[数学]四边形教师

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1、四边形四边形：基本知识：一、四边形的概念：定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。二、凸四边形定义：边都把四边形的任一边向两方延长，如果其他个在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。典型例题：例1、（2009绥化）用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是 _14或16或18答案：直角边分别为3和4其斜边是5（1）当拼成的是直角边3重合的平行四边形时，其周长是（4+5）2=18；（2）当拼成的是直角边4重合的平行四边形时，其周长是（3+5）2=16；（3）当拼成的是斜边重合的四边形时，其周长是（3+4）2=14所得的四边

2、形的周长是14或16或18例2、顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（）A 任意的四边形B 两条对角线等长的四边形C 矩形D 平行四边形答案：如图，E、F、G、H分别为四边形各边的中点，EHBD，FGBD，EFAC，GHAC，EHFG，EFHG，四边形EFGH为平行四边形，要使四边形EFGH为菱形，可使ACBD，AC=BD，故选B例3、在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A120 B135 C150 D165答案：设CDA=x，ABC=y，DA=DB=DC=BC，BDC=DBC=DCB=60，DBA=DAB，DAC=DCA，

3、DBA+BAD+BDA=180，60-x+2（60+y）=180，即x=2y，BAC=360-DBA-DCA-BDC，=360-（60+y）-60，=150变式题：1、如图，ABCD是凸四边形，则x的取值范围是（）A2x7 B2x13 C0x13 D1x13答案：在三角形BCD中得3BD11BD-ABADBD+AB1AD13即：1X13故选D2、（2009大兴安岭）用两个全等的直角三角形拼成凸四边形，拼法共有（）A3种 B4种 C5种 D6种答案：可拼成如上图所示的四种凸四边形故选B3、平面上一点P到一个凸四边形的四个顶点的距离都相等，则P点与此四边形的位置关系是（）A在四边形的内部 B在四边

4、形的外部C在四边形的边上 D以上三种情况都有可能答案：设四边形的四个顶点分别是A，B、C、D则P是ABC的外心，P可能在ABC的内部、也可能在外部或在三角形的边上，当P在ABC的内部时，P一定在四边形ABCD的内部；当ABC是直角三角形时，P是斜边设是AC的中点，当D与B在斜边的同侧时，P在四边形的边上，当D与B在斜边的两侧时，P在四边形的内部；当ABC是钝角三角形时，P在三角形的外部，第四个定点可能与A、B、C在同侧，则此时P在四边形ABCD的外部故P在四边形的内部、边上、外部三种情况都有可能故选D 三，四边形对角线：定义：在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。四边形对角线

5、考点常为特殊四边形的对角线。如，平行四边形，矩形，菱形，正方形等。典型例题：例1、对角线_互相垂直平分的四边形是菱形答案：因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故填：互相垂直平分例2、对角线_的互相平四边形是矩形答案：由对角线互相平分且相等的四边形为矩形可知，故填：互相平分且相等例3、对角线_相等且互相垂直平分的四边形是正方形答案：如果该四边形为平行四边形，那么其对角线互相平分；如果该四边形为菱形，那么其对角线互相垂直且四边相等；如果该四边形为矩形，那么其对角线互相相等；所以对角线相等且互相垂直平分的四边形，一定是一个四边相等的矩形，也就是正方形故答案为相等且互相垂直平分变式题：1、（2008

6、莆田）对角线互相垂直平分的四边形是_ 菱答案：菱形的判定方法有三种：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等；对角线互相垂直平分的四边形是菱形故答案为菱形2、若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为对角线四边形下列图形不是对角线四边形的是（）A平行四边形 B矩形 C正方形 D等腰梯形答案：显然所列四边形中，只有平行四边形不具有对角线相等的性质矩形、正方形、等腰梯形都具有对角线相等的性质，故它们都可以称之为是对角线四边形故选A3、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE=CF且四边形DEBF是平行四边形求证：四边形ABCD是平行四边形证明：四边形DEBF是平行四边形

