高等数学(下)内容要点

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1、高等数学（下）内容要点第七章 向量代数与空间解析几何1向量的运算：模、方向余弦、加、减、积已知向量，则，数量积：注意下面两个性质的应用：（）设是任意向量，则； （）；从而有向量积：其中。在几何上表示以为邻边的平行四边形的面积。注意性质：混和积：其中的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体体积。2向量之间的平行、垂直、共面条件两向量垂直的充要条件：两向量平行（共线）的充要条件：3 平面与直线（1）平面及其方程点法式方程：一般式方程：截距式方程：三点式方程：（2） 直线方程点向式方程： （对称式方程）一般式方程：两点式方程： （实际是对称式方程）参数式方程：直线的三种方程可以相互转换。（3） 点到平

2、面的距离，点到直线的距离，异面直线间的距离点到平面的距离：点到直线的距离：，其中为直线的方向向量，。两异面直线间的距离：该公式可理解为（1）直线上的两点对应的向量在投影的绝对值。或（2）表示为棱边的平行六面体的体积，而体积又可表示为。（4） 平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系（平行、垂直、相交）。两平面法向量的夹角(常取锐角)称为两平面的夹角.两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角（取锐角）直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角（取锐角）平面束设有两张不平行的平面，交成一条直线，过直线的所有平面的集合称为由直线所确定的平面束。设空间直线的一般式方程为则方程 (10)称为过直

3、线的平面束方程。其中、为参数，且不全为零。1.过点且与直线平行的直线方程为 2.已知平面过点且与直线垂直，求此平面方程。3.已知向量，如图(1) 求证:的面积(2) 当夹角为何值时, 的面积为最大?解(1)连接,则同时, 所以(2) 所以当时,面积为最大.4.设，试求的值，使得：1）与轴垂直；2）与垂直，并证明此时取得最小值。解 首先=，1）与轴垂直，就是与基本单位向量垂直，即，从而所以，当时，与轴垂直；2）与垂直，即从而有,所以，当时，与垂直。记，则=，求导，得驻点，且，所以当时，取得最小值。5.求两直线的公垂线方程。解：直线直线公垂线的方向向量为设垂足分别为，则公垂线方程为第八章 多元函数

4、的微分一、多元函数的概念、极限、连续二、偏导数、全微分定义偏导数：，全微分：设，若，则称在点可微，并称为在点的全微分。注意一元函数与二元函数在可微、可导、连续等概念上的区别与联系一元函数在某点处极限存在连续可微可导 二元函数在某点处有存在连续偏导数可微连续可偏导方向导数存在极限存在三、多元复合函数的求导法则显函数多元复合函数求导法是多元函数微分学中的一个中心内容。在用法则时关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量，为此我们把变量之间的关系用图示来表式，称为变量之间的关系图，或称为变量之间的树形图。另外还注意抽象复合函数等的偏导数的求法，其中主要是正确理解和使用符号等。求法：事实上

5、，在求显函数的偏导数时已经用了复合函数的求导法则，只是当时没有明显写出变量之间的关系。如设法1 原题即是求法2 明确变量之间的关系为：利用复合函数的求导法则，即可求出偏导数。法3 利用全微分的形式不变性，先计算全微分，后得偏导数所以得隐函数的求导法则我们知道表示函数的方法是多种多样的，如显式表示，隐式表示（又分为单个方程或方程组），参数方程（显式或隐式）表示等，相应就产生各式各样的求导法则或公式。1） 由二元方程所确定的一元隐函数的导数的求法：（1）显化：由解出（满足隐函数存在定理的条件），利用一元函数的求导法则，求出。 由解出，利用反函数的求导法则，求出（2） 视的函数用复合函数的求导则（3

6、） 用隐函数的求导公式（4） 利用函数的微分2）由三元方程所确定的二元函数或等的偏导数等的求法（与上面相应） 显化：一般行不通 视的函数，两边分别对求导，则可得到 隐函数的求导公式 利用微分方程组确定隐函数，求通过解下面的线性方程组得到四、多元函数微分学的几何应用1空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为相对应为切点则切线向量为切线方程为法平面方程为 设空间曲线的一般方程为则切线向量为，或为（将曲线方程转化为参数方程）切线方程为法平面方程为2 空间曲面的切平面与法线 设曲面方程为则切平面的法线向量为切平面方程为法线方程为 设曲面的参数方程为则切平面的法向量为切平面方程为法线方程为五、 方

