初中数学基本知识及常用结论

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1、初中数学基本知识及常用结论1最小自然数零；最大负整数-1；最小正整数1；无理数有三种：与有关的数；开方开不尽的数；有规律但不循环的数；循环小数分数相反数、倒数、绝对值、负倒数的概念2二次根式：； ；3近似数：如：5.26104精确到百位，它有3个有效数字；近似数5.26精确到百分位5.26与5.260的区别4用代数式表示：三个连续偶数2（n-1），2n，2（n+1）；三个连续奇数2n-1，2n+1，2n+3；若一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，则此两位数为10a+b5幂的运算法则：aman=am+n， (am)n=amn，(ab)n=anbn，aman=am-n（a0）， =.6零指数和

2、负整数指数：a0=1(a0)，a-n=（a0） 例：2-3=，=7科学记数法： 如：0.000102=1.0210-4 ；-23010000=-2.3011078（无理式根式）例：单项式的系数是，次数是6；多项式是四次四项式9分式：当分子=0且分母0时，分式值=0；当分母0时，分式有意义；当分母=0时，分式无意义例：对于分式，当x=-2时值为0；当x2时有意义；当x=2时无意义【注意：解分式方程必须检验】10一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：x=（=b2-4ac0）韦达定理：（1）=b2-4ac0方程有两个不相等的实数根；（2）=b2-4ac0方程有两个相等的实数根；（3）=

3、b2-4ac0方程无实数根；（4）=b2-4ac0方程有两实数根；（5）方程有实数根=b2-4ac011正比例函数：y=kx（k0） 当k0时，图象在第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0时，图象在第二、四象限，y随x的增大而减小12反比例函数：y=（或y=k或xy=k）（k0） 当k0时，图象在第一、三象限，且在每一象限内，y随着x的增大而减小； 当k0时，图象在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大13一次函数：y=kx+b（k0） 当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小 【注意1：k相等且b不等两条直线平行】k0，b0 k0，b0 k0，b0 k0，b0

4、 【注意2：二元一次方程组的解即为对应两直线的交点坐标】【注意3：若直线与轴的夹角为，则有】【注意4：若点和点是直线上的任意不同的两点，则有：】【注意5：若直线与直线垂直：则；交于轴上同一点，则；交于轴上同一点，则；】14二次函数：（1）开口方向：当0时，开口向上；当0时，开口向下（2）顶点坐标：若抛物线为，则顶点坐标为；（3）对称轴： 直线； （4）最值：若0，则当时，y最小k；若0，则当时，y最大k； （5）增减性：（由开口方向和对称轴确定）例：对于函数 ，其图象的顶点坐标为（1，2），当x=1时，函数有最小值2，且在对称轴直线x的左侧，y随x的增大而减小（或写成：当x1时，y随x的增大而

5、减小）（6）平移：看顶点【注意：左（+）右（-），上（+）下（-）】例： 的图象可由 先向右平移个单位，再向上平移个单位得到反之： 的图象可由 先向左平移个单位，再向下平移个单位得到（若题中是一般式，应先配方后再根据平移的法则解题）（7）与坐标轴的交点： （）与x轴的交点：当y0时， 若方程的两根分别为x1、x2， 则抛物线与x轴的交点坐标为（x1 ,0）、（x2，0）b2-4ac0图象与x轴有两个交点 b2-4ac0图象与x轴只有一个交点b2-4ac0图象与x轴无交点 b2-4ac0图象与x轴有交点图象与坐标轴只有2个交点 b2-4ac0或（）与y轴的交点：当x0时，yc与y轴有且只有一个交