7、OE=OF，BO=DOAE=CF，OE+AE=OF+CFAO=CO四边形ABCD是平行四边形四，四边形的不稳定性三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。典型例题：例1、如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长为10cm的可活动菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB=BC=10cm，则1= 120_度答案：菱形的边长=10cm，AB=BC=10cm，AB和菱形的两边构成等边三角形，A=60，1=120故答案为120例2、（2010曲靖）如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用

8、四边形的不稳定性，调整菱形的内角，使衣帽架拉伸或收缩当菱形的边长为18cm，=120时，A、B两点的距离为 54_cm答案：=120，菱形的锐角为60，AB=318=54cm故答案为，54例3、（2010牡丹江）如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状得到A1BCD1，若A1BCD1的面积是矩形ABCD面积一半，则A1BC=（）A15 B30 C45 D60 答案：A1BCD1的面积是矩形ABCD面积一半，A1BCD1中A1D1与BC之间的高为A1B的一半，即A1E=AB=A1B，A1BC=30故选B变式题：1、如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架已知其中每个菱形的边长为20

9、cm，若过A点的对角线长为20cm，则每个菱形的面积为（）A100cm2B cm2 C200cm2 D200 cm2 答案：连接AD和EF交于点O，如下图所示：AD=20cm，AO=10cm，AE=20cm，在RtAEO中，EO=cm，EF=20cm，每个菱形的面积=EFAD=2020=200 cm2故选D2、（2005扬州）如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20cm，则1等于（）A90 B60 C45 D30答案：铁钉A、B之间的距离就是一个菱形的对角线的长，即21cm又因为菱形的边长为20cm，根据菱形

10、的性质以及勾股定理，利用三角函数求出1=60故本题选B3、（2011朝阳）如图（3）是利用四边形的不稳定性制造的一个移动升降装修平台，其基本图形是菱形，主体部分相当于由6个菱形相互连接而成，通过改变菱形的角度，从而可改变装修平台高度（1）如图（1）是一个基本图形，已知AB=1米，当ABC为30时，求AC的长及此时整个装修平台的高度（装修平台的基脚高度忽略不计）；（2）当ABC从30变为90（如图（2）是一个基本图形变化后的图形）时，求整个装修平台升高了多少米结果精确到0.1米，参考数据：sin150.26，cos150.97，tan150.27， 1.41 答案：（1）连接图（1）中菱形ABC

11、D的对角线AC、BD，交于点O，在ABO中，AOB=90，ABO=ABC=15，OA=ABsinABO=1sin150.26，此时AC=2AO20.26=0.52，故可得整个装修平台的高度=0.526=3.12；（2）当ABC从30变为90时，AC=1.41，此时的整个装修平台的高度=1.416=8.46，整个装修平台升高了多少米8.46-3.12=5.3米五，四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360典型例题：例1、（201

12、2肇庆）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A四边形 B五边形 C六边形 D八边形答案：设此多边形是n边形，多边形的外角和为360，180（n-2）=360，解得：n=4这个多边形是四边形故选A例2、（2012营口）若一个多边形的每个外角都等于60，则它的内角和等于（）A180 B720 C1080 D540答案：设多边形的边数为n，多边形的每个外角都等于60，n=36060=6，这个多边形的内角和=（6-2）180=720故选B例3、（2012深圳）如图所示，一个60角的三角形纸片，剪去这个60角后，得到一个四边形，则1+2的度数为（）A120 B180 C240 D300答案

13、：根据三角形的内角和定理得：四边形除去1，2后的两角的度数为180-60=120，则根据四边形的内角和定理得：1+2=360-120=240故选C变式题：1、（2012南京）如图，1、2、3、4是五边形ABCDE的4个外角若A=120，则1+2+3+4= -300答案：由题意得，5=180-EAB=60，又多边形的外角和为360，1+2+3+4=360-5=300故答案为：3002、（2012怀化）一个多边形的每一个外角都等于30，则这个多边形的边数是 -12答案：36030=12，这个多边形为十二边形，故答案为：123、如图，五边形ABCDE的内角都相等，且1=2，3=4，求x的值答案：因为

