x32+x33+x34+x35)约束条件：7+0.07+0.07/8(x22+x23+x24)+0.01（x31+x32+x33+x34）-x25-x350;剩余预算资金：y5=7+0.07+0.07/8(x22+x23+x24)+0.01（x31+x32+x33+x34）-x25-x35;还有其他的约束条件；x43+x44=1.2;x11+x12+x13=5;x22+x23+x24+x258*0.25;x22+x23+x24+x258;x31+x32+x33+x34+x35

11、15*0.25;x31+x32+x33+x34+x3515;目标函数即为求出五年收益剩余资金最多即Z=y1+y2+y3+y4+y5+y5=3- (x11+x31)+6+0.01x11+0.01x31-x12-x22-x32+7+0.01（x11+x12+ x31+x32）+0.07x22/8-（x13+x23+x33+x43）+7+0.05+0.07/8(x22+x23)+0.01（x31+x32+x33）+1/60(x43)-x24-x34-x44+7+0.07+0.07/8(x22+x23+x24)+0.01（x31+x32+x33+x34）-x25-x35+0.07+ (x22+x23+

12、x24+x25)*0.07/8+0.01*(x31+x32+x33+x34+x35);则可以得出该线性规划的lingo程序；max=0.07+(X22+X23+X24+X25)*0.07/8+(X31+X32+X33+X34+X35)/100 +(X11/100+X31/100+6-X12-X22-X32) +(X12+X11)/100+(X31+X32)/100+X22*7/800+7-X13-X23-X33-X43) +(X31+X32+X33)/100+(X22+X23)*7/800+X43/60+7.05-X24-X34-X44) +(X22+X23+X24)*7/800+(X31+X

13、32+X33+X34)/100+7.07-X25-X35)+3-X11-X31;X11+X31=3;X11+X12+X13=5;X43+X44=1.2;X12+X22+X32-X11/100-X31/100-60=0;X13+X23+X33+X43-(X12+X11)/100-(X31+X32)/100-X22*7/800-7=0;X24+X34+X44-(X31+X32+X33)/100-(X22+X23)*7/800-X43/60-7.05=0;X25+X35-(X22+X23+X24)*7/800-(X31+X32+X33+X34)/100-7.07=2;X31+X32+X33+X34+

14、X35=3.75;X31+X32+X33+X34+X35=15;X22+X23+X24+X25=8;运行该程序可得：Global optimal solution found. Objective value: 18.56000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 5 Model Class: LP Total variables: 14 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 12 Nonlinear constraints: 0 Total

15、 nonzeros: 71 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X22 2.000000 0.000000 X23 0.000000 0.8750000E-02 X24 0.000000 0.1750000E-01 X25 0.000000 0.2625000E-01 X31 0.000000 0.000000 X32 3.750000 0.000000 X33 0.000000 0.1000000E-01 X34 0.000000 0.2000000E-01 X35 0.000000 0.3000000E-01 X11 3.00

16、0000 0.000000 X12 2.000000 0.000000 X13 0.000000 0.1000000E-01 X43 1.200000 0.000000 X44 0.000000 0.1666667E-01 Row Slack or Surplus Dual Price 1 18.56000 1.000000 2 0.000000 0.1000000E-01 3 0.000000 -0.9900000 4 0.000000 -0.9833333 5 52.28000 0.000000 6 5.905000 0.000000 7 7.125000 0.000000 8 7.125

17、000 0.000000 9 0.000000 -0.9650000 10 0.000000 -0.9600000 11 11.25000 0.000000 12 6.000000 0.000000由以上程序可得：X22 2.000000 X23 0.000000 X24 0.000000 X25 0.000000 X31 0.000000 X32 3.750000 X33 0.000000 X34 0.000000 X35 0.000000 X11 3.000000 X12 2.000000 X13 0.000000 X43 1.200000 X44 0.000000最大的利润为Zmax=1

18、8.56（千万元）。由此可以得出最优的时间进度表：3.投资问题解：由此可以得出:第一年年初的时候可以选择A、B两种方案，设对A、B的投资额分别为x1A,x1B;第二年年初的时候获得总收益：1.2x1A,之后可以选择A、C两种方案，投资额分别为x2A,x2C;第三年年初时的总收益为：1.2x2A+1.5x1B,之后可以选择A、D两种方案，投资额分别为x3A,x3D;第三年末时的总收益收益为：1.2x3A+1.4x3D+1.6x2C;由于A方案可以无限投资，故每一年初所有的资金都应该作为投资，没有剩余资金。则目标函数为：Z=1.2x3A+1.4x3D+1.6x2C；约束条件为： x1A+x1B=3

19、0; x3A+x3D=1.2x2A+1.5x1B;x1B20; x3D10; x2A+x2C=1.2x1A； x2C15; 可以得出该线性规划的lingo程序；max=1.2*X3A+1.4*X3D+1.6*X2C;X1A+X1B=30;X1B=20;X2A+X2C=1.2*X1A;X2C=15;X3A+X3D=1.2*X2A+1.5*X1B;X3D=10;运行程序后可得：Global optimal solution found. Objective value: 57.50000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3 Mo