7、向导数与梯度1 方向导数定义：函数处沿方向的函数的增量与这两点的距离之比，当距离的极限，记为即 表示处沿方向的变化率。关于方向导数的存在性与计算有下面的定理定理 如果函数可微分，则函数在该点沿任一方向的方向导数存在，且有其中是方向的方向余弦，即是与同方向的单位向量。（同理有）2 梯度定义：方向导数与梯度的关系：其中的夹角。所以函数在一点的梯度是一个向量，它的方向是函数在这一点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。（同理有）六、多元函数的极值及其求法定义：对的去心邻域内的任意一点都有，则称，则称定理1（取极值的必要条件）有偏导数，且在点处有极值，则有使的点，称为的驻点。上定理

8、可改写为：在偏导数存在的前提条件上，极值点必为驻点。但反之不成立。定理2（取极值的充分条件）在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令，则时，是极值，且时是极小（大）值时，不是极值，不能肯定是否是极值，还需另作讨论。极值的求法：无条件极值：从上面的定理2即得求无条件极值的步骤。条件极值：方法1：转化为无条件极值方法2：用拉格朗日乘数法求驻点设目标函数下的极值，先作拉格朗日函数解方程组得可能极值点。（在求最值时，若可能极值点唯一，无须判别，可直接下结论：该点的函数值即为最值。）对于多个变量，多个约束条件的情况，同理。关键：建立正确、简洁的目标函数1.设有二阶连续偏导数，其梯度，则 2.曲

9、面在点处的切平面方程为 3.设，具有二阶连续偏导数，求4.求函数在约束条件下的最小值。解：令则，代入有。得唯一驻点当或或时，所以唯一驻点为函数的最小值点，最小值为5.设，则【A】 A B C D6.连续是偏导数存在的【D】A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件7.设又 （）8.设函数具有二阶连续导数，且，则函数在处取得极小值的一个充分条件是【A】，并说明理由。（A） （B） （C） （D）解：当成立时，且，从而在处取得极小值。第九章 重积分二重积分的计算法二重积分的计算总的来说就是化二重积分为二次积分。利用直角坐标计算二重积分 设被积分函数为，积分区域为型区域，如图（此种区域的特点是：

10、用垂直于轴的直线穿过区域时，与的交点不多于两个）此结论对非正的仍成立。 设积分区域为型区域，即, 积分区域既是型区域，又是型区域，则上式表明，虽然积分次序不同，它们的值是相同的。 区域既不是型区域，又不是型区域，作辅助线化为情形1、2利用极坐标计算二重积分前面讲了利用直角坐标计算二重积分，但对某些积分，利用直角坐标难以解决，特别是区域的边界用极坐标表示起来更方便时，往往用极坐标来计算更简捷。如；。极坐标下二重积分的计算，首先是把直角坐标下的二重积分化为极坐标系的二重积分 ，再化为极坐标下的二次积分。设积分区域为 若积分区域其它各种区域类似。何时选用极坐标进行计算呢？一般说来，当积分域D的边界曲

11、线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。通常被积函含项，积分区域与圆有关（圆域或圆域的一部分）。重积分的应用元素法平面图形的面积：的面积。平面薄片的质量、重心：， 立体的体积：即曲顶柱体的体积曲面面积已知曲面片方程为的面积： 若给出的方程为，类似地有公式：二、三重积分三重积分的概念将二重积分的概念推广则得三重积分的概念。其中叫做体积元素。三重积分在直角坐标系下的计算利用直角坐标计算三重积分先单积分后二重积分：设在坐标面的投影为，以的边界为准线作母线平行于的柱面，这柱面与曲面的交线把分为上、下两部分，设其方程为，即有设，其中连续，为在坐标面的投影。（这类区域

12、也称为型空间区域）则若，则若，则将空间区域投影到其它坐标面，类似于此。先二重积分后单积分设空间区域，其中为垂直于轴的平面截闭区域所得的平面闭区域（这种区域也称为z-型区域）。则然后再将区域上的二重积分化为二次积分。柱面坐标系下三重积分的计算。 ，柱坐标系的体积元为或利用三重积分换元法得体积分元进一步地有：何时选用柱面坐标当是由柱形，锥形或旋转体围成且在坐标面上的投影是圆域或其部分，或者被积函数含有式子等时，常用柱面坐标计算。球面坐标系下三重积分的计算。直角坐标与球面坐标的关系：，球面坐标下的体积元：进一步有何时选用球面坐标当是球体或其部分，或被积函数含有式子时，常用球面坐标计算。1. 计算积分