14、五边形的内角和是540，则每个内角为5405=108，E=C=108，又1=2，3=4，由三角形内角和定理可知，1=2=3=4=（180-108）2=36，x=EDC-1-3=108-36-36=36六，多边形对角线条数计算公式：设一多边形含有n条边，则其对角线条数为典型例题：例1、（安徽）一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形的边数是（）A7 B6 C5 D4答案：设多边形有n条边，则=n，n（n-3）-2n=0n（n-5）=0解得n1=5，n2=0（舍去），故多边形的边数为5故选C例2、（2012茂名）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分

15、割成6个三角形，则n的值是（）A6 B7 C8 D9答案：设多边形有n条边，则n-2=6，解得n=8故选C例3、一个凸n边形的边数与对角线条数的和小于20，且能被5整除，则n为（）A4 B5 C6 D5或6答案：设多边形有n条边，则n+20，即n（n-1）40，又能被5整除，所以n=5或6故选D变式题：1，一个多边形只有27条对角线，则这个多边形的边数为（）A8 B9 C10 D11答案：设多边形有n条边，则=27，解得n=9或n=-6（负值舍去）故选B2、从五边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把五边形分割成几个三角形（）A2个 B3个 C4个 D5个分析：从n边形的一个顶点

16、有（n-3）条对角线，分成了（n-2）个三角形答案：当n=5时，则有5-2=3个故选B3、一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（）A5 B6 C7 D8答案：设多边形有n条边，则=14，n=7或n=-4（负值舍去）故选C平行四边形基本知识：1、定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、性质平行四边形的两组对边且相等平行四边形的对角相等，邻角互补平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线把平行四边形面积分成四等分过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形典型例题：例1、（2012

17、山东泰安，7，3分）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CEAB，垂足为E，若EAD=53，则BCE的度数为（ ）A.53 B.37 C.47 D.127ABCDE答案：根据平行四边形的性质得AD/BC，由两直线平行同位角相等得B=EAD=53，根据直角三角形的两锐角互余得BCE=90-B=37.选B.例2、(2009湖南怀化)如图6，在平行四边形ABCD中，DB=DC、，CEBD于E，则 答案：总结：主要考查了平行四边形的性质变式题：1、（2012湖南湘潭，13，3分）如图，在中，点在上，若=，则= .答案：在中，ABCD，ABFCEF， EFBF=，BF=EF=6。2、（2012四川

18、成都，12，4分）如图，将ABCD的一边BC延长至E，若A=110，则1=_答案：根据平行四边形的性质“平行四边形的对角相等”，可知A=BCD=110，因为BCD与1是邻补角，所以1=180-110=70。3、面积 平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积典型例题：例1、（2009桂林中考）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，BC6, BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为（ ）A、3 B、6 C、12 D、24 答案：选C.由平行四边形的性质得例2、平行四边形的周长为20cm ，AEBC于E，AFCD于F，AE=2 cm，AF=3 cm，求平行四边形ABCD的面积。答案：1

19、2 例3PABCDEFQ第3题、（2011萧山区中考模拟）【改编】如图，、分别是平行四边形的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若APD ，BQC ，则阴影部分的面积为 _。 答案：40变式题：第1题图 1.(2010-2011学年两校联考综合测试)选择题如图，ABCD中，E为AD的中点.已知DEF的面积为1，则ABCD的面积为（ ）A18. B15 C12 D9答案：C2、(2011海淀一模) 如图，平行四边形ABCD中，AB=10，BC=6，E、F分别是AD、DC的中点，若EF=7，则四边形EACF的周长是A20 B22 C29 D31答案：D3、（2012黑龙江省绥化市，20，3分）如图

20、，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则=（ ） A2：5：25 B4：9：25 C2：3：5 D4：10：25答案：根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案由题意得DFEBFA，DE：AB=2：5，DF：FB=2：5，SDEF：SEBF：SABF=4：10：25故选A4、判定定理定义判定法：两组对边分别平行是的四边形是平行四边形。定理判定法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。两组对角分别相等的四边形是平行四边形。对角线互相平分的四边形是平行四边形。一组对边平行且相