20、del Class: LP Total variables: 6 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 7 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 15 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X3A 16.25000 0.000000 X3D 10.00000 0.000000 X2C 15.00000 0.000000 X1A 12.50000 0.000000 X1B 17.50000 0.00000

21、0 X2A 0.000000 0.6000000E-01则可以得出以下的投资表依次方案可以得出最高的本利总收益57.5万元。4.生产计划与库存问题解：令x16、x17、x18为工序1在6、7、8月生产的产品件数，x26、x27、x28为工序2在6、7、8月生产的产品件数；则可得如下约束条件：6月份时：0.6x16800 ； 0.8 x261000 ；x26x16；x265007月份时：0.6x17700 ； 0.8 x27850 ； x27x17+ x16- x26 ； x27 +x26-500450；8月份时：0.6x18550 ；0.8 x28700 ；x28x18+ x17- x27+

22、x16- x26； x28+x27 +x26-500-450600；在6、7、8月份时的总成本Z=生产成本Z1+储存成本Z2：可得 Z1=50 x16+75 x26+60x17+90 x27+55 x18+80 x28; Z2= （x16- x26）+2*（ x26-500）+（x17+ x16- x26- x27）+2* （x27 +x26-500-450）； Z（min）= Z1+ Z2=50 x16+75 x26+60x17+90 x27+55 x18+80 x28+（x16- x26）+2*（ x26-500）+（x17+ x16- x26- x27）+2* （x27 +x26-500

23、-450）=52 x16+77 x26+61x17+91 x27+55 x18+80 x28-2900; 则可以如下的lingo程序：min=52*X16+77*X26+61*X17+91*X27+55*X18+80*X28-2900;0.6*X16=800;0.8*X26=1000;X26=X16;500=X26;0.6*X17=700;0.8*X27=850;X27=950;0.6*X18=550;0.8*X28=700;X28=1550;运行程序可得： Global optimal solution found. Objective value: 198600.0 Infeasibili

24、ties: 0.000000 Total solver iterations: 4 Model Class: LP Total variables: 6 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 13 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 30 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X16 1333.333 0.000000 X26 1250.000 0.000000 X17 0.000000 6.0000

25、00 X27 0.000000 11.00000 X18 216.6667 0.000000 X28 300.0000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 198600.0 -1.000000 2 0.000000 5.000000 3 0.000000 3.750000 4 83.33333 0.000000 5 750.0000 0.000000 6 700.0000 0.000000 7 850.0000 0.000000 8 83.33333 0.000000 9 300.0000 0.000000 10 420.0000 0.0000

26、00 11 460.0000 0.000000 12 0.000000 55.0000013 0.000000 -135.0000可以得出如下的生产安排：总成本Zmin=198600.0;5.志愿者排班问题解：（1）令志愿者在各时间段的志愿者人数为：时间段： 志愿者人数 08：0011:00 X109：0012:00 X 210：0013:00 X 311：0014:00 X 412：0015:00 X 513：0016:00 X 614：0017:00 X 715：0018:00 X 816：0019:00 X 917：0020:00 X 1018：0021:00 X 1119：0022:0

27、0 X 1220：0022:00 X 1321：0022:00 X 14总人数：X =X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14约束条件：X1=4;X1+X2=4;X1+X2+X3=6;X2+X3+X4=6;X3+X4+X5=8;X4+X5+X6=8;X5+X6+X7=6;X6+X7+X8=6;X7+X8+X9=4;X8+X9+X10=4;X9+X10+X11=6;X10+X11+X12=6;X11+X12+X13=8;X12+X13+X14=8;根据线性规划可得lingo程序：min=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X1

28、0+X11+X12+X13+X14;X1=4;X1+X2=4;X1+X2+X3=6;X2+X3+X4=6;X3+X4+X5=8;X4+X5+X6=8;X5+X6+X7=6;X6+X7+X8=6;X7+X8+X9=4;X8+X9+X10=4;X9+X10+X11=6;X10+X11+X12=6;X11+X12+X13=8;X12+X13+X14=8;运行程序后： Global optimal solution found. Objective value: 32.00000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 9 Model Cl

29、ass: LP Total variables: 14 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 15 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 53 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 4.000000 0.000000 X2 0.000000 1.000000 X3 6.000000 0.000000 X4 2.000000 0.000000 X5 0.000000 0.000000 X6 6.000000 0.000000 X7 0.000000 0.000000 X8 0.000000 0.000000 X9 4.000000 0.000000 X10 0.000000 0.000000 X11 2.000000 0.000000 X12 6.000000 0.000000 X13 0.000000 0.000000 X14 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 32.00000 -1.000000 2 0.000000 -1.000000 3 0.000000 0.000000 4 4.000000