13、，其中解：令2.设在上连续，且证明：证明：对求导得：，即积分得：，所以由知，故2.设为圆围成的区域，则【C】A B C D7设，表示不超过的最大整数，计算二重积分解：记，则，于是第十章曲线积分一、对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长曲线积分的性质性质1 性质2 性质3 设有，则 特别地 对弧长的曲线积分的计算法（1） 参数方程给出平面曲线，则 （2） 直角坐标给出积分弧段，或 或（3） 极坐标给出积分弧段对坐标的曲线积分的计算法 (1)设曲线的参数方程为：，起点对应的参数值为，终点对应的参数值为(2)设曲线由直角坐标给出：，则(3)设曲线由直角坐标给出：(4)可推广到空间直角坐标

14、下的曲线。设，起点的参数值，终点的参数值为，则三、二类曲线积分之间的联系曲线弧由参数方程 给出，起点对应的参数为，终点对应的参数值为，则。类似地有，记，则上式可表为其中上面的等式表明第二类曲线积与第一类曲线积分之间可以相互转化。四、格林(Green)公式及其应用格林公式定理 设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有-该式称为格林公式其中是的取正向的边界曲线。正向的规定：当观察者沿着区域的边界行走时，区域总在他的左边。格林公式表明了区域的二重积分与其边界曲线的曲线积分之间的联系，它用来计算曲线积分是很方便的。在格林公式中 取，则有区域的面积为 令，则 令，则 注：=+平面上

15、曲线积分与路径无关的条件若在单连通区域上具有一阶连续偏导数，则下面四个命题等价：（1）任意连接起点与终点两路径，有（2）（3），使（4）对面积的曲面积分的计算法对曲面积分的计算法：化曲面积分为二重积分，一代二换三投影。 设，在面上的投影为，在具有连续的偏导数，被积函数在上连续，则一代：被积函数中的某个变量用曲面方程代替。二换：用面积元公式换。三投影：将投影到相应的坐标面上。 设，在面的投影为，则 设，在面的投影为，则 设曲面方程由参数方程给出，则其中 对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法归纳起来为：一代二投三定向，曲积化为重积算解释：设曲面积分的面积元为一代：将曲面的方程代入被积函

16、数；二投：将曲面投影到坐标面；三定向：上侧为正，下侧为负。其余同理，如若曲面积分的面积元为一代：将曲面的方程代入被积函数；二投：将曲面投影到坐标面；三定向：右侧为正，左侧为负。两类曲面积分之间的联系注意其中，说明：对坐标的曲面积分必须将曲面分别投影到相应的坐标面，而对面积的曲面积分，可以投影到你觉得方便的某一个坐标面上（合一投影），这就是两种积分在应用上区别。特别注意曲面的侧。三、 高斯公式 通量与散度高斯(Gauss)公式格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，类似地，容易想到：空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间也有某种关系高斯公式。定理 设空间闭

17、区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数，在上具有一阶连续偏导数，则有 该公式称为高斯公式其中是的整个边界曲面的外侧，是在点处的法向量的方向余弦。流量或通量：通量密度或散度：四、 斯托克斯公式 环流量与旋度斯托克斯(Stockes)公式平面区域上的二重积分与其边界上曲线积分有联系（格林公式）；空间区域上的三重积分与其边曲面上的曲面积分有联系（高斯公式）；那么，曲面积分与其边界上的曲线积分有没有联系呢？这就是今天要讲的斯托克斯公式，即把格林公式从平面推广到空间曲面斯托克斯公式。定理 设光滑曲面的边界为光滑曲线，函数具有一阶连续偏导数，则有环流量：叫做沿有向闭曲线的环流量环量密度：旋度：为向量场的旋度

18、。斯托克斯公式可改写为：又因，为旋度与法向量的夹角。所以环量密度与旋度的关系为：旋度是一向量，其方向为环量密度最大的方向，其模是环量密度的最大值。1.计算曲线积分。其中是第一象限中沿圆周从到。2.计算曲面积分，其中为上半球面的上侧。解：作辅助平面取下侧。计算曲线积分，其中解：由格林公式计算曲面积分.其中是由曲面与平面所围成的半球体的表面外侧.解:5.已知函数具有二阶连续偏导数，且，其中，计算。解：因为，所以从而 6.设为椭圆面上的动点，若在点处的切平面与面垂直，求点的轨迹，并计算曲面积分，其中是椭圆面位于曲线上方的部分解：椭圆面上点处的法向量是点处的切平面与面垂直的充要条件是所以点的轨迹的方程