21、等的四边形是平行四边形。典型例题：例1、（2006镇江）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，ABCD，AO=CO求证：四边形ABCD是平行四边形证明：ABCD，ABO=CDOAO=CO，AOB=COD，ABOCDOAB=CD，又ABCD 四边形ABCD是平行四边形例2、如图，F、C是线段AD上的两点，ABDE，BCEF，AF=DC，连接AE、BD，求证：四边形ABDE是平行四边形证明：AF=DC，AF+FC=DC+FCAC=DFABDE， BAC=EDFBCEF，ACB=EFDABCDEFAB=DE而ABDE四边形ABDE是平行四边形例3、（2008年山西）如图，已知ABC是

22、等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明。（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。解：（1）BDEFEC 证明：ABC是等边三角形 BC=AC，ACB=60CD=CE BD=AE CDE是等边三角形DE=EC，CDE=DEC=60BDE=FEC=120AE=BD，DE=EC，BDEFEC （2）四边形ABDF是平行四边形 理由：由（1）可知ABC 、DEC 、AEF都是等边三角形CDE=ABC=E

23、FA=60ABDF、 BDAF四边形ABDF是平行四边形 （3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形EFAB，EFAB 四边形ABEF是梯形过E作EGAB于G，则变式题：1、已知：如图，在ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点求证：四边形DFGE是平行四边形证明：在ABC中，AD=BD，AE=CE，DEBC且DE=BC在OFG中，OF=FB，OG=GC， FGBC且FG=BCDEFG，DE=FG 四边形DFGE为平行四边形2、（2010贵阳）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DFBE求证：（1）AFDCEB；（2）四边形ABCD是

24、平行四边形证明：（1）DFBE，DFE=BEFAFD+DFE=180，CEB+BEF=180，AFD=CEB又AF=CE，DF=BE，AFDCEB（SAS）（2）由（1）知AFDCEB，DAC=BCA，AD=BC，ADBC四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）3、（2005乌鲁木齐）如图所示，在ABC中，ACB=90，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且CDF=A求证：四边形DECF为平行四边形证明：D，E分别为AC，AB的中点，DE为ACB的中位线DEBCCE为RtACB的斜边上的中线，CE=AB=AEA=ACE又CDF=A，CDF=ACED

25、FCE四边形DECF为平行四边形点评：本题利用了：三角形中位线的性质直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半等边对等角平行四边形的性质和判定内错角相等，两直线平行4、已知，如图，AB、CD相交于点O，ACDB，AO=BO，E、F分别是OC、OD中点求证：四边形AFBE是平行四边形证明：ACBD，C=D，CAO=DBO，AO=BOAOCBODCO=DOE、F分别是OC、OD的中点，OF=OD=OC=OE由AO=BO、EO=FO得四边形AFBE是平行四边形 矩形 基本知识：1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、性质：具有平行四边形的一切性质矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等矩形是轴对称

26、图形3、判定：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形定理1：有三个角是直角的四边形是矩形定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、面积：典型例题：ACBDPQ例1：如图，四边形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内求证：（1）PBA=PCQ=30；（2）PA=PQ证明：(1)四边形ABCD是矩形，ABC=BCD=90PBC和QCD是等边三角形，PBC=PCB=QCD=60，PBA=ABCPBC=30，PCD= BCDPCB=30PCQ=QCDPCD=30PBA=PCQ=30 (2)AB=DC=QC，PBA=PCQ，PB=PC，PABPQC，PA=PQ例2：（

27、2012湖北襄阳，9，3分）如图4，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DEAG于点E，BFDE，交AG于点F下列结论不一定成立的是（ ）AAEDBFABDEBFEFCBGFDAEDDEBGFG图4ACBDEFG答案：由ABCD是正方形，得ADBA，BADABG90，DAEBAF90又DEAG，BFDE，BFAG，BAFABF90DAEABF而AEDBFA90，AEDBFADEAF，AEBFDEBFAFAEEF由ADBC得DAEBGF及AEDGFB90，可知BGFDAE可见A，B，C三选项均正确，只有D选项不能确定例3、（2012年吉林省，第22题、7分）如图，在ABC中，AB

