大一高数复习资料

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1、高等数学第一章函数与极限第一节函数函数基础（高中函数部分相关知识）（）邻域（去心邻域）（）第二节数列的极限数列极限的证明（）题型已知数列CxnI证明lim以4a证明；_ N语言1由Xna乞化简得n g（E,N-”g；2.即对-；0,N=g；，当n N时，始终有不等式xn-a|cE成立，lim:xnf二aX.第三节函数的极限X Xo时函数极限的证明（）题型已知函数f X，证明lim f xi；=AXo证明F.必语言1由f（x）A E化简得0 c|xXo|cg（E）,-二g；2.即对 p 名o,=g（名），当oc|xx0|6时，始终有不等式f（X）-A 成立，Tim f x二AX WX：:时函数极

2、限的证明（）题型已知函数Xjzc证明；-X语言1由f（x）A名化简得XAg（g）,X=g；2即对-；0,X=g；，当x X时，始终有不等式f（x）Ac名成立，lim f x=AX J：:第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）函数f x无穷小二lim f x=0函数f x无穷大：=lim f x无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设f x为有界函数，g x为无穷小，则lim|f x g x=0邻域U怡厂内是有界的;f xwM,q x商式的极限运算.i m Ja1xn-1p(xj=axm(q(x)=b0 xn+bx-（不定型）时，通常分1求解示例解：x-3式=lim 2-xx-9=

3、lim心lim1xT3x3X-3xT3x 3 x-3x-3其中x=3为函数f x二2严的可去间断点x一9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：0,”x30（x3）11解：lim2limlimTx2_9LXT（X2 _9j x2x 6连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（）（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f x为 无穷大，则f-1X为无穷小；反之，若f X为无 穷小，且f x-0，则f X为无穷大1题型计算：lim|f x g xj|（或x.：）1.Tf（x）wM函数f（x）在x=x的任一去心函数f x在D上有界；）2.lim g x=0即函数g x是x；x0时的无穷小；xJx0（

4、lim g x=0即函数g x是x；:时的无穷小；）X_.3.由定理可知lim|f x g x=0（lim|f x g x=0）第五节极限运算法则极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则 关于多项式p x、n：m则有lim（特别地，当lim丄上T0g（x）0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极 限值，也可以用罗比达法则求解）X31题型求值limT X-9因为Xr 3，从而可得x=3，所以原6（定理五）若函数f x是定义域上的连续函数，那么，P毁fx=f叮xx-3求值:叫x2_9煥J汨T也芳1极限存在准则及两个重要极限择数a，使得f x成为在R上的连续函数?1求解示例X

5、f 0-=e20-=d=ef O f 10二a尺代、.一H-弟八节夹迫准则（P53）（）第一个重要极限：limSinx=1xT x-c-丄sin x*Px匸0,I,sin xx tanxlim-=1l 2丿7 x(特别地，lim空H=1)xc单调有界收敛准则(P57)()x1 exf x%=lim f x：|其中JIX X0第二个重要极限:（一般地，limlim f x 0)求值:f2x+3严limxYl2x+1丿1求解示例第七节等价无穷小（）UsinUtanUarcsinUarctanUln（1 U）1.Ue-1122.U1-cosU2（乘除可替，加减不行）1题型求值：limln1 x xl

6、n1XxT无穷小量的阶（无穷小的比较）x23x1求解示例第八节 函数的连续性 函数连续的定义（）间断点的分类（P67）（）跳越间断点（不等）可去间断点（相等）第一类间断点（左右极 限存在）丿第二类间断点无穷间断点（极限为珀）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）1题型设函数f（x）=2x.0e,x应该怎样选、a+xxK 02.由连续函数定义lim f x=lim f x=f 0=e a=e第九节闭区间上连续函数的性质零点定理（）1题型证明：方程f x二g Xi、C至少有一个根 介于a与b之间1证明（建立辅助函数）函数x二f x?g在闭区间l.a,b 1上连续；a b:0（端点异号）由零

7、点定理，在开区间a,b内至少有一点,使 得=0,即fC=0（0:：:1）这等式说明方程f x=g x C在开区间a,b内至少有一个根 第二章导数与微分第一节导数概念高等数学中导数的定义及几何意义（xe 1P83)()1题型已知函数f（x）“处可导，求a，b求解示例1.J口0)=e。f(0)=a=12由函数可导定义ax+b-x在x=0 x 0土f 0-e 一 1二e，f 0=bf 0二e1=2f_0二f0二a曰1._-4-j f 0_=f 0=f 0=b=201=2-a=1,b=2 1题型求y=（或：过y=f x图像上点a,f a处的切线与法线 方程）1求解示例1.y=f x,yI/f a2.切