19、为，即取，记的方程为，由于第十一章 无穷级数一、常数项级数的概念及性质1定义 称为常数项无穷级数，其中第项叫做级数的一般项。令，则数列称为级数的部分和数列，的前项和称为级数的部分和。定义 如果级数的部分数列有极限，即，则称无穷级数收敛，其极限值叫做这个级数的和，即。如果没有极限，称无穷级数发散。例 -等比级数，或称为几何级数当时收敛，其和为； 当时发散。2级数的基本性质性质1：若，则性质2：若、，则性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性不过收时其和一般要改变。性质4：若级数收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变注意：收敛级数去括号，则不一定收敛。性质

20、5(级数收敛的必要条件)：若级数收敛，则它的一般项un趋于零，即反之不成立；如调和级数是发散的。二、常数项级数的审敛法 1正项级数及其审敛法：正项级数的概念：给定级数，若，则称为正项级数。基本定理：正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn有界利用此充要条件，马上得到正项级数的比较审敛法。 比较审敛法：设和都是正项级数，若存在自然数N，当n N时，有un kvn (k 0)成立，则如果收敛收敛；如果发散发散注：用比较审敛做题，主要将要讨论的级数适当地放大或缩小，并且放大或缩小后的级数的敛性是知道的。什么是适当：放大或缩小后，级数的敛散性不变；究竟是放大呢？还是缩小？：首先要猜测级数的敛散

21、性，若猜所讨论的级数收敛，则放大，放大后仍收敛，由比较审敛敛法知原级数收敛；若猜所讨论的级数发散，则缩小，缩小后仍发散，由比较审敛敛法知原级数发散。三个级数的敛散性是已知的：等比（几何）级数，调和级数，P-级数。几何级数：调和级数：发散P-级数： 比较审敛法的极限形式：设和都是正项级数， 如果（1）若，则级数与级数有相同的敛散性；（2）若，收敛，则级数收敛（3）若，发散，则发散。比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设为正项级数，如果，根值审敛法(柯西判别法)：设为正项级数，则2交错级数及其审敛法:交错级数的概念：形如或，即级数的各项正负交替，这样的级数称为交错级数。莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件

22、： un un + 1 (n = 1, 2, 3, )； 则级数收敛，且其和s u1，其余项rn的绝对值| rn | un + 1 例 判别级数的敛散性。三、绝对收敛与条件收敛： 1. 绝对收敛与条件收敛的概念：对于任意项级数（为实数），若收敛，则称为绝对收敛。若发散，但收敛，则称为条件收敛。例如为绝对收敛，而为条件收敛。2. 定理：如果级数绝对收敛，则级数必定收敛反之不成立。应注意的几点：1比较、比值、根值审敛法，只适用于正项级数，对于一般项级数的收敛性，主要用该定理来判定。2发散，不能断定发散；但若是用比值法、根值法判定发散，则也发散。（因为比值法、根值法判别级数发散，是根据一般项不趋于0

23、而得的）定理1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数在处收敛，则在内绝对收敛反之，如果级数当x = x0时发散，则在内发散定理1推广(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数在处收敛，则在内绝对收敛反之，如果级数当时发散，则在内幂级数发散定理：如果，则这幂级数的收敛半径 利用该定理可求函数的收敛区域。1. 求出，得到收敛半径2. 讨论区间端点的敛散性，得收敛域。 3幂级数的运算： 设有两个幂级数， 则这两个幂级数可以进行四则运算：（1）（2）（3），其中由比较同次幂的系数确定。 4幂级数的和函数的性质：性质：幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上是连续的、可导的、可积的，且逐项求导、积分后所得到的幂级数

24、和原级数有相同的收敛半径2函数展开成幂级数函数展开为幂级数的方法有两种：直接展开，间接展开。常见的幂级数展式： 2.求幂级数的收敛半径及收敛域，并求出和函数。4.设单调增，收敛。证明：（1）单调减。（2）收敛。证明（1）单调减（2）而收敛，由比较判别法，收敛。3.设幂级数在处发散，则该幂级数在处【A】A发散 B绝对收敛 C条件收敛 D收敛性不能确定1.设是以为周期的函数，在的定义为，则的傅里叶级数在处收敛于 1 判别下列无穷级数的敛散性（1） （2）解（1）： ，由收敛知原级数收敛。（2）取收敛级数，由于，故原级数收敛。2.已知数列收敛，也收敛，证明级数收敛。证明：设，的部分和分别为则故，由已

