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1、概率论与数理统计第十一讲第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量 一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是，设和是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量，叫做二维随机向量或二维随机变量。 二维随机变量的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量之间的相互关系。因此，需要将两个随机变量作为一个整体来进行研究。 我们同样需要用分布函数来研究二维随机变量的统计特性。定义：设是二维随机变量，对于任意实数，二元函数 称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。 如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数在处的函数值就是随机点落在以点为顶点而位于该点左
2、下方的无穷矩形区域内的概率。根据这一含义，我们可以算出随机点落在矩形域的概率 分布函数具有以下基本性质： （1）是变量的不减函数，即对于任意固定的，当时，；对于任意固定的，当时，。 （2），且对任意固定的，对于任意固定的，并有（该性质可结合图示说明） （3），即关于右连续，关于也右连续。 （4）对于任意，下述不等式成立 如果二维随机变量全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称是离散型随机变量。 设二维离散型随机变量所有可能取的值为记则由概率的定义有 称为二维离散型随机变量的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律。联合分布律也可以用表格的形式来表示 XY 将看成一个随机点的坐标，可以知
3、道离散型随机变量X和Y的联合分布函数为 其中和式是对一切满足的来求和的。 与一维随机变量相似，对于二维随机变量的分布函数，如果存在非负的函数使对于任意有 则称是连续型二维随机变量，函数称为二维随机变量的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。 概率密度具有如下性质： （1）； （2）几何中是空间的一个曲面。该性质表明介于它与XOY平面的空间区域的体积为1。 （3）设G是平面上的区域，点落在G内的概率为 该性质表明所求概率为以G为底，以曲面为顶面的柱体体积。 （4）若在点连续，则有 这个性质可以进一步推导，在的连续点处有 这表明若在点连续，则当很小时即落在小长方形内的概率近似等于。 以上关
4、于二维随机变量的讨论可以很容易推广到维随机变量的情况。一般地，设E是一个随机试验，它的样本空间是，设是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个维向量，称为维随机变量。 对于任意个实数，元函数 称为维随机变量的分布函数或随机变量的联合分布函数。它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质。 例1 将一枚硬币抛掷三次，以X表示三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。求X和Y的联合分布律。 解：一枚硬币抛掷三次有8种可能的情况。X为出现正面的次数，其可能取值为0，1，2，3。Y可能取值为1，3。则的分布律为01231 03/83/8031/8001/8 第二节 边缘分布
5、 二维随机变量作为一个整体，具有分布函数。而X和Y都是随机变量，它们也都有各自的分布函数，分别记为，称为二维随机变量关于X和Y的边缘分布函数。边缘分布函数可以由的分布函数所确定，事实上 即只要在中，令就能得到，同理 对于离散型随机变量，边缘分布函数为 我们在第二章已经了解，已知离散型随机变量X的分布律为，可以得到X的分布函数为 由此我们可以得到二维随机变量中X的边缘分布律 同样，Y的分布律为 记；分别称和为关于X和Y的边缘分布律。 对于连续型随机变量，设它的概率密度为，由于 根据概率密度的定义，X是一连续型随机变量，且其概率密度为 同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为 分别称为关于X和
6、Y的边缘概率密度。 说明：（1）联合分布可以确定边缘分布，但在一般情况下，边缘分布不能确定联合分布；（2）边缘分布看作某个分量的分布时就是一维随机变量的分布，它具有一维分布的性质。当从整体来说，边缘分布是在多维空间考察问题，而一维分布是对某分量考察问题。 例1 随机抛掷两颗骰子。设X表示第一颗骰子出现的点数，Y表示两颗骰子出现的点数的最大值，试写出二维随机变量的概率分布及X、Y的边缘分布。 解：设X=1，即第一颗骰子出现1点，则第二颗骰子出现的点数的最大值为，故 设X=2，即当第一颗骰子出现2点，则当第二颗骰子出现1点或2点时，都有Y=2；而当第二颗投资出现点数时，有，故设X=3，即第一颗骰子
7、出现3点，则当第二颗骰子出现小于等于3点时，都有Y=3；而当第二颗骰子出现的点数大于等于4（）时，有，故 设X=6，即第一颗骰子出现6点，则无论第二颗骰子出现的点数是多少，都有Y=6，故有 因此，二维随机变量的联合分布律如下表所示：12345611/361/361/361/361/361/36202/361/361/361/361/363003/361/361/361/3640004/361/361/36500005/361/366000006/36把上表中各列概率相加，就得到Y的边缘分布律Y123456P1/363/365/367/369/3911/36把上表中各行相加，就得到X的边缘分布律。X123456P6/366/366/366/366/396/36 例3 （二维正态随机变量概率密度）设二维随机变量的概率密度为 其中都是常数，则称为服从参数的二维正态分布，记为。求边缘概率密度。
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