8、线方程：yf a=厂a xa法线方程：y f a-x af（a/f x在x=a处的切线与法线方程第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则 函数和（差）、积与商的求导法则（1.线性组合（定理一）:（_：山二I-V）特别地，当1时，有2函数积的求导法则（定理二）u u v-uv lv丿第三节反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则（）1题型求函数f1x的导数1求解示例由题可得f x为直接函数，其在定于域 上单调、可导，且f x=0；fJx=7复合函数的求导法则（）1题型设y=|n e时inC厂孑，求y1求解示例第四节高阶导数dx1题型求函数y=1 n 1 x的n阶导数1求解示例y =1 x，1+

9、xyx 二-11x 2,第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导（等式两边对X求导）（1题型试求：方程y=x ey所给定的曲线y二y x在点1-e,1的切线方程与法线方程d求解示例由、二x e两边对x求导即讨二x ey化简得y=1 eyy.1-y11-e法线方程：参数方程型函数的求导），求业$=%jdx22I求解示例1岂=2.雪乩dx A（t）dx4（t）第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则（）第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理引理（费马引理）（）罗尔定理（）题型现假设函数f x在0,二1上连续，在0,二上可导，试证明：0,

10、二,使得f -jco-isinF；=0成立证明1.（建立辅助函数）令x=f x sin x显然函数x在闭区间0,二上连续，在开区间0,二上可导；2又0=f 0 sin0=0即：0-：-03.由罗尔定理知二匚三i 0,二,使得f -cos f 匚sin：=0成立拉格朗日中值定理（）题型证明不等式：当x 1时，exe x证明1.（建立辅助函数）令函数f x二ex，则对一x 1,显然函数f x在闭区间l1,xl上连续，在开区间1,x上可导，并且f xex；2由拉格朗日中值定理可得，-1,x使得等式x 1-e-e1=x-1 e成立，1x11又e ee-e x-1 e二e x-e,化简得exe x，即证

11、得：当x 1时，exe x题型证明不等式：当x 0时，In 1 x：x证明1.（建立辅助函数）令函数f x=ln 1 x，则对_x 0，函数f x在闭区间（0,x 1上连续，在开区1间0,二上可导，并且f x;1+x2由拉格朗日中值定理可得，二；:二0,xl使得等式1、ln 1 x 1J ln 1 0 x-0成立，)=：U(u _v)=u _v:(uv)=uv uv3函数商的求导法则（定理三）fn _fnJx(或咯噢)()1e1 y-1x-1e1-ey _1=-1-x_1e切线方程:1题型设参数方程丿1化简得ln 1 xx，又0,x 1,二f1,In 1 x：1 x=x,v f1+tf即证得：

12、当x 1时，exe x第二节罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1.等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件0:0,)且满足条件,0:则进行运算：lim丄上 二lim-一yg（x）ygx）（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B.不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0:型（转乘为除，构造分式）1题型求值：limInx1求解示例（一般地，limI n=0，其中:J R）3 型（通分构造分式，观察分母）z、ta nx题型求值：lim-7（X丿求解示例运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换

13、）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性连续函数单调性（单调区间）（）题型试确定函数f x=2x3-9x2 12x-3的单调区间求解示例1.V函数f X在其定义域R上连续，且可导 fx=6x2-18x 122令f x=&-1x-2=0，解得：人=1公2=23.(三行表)极大值极小值A.属于两大基1题型求值：lim xT&in x00 x sin xlimlimLx_Q2 x_Q(x)01-cosx0lim2xL x 01 cosxsi nx-二lim(2x jxm 2=000型（对数求

14、极限法）1题型求值:1求解示例解：设y二xx,两边取对数得：In y=1 nxln x=xln x-一x竺rlnInx1 x对对数取Xr0时的极限:lim ln y=lim lim心0耳J F心01L心01=lim x-x0丄2_x1:型-Tim x=0,从而有lim y=lim elnyx0 x0 x 0（对数求极限法）1求值：lim cosx sin xxxT1求解示例：:0型（对数求极限法）lim ln y=exT=e=1单调递减区间为1,21题型证明：当x 0时，exx 1证明1.（构建辅助函数）设 x二ex-x-1,（x 0）1.（构建辅助函数）设 x In 1 x-x,（x 0）3

15、.既证：当x 0时，In 1 x x连续函数凹凸性（）1题型试讨论函数y=1,3x2-x3的单调性、极值、凹凸性及拐点1证明广*Oy=-3x 6x=-3x x-2y _ _6x 6 _-6 x_14.函数f x的单调递增区间为-：，1，2：；2单调递增区间为（-：,0）,（2,：）;23函数y=1，3x-x的极小值在x=0时取到，为f 0=1,极大值在x=2时取到，为f 2=5;函数y=1 3x2-x3在区间（-：,0）,（0,1）上凹，在区间（1,2）,（2：）上凸；23函数y=1，3x-x的拐点坐标为1,3第五节函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系（）设函数f x的定义域为D，如

