任意角的三角函数教学设计

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1、 任意角的三角函数（第一课时）教学设计一、 教材分析。“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，又是学好本章教学内容的关键。它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上进行的推广。教材从任意角三角函数定义基础上衍生出丰富的三角内容，因此三角函数的定义整个三角部分的基础,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用.同时它又为后面学习平面向量、解析几何等内容作必要准备。二、 教学目标。1. 知识与技能：(1)理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。(2)能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值。(3)能根据定义判断出三角函数值在各个象限的符号。2. 过

2、程与方法： 经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程, 体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系和单位圆的功能,丰富数形结合的经验.3. 情感目标和价值观：通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想。培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。三、 教学方法。启发探索、讲练结合四、 教学过程。（一）复习引入、回想再认问题1：在初中，我们已经学习了锐角三角函数，它是怎样定义的？ 对边邻边sin=，con=，tan=图1学生口答： 设计意图：从学生已有的数学经验出发，为用坐标定义三角函数作准备.（二） 引伸铺垫、创设情景

3、问题2：现在，利用平面直角坐标系将角的概念已经推广到了任意角，上述定义能否推广到任意角的三角函数？ 学生思考：不能。设计意图：从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程. 问题3：如何定义任意角的三角函数？ 设计意图：引导学生探索任意角三角函数的定义. 教师活动：用直角坐标系来研究任意角的三角函数. 布置任务情景：请同学们尝试用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！1、 把锐角放入直角坐标系：师生配合（学生口述，教师ppt展示）：把锐角安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）2、 坐

4、标化：3、 问题：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中，在角终边上任取一点P(x,y)，用点P的坐标来重新得到锐角的正弦、余弦、正切的值。sin=，con=，tan= yP(x,y)MOx图3设计意图：此处做法简单，思想重要.用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义. 这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础，如：从实数到复数的扩展等）. （三）利用单位圆、简化问题问题4： 上述定义中的结构形式较为复杂，你能否

5、选择特殊点P将其形式化简？化简的依据是什么？写出最简单的形式。1、 引入单位圆：如图3，在角终边上选点P（x，y），使OP=r=1那么锐角的三角函数可以用坐标表示为：sin=，con=，tan=问题：当角是任意角时，满足OP=r=1的轨迹就是圆，象这种在直角坐标系中，以圆点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。设计意图：引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。该问题与问题1结合，分步推进，降低难度，基本尊重教材的处理方式。2、 产生新问题：问题5：p在单位圆与否得到的三角函数值相同吗？依据：三角形相似，三角函数值与角终边上点的位置无关。（四）分

6、析归纳、自主定义布置任务情景：请你利用上述定义方式写出任意角的三角函数的定义。（分小组分别写出角的终边位于第二、三、四象限和x轴、y轴上时的三角函数）针对其中的图（4）学生写出sin=0，con=，tan=0，针对其中的图（5）学生写出sin=，con=0，tan无意义。 设计意图：把角的终边分别在四个象限、四条半轴上的情形全作出来，有利于对角任意性的全面把握. 明确函数值存在与否的条件，为确定函数定义域作准备.三角函数的定义： 设 是任意角，它的终边 与单位圆交于点 ，那么叫做的正弦，记作sin，即 叫做的余弦，记作cos，即 叫做的正切，记作tan，即 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以

7、单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。（五）从函数角度认识三角函数问题6：根据上述过程，你能写出三角函数的定义域吗？你能用函数的定义对三角函数进行分析吗？ 三角函数可以看成是以实数为自变量的函数 （六）符号判断、形象识记问题：利用三角函数定义你能判断三角函数值的正、负吗？三角函数值的符号决定于x、y值的正负： yxyxyx tan= cos= Sin=y设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，帮助理解和记忆. （七）应用新知、联系巩固例1、 求的正弦、余弦和正切值。（

8、设计意图：巩固对定义的理解。）分析：根据定义求解，先利用锐角三角函数知识求出角的终边与单位圆的交点坐标，再根据定义求解。解：如图5，在平面直角坐标系中作AOB=，所以AOB 终边与单位圆的交点坐标是。根据定义可得：sin=，con=，tan=.例2、已知角的终边经过点P（3，4），求角的正弦、余弦和正切值。（设计意图：通过问题的转化，进一步加深对定义的理解。）分析：通过相似求出角的终边与单位圆的交点坐标，之后再根据定义求解。解：如图6，由已知可得： |OP0|=。设角的终边与单位圆交于点P（x，y）,分别过点P和P0作x轴的垂线MP，M 0P0，则 根据，可得，即，所以，。所以。设计意图：上述

9、书写过程基本与例1统一，这样可以将该题目的求解思路同化，降低学习难度。（八）回顾小结、建构知识体系要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：1你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？2你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？3你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？设计意图：以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，建构知识体系，优化知识结构，培养认知能力. （九）课后作业、知识拓展拓展1：通过求解例2，你能发现还可以怎么定义任意角的三角函数呢？请阅读教材的旁白。这是三角函数定义的等价定义。 （设计意图：培养学生类比、对比解决问题能力。）2完成P15练习4，6，把结果填在书上。（设计意图：将作业作为课堂教学的延伸，培养学生自主学习的能力和习惯。）五、 板书设计。课题：1.2任意角的三角函数1、 单位圆的定义2、正弦函数、余弦函数、正切函数的定义3、 从函数角度分析三角函数的三要素4、 利用三角函数定义判断三角函数的符号5、 课堂练习6、 小结7、 作业