6、点（0，c）（8）当x为何值时，y0, y = 0，y0：（9）函数值恒大于0，恒小于0若函数的值恒大于0，则a0，函若数的值恒小于0，则a0，（10）根据抛物线图象判断a、b、c、a+b+c、ab+c，2a+b，2a-b的符号：a：开口方向； b：与a“左同右异”； c：与y轴的交点； ： 与x轴的交点个数；a+b+c： 当x1时y的值； ab+c： 当x1时y的值2a+b： 对称轴与1比较； 2a-b： 对称轴与-1比较例：如图，a0、 b0、 c0、 0、a+b+c0、 ab+c0、 2a+b0、 2a-b0（11）几个常用的小结论： 顶点在x轴上b2-4ac=0 顶点在y轴上b=0 顶

7、点在原点b=c=0 抛物线过原点c=0 若抛物线与x轴的交点横坐标为，则对称轴为直线（12）直线与抛物线交点坐标：（即为相应方程组的解）（若通过图象求近似解，则要结合图象看）例：求直线与抛物线的交点坐标解：由题意得：，解之得: 直线与抛物线的交点坐标为（-1，2），（5，14）一元二次方程(a0)的两个根即为抛物线(a0)与x轴交点的横坐标，或抛物线(a0)与直线交点的横坐标（13）抛物线的对称与旋转问题：（关键是抓住顶点坐标及开口方向）已知抛物线解析式为； 若关于x轴对称，则新抛物线解析式为； 若关于y轴对称，则新抛物线解析式为： 若关于原点对称，则新抛物线解析式为： 若绕顶点旋转180，则

8、新抛物线解析式为：15n边形：内角和是（n-2）180，外角和是360从一个顶点出发有（n-3）条对角线；n边形一共有条对角线16、平行四边形：定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。性质：两组对边分别平行；两组对边分别相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分；是中心对称图形，不一定是轴对称图形。判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；17、矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形

9、；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。18、菱形：定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。判定；一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。19、正方形：定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。判定：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。对角线互

10、相垂直的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。20三角形及平行四边形面积公式： ； 【注意：边长为a的正三角形面积等于，菱形面积等于两对角线长乘积的一半】21锐角三角函数概念： 如图，在直角三角形中正弦：；余弦：；正切：；当090时，正弦、正切函数值随角度的增大而增大如：sin50sin49余弦函数值随角度的增大而减小如：cos50cos49特殊角三角函数值三角函数有关性质： ；若是锐角，则；若，则，22坡度：i=tan 仰角与俯角：都是视线与水平线的夹角（如右上图所示）23比例：比例的基本性质：比例中项：若（或），则称b为a、c的比例中项黄金分割：如图，若P是线段AB（长为l）的黄金分割点

11、，PAPB，则：PA2=PBAB，其中较长线段PA=l，较短线段PB=l 【注：一条线段有两个黄金分割点】若若24统计初步：平均数：，方差：（指波动大小、离散程度）标准差S= 频率 极差=最大值-最小值 五个连续整数的方差为2，标准差为；平均数、中位数、众数：(平均数、中位数、众数与数据单位相同，样本容量无单位)例：3，3，5，5，5，6，8，8，8，9的平均数是6，中位数是5.5，众数是5和8概率：P（A）=（在n种结果中，出现事件A的结果有m种）； 0P（A）1； P（A）=0时，是不可能事件； 当P（A）=1时，是必然事件； P（A1）+ P（A2）+P（An）=1，其中事件A1、A2、

12、An是互相独立的 数据收集的过程：（1）明确调查问题，（2）确定调查对象，（3）选择调查方法，（4）展开调查， （5）记录结果， （6）得出结论调查的方式一般分两种:普查和抽样调查25轴对称图形：如：线段、角、等腰三角形、等腰梯形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、圆、扇形、扇环、五角星、正多边形等中心对称图形：如：线段、矩形、菱形、正方形、圆、平行四边形、正偶数边形等；旋转对称图形：如：正五角星、电扇的风叶等以及所有的中心对称图形；【注意：中心对称图形一定是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形】26三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底