16、果xM的某个邻域U XMD，使得对U XM，都适合不等式f X=fXM,我们则称函数f（X）在点 丸，f（xM）1处有极大值fXM；令XM、XM1,2,XM 3,.,XMn匚贝网数f X在闭区间l.a,b 1上的最大值M满足:M=maxf a,XMXM2,XM3,，,f b?；设函数f x的定义域为D,如果xm的某个邻域U XmD，使得对X U Xm，都适合不等式f X f Xm,我们则称函数f（x）在点xm,f（xm）1处有极小值f Xm；令Xm绻1,绻2山皿3,，Xmn*则函数f x在闭区间a,b 1上的最小值m满足：m=minf a Xm1,Xm2,Xm3，Xmn,f（b卩；求函数f x

17、i=3x-x3在-1,3 1上的最值iy-3xix-2=0|2令解得：y=-6(x-1)=0(Xi=0,X?=2x Jf x=-3x 32.令f x-一3 x 1 x 1=0,极小值极大值4.又f-1=-2,f 1；u2,f 3=-181题型1求解示例1.V函f x dx称求解示例解:亡血3.(四行表)解得：X 0）:221 1.a x:令x=atant（t），2 2x于是t=arctan，则原式可化为asect；a对于根号下平方差的形式（a 0）:22a.,a-x:令x二a si nt（t）,2 2x于是t resin，则原式可化为a cost；ab.x2-a2:令x=asect（0 t）,

18、2a于是t二arccos，则原式可化为ata nt；x1题型求 _dx（一次根式）L（2x+1求解示例解:dxJ f-tdt=dt=t+C=J2x+1+C.血丙x八Ltdx 4dt题型求、a2-x2dx（三角换元）求解示例第三节分部积分法分部积分法（）设函数u二f x,v二g x具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv=uv-vdu分部积分法函数排序次序：“反、对、幕、三、指”运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：（v dx=dv）使用分部积分公式：.udv=uv-.vdu展开尾项.vdu=.v u dx，判断a.若v udx是容易求

19、解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b.若v udx依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现 容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C1题型求exx2dx1求解示例1题型求exsinxdx1求解示例X1xexsinxdx exsinx-cosxi亠C第四节 有理函数的不定积分有理函数（mm_J设：P（x）_ p（x）=ax+x+汁am Q x q x=b0 xbibn对于有理函数旦，当P x的次数小于Q x的Q（x）次数时，有理函数-P-x是真分式；当P x的次数

20、Q（x）大于Q x的次数时，有理函数 旦 是假分式Q（x）有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）将有理函数的分母Q x分拆成两个没有Q（x）*公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示k为一次因式xa；而另一个多项式可以表示为I I2I2二次质因式x px q,（p4q：0）；即：Q x xQ2xnmbc则参数p二一，q=aa则设有理函数-P-x的分拆和式为：Q（x）其中工M1工M2IMI参数A,Ae,.,AkJJ由待定系IM IN2 IM1dx般地：mx n=mi x卫，则参数、m丿数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解21题型求dx（构造法）x+1第五节积分表的使用（不作要求）

21、第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质定积分的定义（）（f x称为被积函数，f x dx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，la,b 1称为积分区间）定积分的性质（）bbaf X dx=af u duaa f X dX=0b _ba|kfxdx二kaf x dx（线性性质）（5）（积分区间的可加性）若函数f x在积分区间la,b 1上满足f xj0,b则f x dx 0;a（推论一）若函数f x、函数g x在积分区间l.a,b 1上满bb足f（x戶g（x），则af（x dx兰Jag（x dx;bb（推论二）f f（x dx兰f f（x）dxa*aa.:/，使

22、得门卅i:a,即广,：-b；b.在区间1.：I或丨，（上,f，“t连续bP-贝V：af xdxft t dt4x+2题型求x 2dx7 j2x+1求解示例（分部积分法）偶倍奇零（）设f x C-a,a,则有以下结论成立：aa若f-x=f x，则f X dx=2 f x dx.a 0a若f _xi严f x，则f xdx=0 _a第四节定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节反常积分（不作要求）1如：不定积分公式2dx=arctan x-C的证明。很M+x2多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样一种证明方法以说明问题：11X如此，不定积分公式

23、2-dx二一arcta n-C也就很、a+xaa容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式 牛顿-莱布尼兹公式（）（定理三）若果函数F x是连续函数f x在区间a,b上的一个原函数，则变限积分的导数公式（）（上上导一下下导）1上2f e dt1题型求limcosx2Tx21求解示例第三节定积分的换元法及分部积分法 定积分的换元法（）（第一换元法）211题型求dx02x+11求解示例ln5-ln 1匚哑2 2（第二换元法）设函数f X C a,b,函数x二:t满足:J24d 2解：-dx=丄02x 1202x 1I I r厶d(2x+1)=7n 2X+1。