28、=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC（1）求证：ADCECD；（2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形答案：(1)ABC是等腰三角形B=ACB. AB=AC又四边形ABDE是平行四边形B=EDC AB=DEACB=EDC, AC=DE.DC=DCADCECD；（2）AB=AC,BD=CD.ADBC.ADC=90四边形ABDE是平行四边形平行且等于BD即AE平行且等于DC.四边形ADCE是平行四边形四边形ADCE是矩形 【点评】 本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的平行四边形是

29、矩形”，而不是“有一个角是直角的四边形是矩形”变式题：1、（2012山东泰安，9，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）A. 3 B.3.5 C.2.5 D.2.8 ABCDEO答案：设CE的长为x,因为EO垂直平分AC，所以AE=CE=x,所以ED=4-x, 在RtCED中，由勾股定理得CD2+ED2=CE2，22+（4-x）2=x2,解得x=2.5. C.【点评】本题在矩形中综合考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，用方程的思想解几何问题是一种行之有效的思想方法。2、（2012安徽，14，5分）

30、如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3 若S3=2 S1，则S4=2 S2 若S1= S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_（把所有正确结论的序号都填在横线上）.答案：过点P分别向AD、BC作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半，同理，过点P分别向AB、CD作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半. =,又因为，则=,所以一定成立答案：点评：本题利用三角形的面积计算，能够得出成立，要判断成立，在

31、这里充分利用所给条件，对等式进行变形.不要因为选出，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然感觉不一定对的，可以举反例即可.对于 这一选项容易漏选.3、(2012贵州六盘水，22，12分)如图11，已知E是中BC边的中点，连接AE并延长AE交DG的延长线于点F.（1）求证：ABEFCE.（2）连接AC、BF，若AEC=2ABC，求证：四边形ABFC为矩形.证明：（1）四边形ABCD为平行四边形，ABDC，ABE=ECF，又E为BC的中点，BE=CE，在ABE和FCE中，ABEFCE（ASA）；（2）ABEFCE，AB=CF，又ABCF，四边形ABFC为平行四边形，BE=EC，AE=EF，又A

32、EC=2ABC，且AEC为ABE的外角，AEC=ABC+EAB，ABC=EAB，AE=BE，AE+EF=BE+EC，即AF=BC，则四边形ABFC为矩形点评：此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键菱形 基本知识：1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、性质：具有平行四边形的一切性质菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形是轴对称图形3、判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形定理1：四边都相等的四边形是菱形定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、

33、面积：=底边长高=两条对角线乘积的一半典型例题：例1： 如图，在菱形ABCD中，A=110，E，F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC=( )A.35 B.45 C.50 D.55答案：解答本题应首先延长PF交AB的延长线于点G，根据题意，利用角角边可证明，于是得到，PF=FG，所以在中，EF是斜边上的中线，于是得到FE=FG，所以，又因为E、F分别为中点，所以EB=FB，所以，FE=FG=BF，所以，又因为A=110，所以,因此，,解得.例2：（2012湖南省张家界市7题3分）顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形答案：C例3：

34、（2012云南省，22 ，7分）(本小题 7分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点,与相较于点，与相较于，连接。 (1)求证：四边形是菱形； (2) 若求MD的长。答案：（1）证明：四边形是矩形 是的垂直平分线 在和中是的垂直平分线四边形是菱形（2）解：设 则，在中 则有 解得： 即：【点评】主要考查考生垂直平分线的用法，还有三角形全等的证明，考查能否灵活运用菱形的判定，题目中已经给出是的中垂线，就看考生是否能想到它们互相平分，要得到平分只要证明即可，进而想到证明三角形全等；（2）考查考生勾股定理的具体用法和线段之间的数字关系运算；本题属于中等难度的题。变式题：1、（2012湖北黄冈

35、，5，3）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是 （ ）A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形答案：矩形的中点四边形是菱形，A错误；菱形的中点四边形是矩形，但中点四边形是菱形的原四边形不一定是菱形，B错误；而对角线相等的四边形的中点四边形是矩形，D错误；应选C. 2、（2012湖北省恩施市）如图5，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，A=120，则阴影部分的面积是（ ）A B2 C3 D答案：设BF与CE交与点G，由菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，A=120，可求CD、CE边上的高分别为、，由E