13、和的一半27梯形问题中的常见辅助线的添法：28扇形、圆柱、圆锥： 【 注意：圆锥底面周长=圆锥展开后扇形的弧长即:，即 】29如图，RtABC中，（1）斜边上的高，(2) 内切圆半径，(3)外接圆半径R=（4）30平移与旋转：(1)图形的平移由移动的方向和距离所决定(2)图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定，旋转时，必须注意旋转中心、旋转的角度和旋转的方向31已知三角形两边长为a、b，则第三边c的范围为：a-bca+b第三边上的中线的范围为32相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方33若两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的相似叫位似【注意：若以坐标原点为位似

14、中心，像与原图形的位似比为k，则原图上的点（x,y）在像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）】.34点与圆的位置关系：（d为点到圆心的距离，r为圆半径）点在圆外dr 点在圆上d=r 点在圆内dr35直线与圆的位置关系：（d为圆心到直线的距离，r为圆半径）（1）三种位置关系：相离dr 相切d=r 相交dr（2）证明直线是圆的切线的方法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（添线方法：连结半径） 圆心到直线的距离等于圆的半径，即证d=r（添线方法：过圆心作直线的垂线段）36圆与圆的位置关系：（d为两圆心之间的距离，R、r分别为两圆的半径）外离dR+r 外切d=R+r 相

15、交R-rdR+r内切d=R-r 内含dR-r 37尺规作图【注意：铅笔作图，保留痕迹，写出结论】38顺次连结任意四边形各边中点所得的中点四边形一定是平行四边形，其面积为原面积的二分之一，其周长等于原四边形的两对角线长之和（1）当原四边形的对角线相等时，则所得中点四边形为菱形；（2）当原四边形的对角线互相垂直时，则所得中点四边形是矩形；（3）当原四边形的对角线互相垂直且相等时，则所得中点四边形是正方形39（1）反证法步骤：假设命题不成立经过推理得出矛盾说明假设错误，原命题正确（2）要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例，不必证明 如：要说明“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，则只要

16、举一个反例：锐角等于30，钝角等于120，但它们的和不等于18040在平行投影中，当投射线垂直于投影面时，这种投影称为正投影三视图：实际上是物体在三个不同方向上的正投影.【注意：长对正、高平齐、宽相等，看不见的轮廓线用虚线】41有关结论:（1）三角形的重心（三条中线的交点）：如图，D是ABC的重心，则有（2）欧拉公式：顶点数+面数棱数=2（3）高斯公式:1+2+3+n=n(n+1) 数学中考须知一、考前复习指导1、每天抽一定时间复习数学；2、整理资料（本学期所有“月考”试题）、讲义等；3、看课本（重点是八年级和九年级的教材）、指导用书中的有关例题、作图题；4、看已发下的“初中数学基本知识及常用

17、结论”；5、对试卷中的错题要重新做一遍；二、答题指导1、带齐数学工具：三角板（两副）、圆规 、铅笔、橡皮、计算器、量角器，小剪刀等；2、考前5分钟先看前面的题目（这时建议不要看最后的题目），稳定情绪，细心认真定能成功；3、审题是关键！必须在弄懂题意后再解题，答题时书写要端正、规范；4、解题时应按顺序做，先做简单的和自己熟悉的题目，碰到较难的题目，若不会做，先跳过去，把会做的试题都做完了，再去做剩下的题目看清题目，不要漏做，对于做不出的选择题或填空题绝对不要空着，可用“特殊值法”或“排除法”或“量一量”或“折一折”等手法尽量设法做出；5、应用题别忘了写“答”；分式方程别忘了“写检验”；作图题别忘了“写结论”；直径与半径要看清；二次函数别忘了“二次项系数”； 6、要留出一定时间检查，关于检查：要全面检查、题题检查、重点检查，检查完后，再做不会做的题，确保基本题的正确率。7、最后别忘记正确填涂答题卡8、对于大题目，尽量不要空着，有一定思路（如应用题应写上“设”，几何题添上有关的“辅助线”等）要尽可能写上有关算式及公式（解题要完整），争取多得分。祝你考出理想成绩！ 建功中学初三数学备课组 2012年6月