心理统计学精髓学习知识重点

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1、第一节正态分布1正态分布的特点首先，钟形对称分布其次，|X- 1.96a的概率是95% ； |X- 1.96a称为决策水平0.05上的小概率事件，将|X -中2.58a称为决策 水平0.01上的小概率事件。其中，X是总体中的随机抽取的一个数值；r为总体 平均值，第三，曲线两端无限靠近横轴。2应用(1) 某学校三年级学生的平均智商是100,其标准差为15.那么，从中随机抽取 一个学生，其智商大于等于130的概率是多少？其智商小于等于85的概率是多 少？(2) 某企业生产的产品重量均值为100,标准差为15。质检人员从市场上随机 抽取一件，发现其重量为115，仅从质量上看，如何用统计学视角来判断此

2、产品 是否属于这一企业(决策水平为0.05)。(3) 在上题中，如果质检人员从市场上发现一个产品的重量为140,那么，仅 从质量上判断，此产品是否属于这一企业(决策水平为0.01)。3数据处理一让学生报告自己的身高、体重以及自己的肥胖感知(我认为自己很肥胖)、以及 自己的性别。数据处理任务包括：报告三个变量的茎叶图，并大致判断其分布形 态；报告三个变量的平均值、中数以及中位数、标准差。第二节标准正态分布将总体的平均值记为R,标准差记为。，将其中的数据或个案记为X。那么，使用 公式z = W二凹，就可以将正态分布转化为标准正态分布。a标准正态分布是正态分布的一个特例，因此，第一节的内容皆可以标准

3、正态分布 进行直译。思考题：标准正态分布的标准差是多少？其平均值又是多少？对于标准正态分布而言，|Z| 1.96为决策水平0.05上的小概率事件，将|Z| 2.58 为决策水平0.01上的小概率事件思考题某地三年级学生的身高是一个总体，并且是正态分布,均值为160厘米， 标准差为5厘米。研究者随机抽取一个学生，其身高为170厘米。那么，此生在 标准正态分布中的身高数值应该为多少？这次抽到他是一个小概率事件吗？为 什么？练习：将“数据处理一”中三个变量转化为标准正态分布，并报告其茎叶图。第三节样本均值的分布1存在一个非常数总体，无论其为何种分布。并且此总体平均值R与标准差。已 知。用（放回式）随

4、机抽样，获得无数个容量相等的样本当每一个样本容量大 于30时，样本均值的分布就是正态分布。b2将样本平均值记为x，标准差记为S，容量记为n，则此分布的标准误十。X y：n3样本均值分布的特点：首先，是正态分布，第二，此分布的理论均值等于总体均值R。第三，其标准误。一=乌x 、n第四，X- 1.96bx称为决策水平为0.05 上的小概率事件；X-可 2.58bx的事件称为 决策水平为0.01上的小概率事件；*第五，用公式zx= X_Zh将其标准化，则得到标准正态分布。那么，|,|1.96X为决策水平0.05上的小概率事件，将|七| 2.58为决策水平0.01上的小概率事件。 第四节统计检验的逻辑

5、X如果一个样本是从某一总体中随机抽样得来的，那么，这一个样本必定能够代表 这一总体的特征，其含义有三。其一，两者的分布形态是一致的；其二，两者的 方差是一致的；其三，两者的平均值是一致的。“一致”的统计含义是，在0.05 或者0.01的决策水平上，是没有差异的。当然，随机样本不能百分百地代表总体的特征，当这样的样本不能代表总体特征 时，就说是小概率事件发生了。在科学研究中，总体往往是一个理论上的或者特定的描述，包括其分布形态、平 均值以及其标准差。而样本往往来自于现实的抽取中，通过比较三个方面，就可 以决断这个样本是不是属于这个理论或者特定的总体。比如，某地区90年代的14岁儿童的平均身高为r

6、厘米，标准差为。厘米，并且 为正态分布。现在来考察这一地区14儿童的身高是否与90年代同龄儿童的身高 是否一致。在统计学上，只能这样做：从现在的14岁儿童中，随机进行抽样，比如，抽取 n个儿童构成一个样本，其平均值为，X标准差为S。由于是真正的随机抽样，那么，决策者会检验三个方面。第一，看此样本的分布 是否与（90年代的那个）特定总体的分布形态有一致性，如果两者分布形态一 致，即样本也是正态分布，那么第二，看此样本的方差是否与特定总体的方差具 有一致性，如果两者方差一致，那么第三，看此样本的平均值是否与特定总体的 均值具有一致性，如果一致，则可以认为此样本依然属于那个特定的总体，或者 说，如今