36、GFBGC得EF：EC=3:2，CF=3，故FG=,又ED=1，所以DE=，所以阴影部分的面积=DE+DE= 阴影面积计算方法一般有两种考虑思路：一是将阴影分割为几个可求面积的规则平面图形来计算（解析采用此种方法），二是将阴影通过几个规则图形面积拼凑求解，如本题还可以将阴影部分面积转化为：梯形DCGF面积+三角形ADC面积-三角形AFG面积来解答3、（2011山东烟台）如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF； （2）判断BEF的形状，并说明理由；（3）设BEF的面积为S，求S的取值范围.证明：菱形ABCD的边

37、长为2，BD=2，都为正三角形。.（2）解：为正三角形。理由：,即为正三角形（3）解：设，则当时，当BE与AB重合时，4、（2008兰州中考）如图，平行四边形中，对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数解：（1）证明：当时，又，四边形为平行四边形 （2）证明：四边形为平行四边形， （3）四边形可以是菱形 理由：如图，连接，由（2）知，得，与互相平分当时，四边形为菱形 在中，又， ，绕点顺时针

38、旋转时，四边形为菱形正方形 基本知识：1、定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、性质：具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角正方形是轴对称图形，有4条对称轴正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、判定：判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。判定一个四边形为正方形

39、的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）4、面积：设正方形边长为a，对角线长为b=典型例题：例1：如图1，在正方形中，分别为边上的点，连接交点为（1）如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；图1DCBAOHGFEEBADCGFH图2图3（2）将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形若正方形的边长为3cm，则图3中阴影部分的面积为_答案：（1）四边形是正方形证明： 四边形是正方形，.，四边形是菱形由知，四边形是正方形（2）1例2：（2012四川宜宾，14，3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、B

40、D,CE平分ACD交BD于点E,则DE= 答案：过E作EFDC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长解：过E作EFDC于F，四边形ABCD是正方形，ACBD，CE平分ACD交BD于点E，EO=EF，正方形ABCD的边长为1，AC=，CO=AC=，CF=CO=，DF=DCCF=1，DE=1，故答案为：1例3：（2012四川内江，21，9分）如图11，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，BAEBCE，AEDCED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论CB

41、ADEFG图11答案:：解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，BADBCD90BAEBCE，BADBAEBCDBCE，即EADECDAEDCED，EDED，AEDCEDADCD矩形ABCD是正方形（2）FG3EF理由：BGAD，GEAD由于EADECD，GECDCEGFEC，CEGFEC由（1）知CEAE，而AE2EF，故CE2EFEG2CE4EF，即EFFG4EFFG3EF变式题：1、（2012，黔东南州，10）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连结PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90，得线段PE，连结BE，则CBE等于（ ）A、75 B、60 C、 45 D、 30 答案

42、：过点E作EFAF，交AB的延长线于点F，则F=90，四边形ABCD为正方形，AD=AB，A=ABC=90，ADP+APD=90，由旋转可得：PD=PE，DPE=90，APD+EPF=90，ADP=EPF，在APD和FEP中，APDFEP（AAS），AP=EF，AD=PF，又AD=AB，PF=AB，即AP+PB=PB+BF，AP=BF，BF=EF，又F=90，BEF为等腰直角三角形，EBF=45，又CBF=90，则CBE=45答案：C 2、（2012湖北黄冈，18，7）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F分别 在OD、OC 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的

43、延长线交DF于点M. 求证：AMDF.答案：证明：在正方形ABCD中，AD=CD，ADEDCF=45，ADC=90，又DE=CF ADEDCF，DAECDF，又CDF+ADF =90 DAE+ADF =90ADM=90即AMDF.3、（2012南京市，22，8）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，ACBD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积. 答案：（1）E、F分别是AB、BC的中点EF是三角形ABC的中位线EFAC、EF=AC,同理得，EHBD,HG=AC

44、，EH=FG=BD,EH=FG=EF=HG四边形EFGH为菱形EFAC, EHBD, ACBDEHG=900菱形EFGH为正方形.（2）在梯形ABCD中，E、G分别是AB、CD的中点.EG为梯形ABCD的中位线EG=（AD+BC）=3四边形EFGH的面积=EG2=4.5梯形基本知识：梯形的相关概念1、一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。 梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 梯形的两底的距离叫做梯形的高。 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分类如下： 一般梯形 梯形 直角

