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1、数学原理知识要点计数是数学中一个有趣的分支，它所涉及到的方法非常广泛，本节主要介绍关于重叠问题的计数容斥原理，以及分类分步计数法加乘原理。容斥原理基本公式： 加法原理：如果完成一件事情有类方法，第一类方法有种不同做法，第二类方法有种不同做法，第类方法有种不同做法，则完成这件事情有种不同做法。乘法原理：如果完成一件事情有个步骤，第一步有种不同做法，第二步有种不同做法，第步有种不同做法，则完成这件事情有种不同做法。加法原理【例1】 的所有自然数中，是或的倍数的数有多少个？【例2】 （xx年中环杯决赛五年级） 在不大于1000的自然数中，不能被3、5、7中任何一个整除的数共有（ ）个。【例3】 有一
2、根长木棍，上有两种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等分；第二种刻度线将木棍分成十五等分。如果沿着每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成了多少段？【例4】 、三个小朋友互相传球，先从开始发球(作为第一次传球)，这样经过了次传球后，球恰巧又回到手中，那么不同的传球方式共多少种 【例5】 甲乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止问：一共有多少种可能的情况？【例6】 七届中环杯初赛）妈妈要外地出差，临走前交给小李粒糖，并告诉他每天吃粒或者粒，吃完为止.那么，小李有（ ）种不同的方法把糖吃完.【例7】 （第七届中环杯初赛）从到的整数中，十位数字与个位数字相
3、同的数共有多少个？【例8】 （第八届中环杯复赛）三位数中各位数之和为的数共有（ ）个。【例9】 如图所示，沿线段从到有多少条最短路线？【例10】 如下图所示，要从点沿线段走到点，要求每一步都是向右、向上或者是向斜上方。问有多少种不同的走法？ 乘法原理【例1】 一个盒子内装有个小球，另一个盒子内装有个小球，所有这些小球颜色各不相同，问：从两个盒子内各取一个小球，有多少种不同的取法？【例2】 如图所示，地图上有四个区域，现在用红蓝黄绿四种颜色给地图染色，使相邻区域的颜色不同，问有多少种不同的染色方法。【例3】 参加会议的人见面都要握手一次，如果每人都要和其他人握手一次，一共握手次，那么参加会议的人
4、数是多少？【例4】 从名候选人中，首先选出一名班长，再选出名班干部，共有多少种不同的选法【例5】 从人的数学兴趣小组中选人，分别担任正副组长，有多少种不同的选法？一起参加一次数学竞赛，有多少种不同的选法？【例6】 车间内亮着盏灯，编号为150，有名工人，第一个工人把编号为的倍数的灯的开关拉一下，第二个工人把编号为的倍数的灯的开关拉一下，第三个工人把编号为的倍数的灯的开关拉一下，以此类推，问，当名工人都拉过一遍开关之后，哪些灯被关掉了？【例7】 个人排成一排照相，其中甲乙丙人必须排在一起，有多少种不同的排法？【例8】 有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有多少种？一课一练【练习
5、1】 分母是的最简真分数有多少个？【练习2】 这个自然数中，既不是的倍数又不是的倍数的数一共有多少个？【练习3】 有一根长厘米的绳子，从一端开始，每隔厘米作一个记号，每隔厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。问绳子共被剪成了多少段？【练习4】 从幅国画、幅油画和幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有多少种不同的选法？【练习5】 如图所示，从甲地到乙地有条路可走，从乙地到丙地有条路可走，从甲地到丙地有三条路可走。那么从甲地到丙地共有多少种走法？ 【练习6】 下图共有个方格，要把四个不同的棋子放在方格中，并使每行每列出现一个棋子，问：共有多少种不同的放法？ 【练习7】 在如图所示15的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的五个数，要求填入的数各不相同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大共有 种不同的填法。【练习8】 一个正整数，如果从左到右顺读和从右到左逆读都是一样，则这个数称为“回文数”，如、都是回文数。从小到大排列，请问六位回文数、七位回文数各有多少个？
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