25、知可设，则故原级数收敛。3.将函数在处展开为泰勒级数。解：而故，4.求幂级数的和函数解：已知幂级数的收敛区间为。当时故当时，由和函数在收敛域内的连续性知故3.求幂级数的和函数，并求的和。答案：第十二章 微分方程一阶微分方程的初等解法可分离变量的微分方程：形如分离变量 积分将可分离变量的微分方程转化为已分离变量的方程，从而求出方程解的方法称为分离变量法。齐次方程：形如 或或，其中为同次齐次函数。三种形式可相互转换，但积分时有难易之分。齐次函数：若，则称次齐次函数。齐次方程可以通过变换代换化为变量可分离方程。如方程令即令 则，将它代入方程中，得： 求解此变量可分离方程，并代回变量即得原方程的解。一

26、阶线性微分方程：称为一阶非齐次线性微分方程称为一阶齐次线性微分方程，也称为非齐次方程所对应的齐次方程。利对应齐次方程的通解，将通解中的常数变易成待定函数来求非齐线性方程的通解或特解的方法，称为常数变易法。此种方法对高阶线性非齐次方程也适用。利用常数变易法可得非齐次方程的通为：非齐方程的通解：若把上式改写为两项之和得： 易知右端第一项是齐次方程的通解，可验证第二项是非齐次方程的一个特解，由此得到：一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。这个结论对高阶线性微分方程仍然成立。同理可得：的通解为贝努利方程：形如 | 或作代换：，可变为 | 作代换 | 全微分方程（恰

27、当方程），其中或此时通解为，可用下三种方法求得：线积分： 偏积法：利用得，且用微分公式：，非全微分方程也可化为全微分方程求解。定义 对于非全微分方程，若存在连续可微函数，使方程变为全微分方程，则称函数为方程的积分因子。积分因子只要存在，则不唯一。积分因子在什么情况下才存在呢？只要方程有解，则积分因子一定存在。如何求积分因子呢？这里给出两特殊情况下积分因子的求法：（1） 若，则有积分因子（2） 若，则有积分因子可降阶的高阶微分方程直接积分型不显含未知函数的方程解法：令，原方程变为不显含自变量的方程解法：令，原方程变为作代换可化为前面已知类型二阶线性微分方程 二阶线性齐次方程解(1)二阶线性齐次方

28、程解的结构定理 若，是两个线性无关的解。则为该方程的通解。（可推广到阶线性微分方程）此定理告诉我们，求二阶齐次线性方程的通解可转化为求它的两个线性无关的特解。两个函数和在线性无关常数。进一步，若知道齐次方程的一个非零解，利用刘维尔公式可得另一个线性无关的解(2)二阶常系数线性齐次方程的解法形如：（其中为常数）的方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程。由于一阶线性微分方程的解是指数函数，因此，我们可假设高阶方程的解也具有指数函数的形式，其中待定，并注意指数函数的各阶导数只相差一个常数因子，将它代入到方程得：从而我们得到结论：是方程（1）的解是方程的根。从而将求微分方程的解转化为求代数方程的根，该代

29、数方程称为常系数线性齐次微分方程的特征方程，其根称为特征根。注意微分方程的结构形式与其特征方程的结构形式的特点相似。综上所述，求解二阶常系数线性齐次微分方程的步骤为：1。写出对应的特征方程；2。求出特征方程的根；3。据特征根的不同情况，写出微分方程通解 （1）实根，通解为： （2）实根，通解为： （3）共轭虚根，通解为2 二阶线性非齐次方程(1)二阶线性非齐次方程的解的结构 （LN） （LH）性质1 如果是（LN）的解，是（LH）的解，则是（LN）的解。性质2 非齐线性方程（LN）的任意两解之差必为对应齐线性方程（LH）的解。定理6 设是（LH）方程的两个线性无关的解，y*为（LN）方程的一个

30、特解，则（LN）的任意解可表为例 已知二阶线性非齐次微分方程的两个特解为，对应的齐次方程的一个特解为，求该方程满足初始条件的解。解：由已知对应齐次方程的两个线性无关的特解为所以方程的通解为满足初始条件的特解求非齐次方程的特解，有时借助于下面两个定理来求要方便一些：定理7 设分别为和的特解，则为的特解。例 求方程的通解。解：的通解为的一个特解为（如何找到的？设待定函数是方程的解，为什么这么假设？）的一个特解为（设待定函数是解，为什么？）原方程的通解为：(2)二阶常系数线性非齐次方程的解法 非齐方程特解设为 ， 并注意： 设其特解为：其中，1.求微分方程的通解。2.方程的通解为 5.求解微分方程解：变形为，该方程为贝努利方程。令，变为通解为6.求可微函数，使且使平面曲线积分与路径无关。解：由得微分方程令得通解为，利用初始条件得特解7.求微分方程的通解。解：