45、梯形 特殊梯形 等腰梯形典型例题：例1、（2010四川攀枝花）如图1，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，且AEC=DCE, 下列结论不正确的是（ ）AAFD =2EFB BBF=DF C四边形AECD 是等腰梯形 DAEB=ADCBA图1CEDF答案：A 例2、（2011江苏盐城，15，3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是 （ ） 答案：等腰梯形变式题：1、（2010昆明）已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，DCB = 90，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.（1）当P点在B

46、C边上运动时，求证：BOPDOE；ABCDEPO（2）设（1）中的相似比为，若ADBC = 23. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？当= 1时，是 ；当= 2时，是 ；当= 3时，是 . 并证明= 2时的结论.答案： （1）证明：ADBC OBP = ODE 在BOP和DOE中OBP = ODEBOP = DOE BOPDOE (有两个角对应相等的两三角形相似) （2） 平行四边形 直角梯形 等腰梯形 证明：k = 2时， BP = 2DE = AD又ADBC = 23 BC = ADPC = BC - BP =AD - AD =AD = EDEDPC , 四边形PC

47、DE是平行四边形DCB = 90四边形PCDE是矩形 EPB = 90 又 在直角梯形ABCD中 ADBC, AB与DC不平行 AEBP, AB与EP不平行2、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。3、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（3）等腰梯形的对角线相等。（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。4、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。典型例题：例1、（2010年长沙）等腰梯形的

48、上底是4cm，下底是10 cm，一个底角是，则等腰梯形的腰长是 （ ）cm答案：6例2、(2010台州市)7梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=AD=2，B=60，则下底BC的长是( )A3 B4 C 2 D2+2 答案：B例3、（2009年日照）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，ABDACD，请你添加一个条件： （ ） ，使得加上这个条件后能够推出ADBC且ABCD. BCDAO（第15题图）变式题：1、（2010广东广州，18，9分）如图5，在等腰梯形ABCD中，ADBC求证：AC180答案：证明：梯形ABCD是等腰梯形，BC又ADBC，AB180AC1805、梯形的面积典

49、型例题ACBD例1、（2010年金华）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD， 对角线ACBC，B60，BC2cm，则梯形ABCD的面积为（ ）Acm2 B6 cm2Ccm2 D12 cm2答案：A例2、（2010黄冈）如图，在等腰梯形ABCD中，ACBD，AC6cm，则等腰梯形ABCD的面积为_cm.答案：18变式题：1、（2010年兰州）17. 如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD = 2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90至DE，连接AE、CE，ADE的面积为3，则BC的长为 答案：56、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。典型例题例1、（2010年无锡）

50、17如图，梯形ABCD中，ADBC，EF是梯形的中位线，对角线AC交EF于G，若BC=10cm，EF=8cm，则GF的长等于_cm答案：3例2、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。答案：13例3、如图，直角梯形ABCD的中位线EF，垂直于底的腰AB，则图中阴影部分的面积是 。答案：；变式题1、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则它的高为（ ）A、4 cm B、cm C、8cm D、cm答案：C2、已知等腰梯形ABCD中，BCAD，它的中位线长为28cm，周长为104cm，AD比AB少6cm，则ADABBC（ ）A、8125 B、235 C、81220 D、9121答案：D四边形综合题型一计算题基本知识：i).求图形某个角的角度问题：相关知识点：互余、互补；平行线与同位角、内错角、同旁内角的关系；三角形内角和与外角和；角平分线；四边形内角的性质；特殊图形（等边三角形、等腰三角形等）的角的性质。计算题多用解方程的方法计算。ii).求图形某条边的边长：相关知识点：特殊三角形的边的性质；四边形边的性质；中垂线定理；结合面积求边长。计算题多用解方程的方法结合面积，直角三角形结合勾股定理计算。（例3图）GABCDE(例2图)FM(例1图)E典型例题：例1. 如图，ABCD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分BEF，若170，则2_度答案