7、此地区14岁儿童的身高依然与90年代一样。在上述中，“一致”是指在0.05或者0.01的水平上进行判断，即没有发生小概率事件。如果小概率事件发生，则说明“不一致”，或者说“具有显著性差异”。关于分布形态一致性检验与方差一致性检验在后面再学习。这里，我们先认为此 样本分布形态和方差皆与那个特定总体的一致，那么，就只剩下检验样本均值是 否与那个特定总体的一致。统计学上的检验过程表述如下。 1.9位-X二是否成立，即 -jnH0 :此样本是从90年代的总体中随机抽取的，那么就有|X-七计算过程：因为七=P,b - = 土，所以只需要证明IX -叫 1.96，则说明小概率事件发生了；一次随机抽样，就发

8、生了小概率 yjn事件，那么我宁愿在0.05的水平上相信H是不正确的，也就是说，此样本不是 从90年代的那个样本中随机抽取的，或者说,这个样本不属于这个特定的总体。在上面的逻辑过程中，H0的表述非常重要，因为，只有先假定此样本是能够代表 这个特定总体，才能套用公式|X-,| 1.96bX，这是为什么？这是因为，从任 何非常数总体中，随机抽取无数个容量相等的大样本（通常指容量大于等于30），那么样本的均值（无数个 X）形成正态分布（其理论均值 七=日，标准误）；那么，X-日_ 1.96b_的概率是95%，也即，X-日 1.96戛 的概 nbc X，率是95%。反之就是0.05水平上的小概率事件发

9、生了。因此，理解H0与否，关系着统计检验的理解与否。 练习：从“数据处理一”中随机生产一个样本，并且报告此样本均值的标准分数。 看全班同学抽取到的平均值有几个是小概率事件。第四节t分布存在一个非常数总体，无论其为何种分布。并且此总体平均值R已知，但其标准 差。未知。用（放回式）随机抽样，获得无数个容量相等的样本，样本均值X的 分布就是t分布。t分布的特点如下表述。首先，t分布为对称分布，并且左右对称其次，t分布是一簇曲线，并且每个df （即自由度，df=n-1）皆有自己的分布形 态。df越大，t分布越接近正态分布。第三，在此情况下，样本均值分布的标准误其中，是样本的标准差，其理论均值日-等于总

10、体均值日。X第四，X -日- ts -则为1 X0.05水平上的临界值XX0.05水平上的临界值X0.05水平上的小概率事件。|X -七| ，001水平上的临界值七则为-01水平上的小概率事件。t检验练习某心理量表的常模均值是14分。100名被试经过测试发现平均分为16.4 （标准 差为1.44）。请检验以上样本是否与量表的常模均值有显著差异（假设有关的分 布是正态分布）。决策过程首先，提出虚无假设：H0：如果此样本是从（均值为14的）特定总体中随机抽 取的，那么，在0.05的决策水平上，应该有X-目_| t平的临5-。一 一.、一-5 1 44弟三步，计算。日-=日=14， X 日-=16.

11、4-14=2.4。5文= =0144。查 表，发现当df=100-1=99时t平、临 就2.00，因此，t 平 临 5一 =2.00 X 0.144=0.288，2.4 f 0.288可见，在0.0：的水平上，X | t平,临5一是不成立的，这样，小概率 事件发生了。决策结果是，此样本（均值为V6界值）*不是从（均值为14的）特定 总体中随机抽取也来的，而是从另一个均值显著大于14的总体中随机抽取出来 的。进一步推断，这100名学生代表着一个智商远远大于14的总体。第五节 独立样本t检验 存在一个非常数总体，无论其为何种分布。并且此总体平均值R与标准差。皆未 知。用（放回式）随机抽样，得到两个

12、独立的样本，它们的平均值分别为X1与X2， 标准差分别为51与52，样本容量分别为ni与n2X的分布为t分布，自由度df=n -1; X的分布为t分布，自由度cf=n -1; 1122当n1与七 皆较大时，两个样本皆可以较好地代表这个总体，这意味着，两个样本的方差- 致（或同质），两个样本的平均值一致，即X1与X2在统计学上是相等的。两个样本均值之差（X1 - X2）也是t分布，与相关的结论表述如下：首先，其次，第三.均值之差的分布具有自由度d仁%+逝2 = % +七-2均值之差分布的标准误为5 - -=.驾合+ 5联合，其中5 二 多，X-x 2. n n联合 df + df概率是5%，称为

13、0.05水平上的小概率事件。.|X 1 - X21 t0.01水平上的临界值5X1X2的概率是99%, X1 X2倍t0.01水平上的临界值5X1X2的概率是巩称为0.01水平上的小概率事件。练习：1X1 又2 t0.05水平上的临界值5X1X2的概率是95%, X1 又2槌t0.05水平上的临界值5X1 X2的一个研究者对双性化心理特征感兴趣。他在大学一 年级新生中选取了 10名双性化和20名非双性化对其 施测双性化量表。10名双性化学生在量表上得到的 平均分是* = 25，S* = 670 ；20名非双性化学生的 平均分是又2=18，SS2 = 1010。这些数据能否表明 两组间存在差异？

14、（a =0.01）决策过程如下表述。首先，如果这两个样本为同一总体中随机得来的独立样本，那么，两个样本的方差应该一致 或者同质。关于样本方差同质性检验以后再学。现在我们暂且认为两个样本方差同质。0.01水平上的临界值X1 -X2，0.01水平上的临界值 2.763其次提出虚无假设H0 :如果这两个样本为同一总体中随机得来的独立样本那么在0.01 的决策水平上，就应该有|X - X2 计算过程。|X -X2|=17 在# = 28时S 2S 2合 + -合=3 n1S2 =2 = （670 +1010）/28 = 60, s_ -联合 df + dfx1 - x 212/水平上的临界值寻X2=2

15、763X 3=8289可见IX1 X J 0.01水平上的临界值sX1 - X 2是不成立的，.0.01水平上的临界值X1 -X2 概SS + SS率事件发生了。一次实验或抽样就发生了小概率事件，因此，我们宁可相信，两个样本并不 是来自同一个总体，双性化学生（总体）的均值要显著高于非双性化学生（总体）的均值。练习：在“数据处理一”中，有三个变量的数据。请比较男性与女性在三个变量 上是否有显著的差异。要求写出假设，并且解释处理结果的关键数据。第五节 独立样本t检验中的方差齐性检验首先介绍F分布。从一个正态总体中，随机抽取两个样本，它们的方差分别为S;与S2 _ S 2S 2_F =一般而言，将较

16、大者视普2）是分布。诺-F0.05水平上临界值的概率是95%，此 22S 2-时，就认为两个样本方差同质（或者相齐、一致）；诺Z F005水平上临界值，就认为在0.05的2水平上，两者方差不相齐，或者说它们来自不同的总体。在0.01水平上的情形类推。练习：一个研究者对双性化心理特征感兴趣。他在大学一年级新生中选取了10名双性化和20名非双性化对其施测双性化量表。10名双性化学生在量表上得到的平均分是X = 25，SS = 670；20名非双性化学生的平均分是X1 = 18，SS1 = 1010。请检验两个样本的方差是否同质（a =0.01）。下面是决策过程。首先，提出虚无假设H 0 :如果两个

17、样本是随机来自于同一个总体，那么，就应该有S2h V FS 20.01水平上临界值。2计算过程 号 SSi = 670.74.44,号圣=1010 = 53.158。世=兰=1.40 计算过程。idf92 df 19S2 53.158查表，在分子岭9,分母df2=9的情况下，F0.01水平上临界值=3.52。所以，在0.01的决策S 2水平上，布-孔.01水平上临界值是成立的，因此接受H0。所以，在0.01的决策水平上，两个2样本各自代表的总体具有一致的方差。练习：在“数据处理一”中，有三个变量的数据。请比较男性与女性在三个变量 上的方差是否具有一致性。要求写出假设，并且解释关键结果的含义。第

18、六节相关样本t检验从某一人群中随机抽取一个样本（容量为n），然后测量其打字水平，对这一样 本培训一段时间，再次测量其打字水平。计算出每个被试前后测量的差异D,根 据D的情况来判断培训是否有效。以上情况应该用相关样本t检验。检验过程：首先，确保差异数据D是正态分布（如果不符合正态分布，则用非参数检验）。其次，提出虚无假设气：当培训没有效果时，D便是一个随机样本，它来自均值为0 自由度为n-1的t分布，这样，在0.01的决策水平上，应该有D v01水平上的临界值*，其中， y.一乙 D 2 d Ddf最后，根据计算结果进行决策。如果小概率事件发生，就拒绝虚无假设，做出与虚无假设相 反的结论。实验：

19、产生“数据处理二”。第七节方差分析1独立样本方差分析从一个正态总体中，随机抽取K个样本，如果这K个样本皆能很好地代表同一个 总体，那么，必定有（1）K个方差一致（2）K个样本分布一致，皆为正态分布；（3）K个样本均值一致，此时，在0.05的决策水平上，必有，F =蓝组间 F（df ,df ）o三个样本均值相等观测值 MS0.05水平组间 组内组内其中 MS = SS / df MS = SS / df组间 组间 组间 组内 组内 组内2重复测量的样本方差分析从某一人群中随机抽取一个样本（容量为n）,然后测量其打字水平，对这一样 本培训一个月，再次测量其打字水平，再培训一个月，再次测量其打字水平。考 察打字训练有没有效果。思路如下表述。首先，确保每次测量后的数据皆为正态分布；其次，其次，确保每次测量后的数 据样本方差一致。第三，提出虚无假设H 0 :当培训没有效果时，在0.01决策水平上， 应该有F= &W F（df ,df ）o三次测量的均值相等（其中观测值MS*0.01水平 组间误差误差MS = SS/ dfMS= SS/ df）第三计算F 如果小概率事件发组间 组间 组间， 误差 误差误差/布I异观测值）木J顷十寻I丁久 生，则说明三次测量结果代表的是三个不同的总体，即培训是有显著效果的。