悬索桥重力刚度法

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1、悬索桥的发展与设计计算理论摘要:本文 先介绍了现代悬索桥的发展历史，而后主要从悬索桥理论发展入手，介绍了弹性理 论、挠度理论、有限位移理论的基本原理，并通过对三者的比较分析，说明了在现今 计算机高速发展和应用的背景下，有限位移理论是对悬索桥结构进行分析的最适合的 理论。关键词：悬索桥；弹性理论；挠度理论；有限位移理论我国四川省的灌县 早在前年之前就出现了竹索桥。17世纪出现铁链作悬索的桥梁，我国四川省大渡河 上由9条铁链组成的泸定桥是在1 706年建成的。19世纪 时又发展为采用眼杆与销 铰作悬链的桥梁。英国1826年建成的跨度为177询勺麦地 海峡桥；1864年建成的 跨度为2140勺勺克利

2、夫顿桥都是属于这种形式，这两座古老的悬索桥至今尚在使 用。利用钢缆绳、钢铰线秘钢丝等现代钢材来制造的悬索桥则基本上是进入20世 纪后才开始出现的。现代悬索桥的发展迄今出现了四次高峰。在第一次与第二次高峰之间的20世纪 40年代.因美国塔科马老桥的风毁事故.夫跨度悬索桥的修建停顿了约有10年之 久。但在此期间由手悬索桥的抗风设计，引入了风洞试验雨使悬索桥的发展 在20世 纪50年代得到复苏，并分别在60年代与80年代进式第二次与第三次高峰。进入 90年代之后，在全球范围随又出现新的建设高峰。即目前的第四次高峰。以下对 四次高峰，包括挫折期与复苏期.分别作概略的叙述。1883年在纽约建成的主跨为4

3、860勺勺布鲁克林桥是美国，也是世界首座跨度 较大的悬索桥。此桥除了具备现代悬索桥的缆索体系外.还混有若干加强的斜拉 索。因此，严格地说，它不是一座纯粹的悬索桥。首先是1903年建成的主跨为 488m的威廉姆斯堡，其次是1909年建成的主跨为448m勺曼哈顿桥。这两座桥都是 纽约 市区跨越东河.并且都是在空中甩编丝轮将钢丝编拉后组成主缆的。这种在空 中编丝成缆的方法被称为空中编缆法.简称AS法。而悬索桥的发展又离不开与其密切相关的计算理论的发展。悬索桥的计算理论 也已有上百年的历史，它随着时代的发展与科学技术的进步，特别是二次世大战以后 的电子计算机技术的发展，有着非常大的演变与发展。19世纪

4、末至上世纪初的悬索 桥早期的计算是采用弹性理论来进行的。当时世界上跨度最大的布 鲁克林(Brooklyn) 桥为代表的许多美国的悬索桥都是以这个设计理论来进行计算的。从上世纪初到上世 纪80年代前后，悬索桥的计算改用挠度理论来进行。最早采用这个计算理论来进行 设计的是1909年建成的美国纽约跨越东河的曼哈顿(Manhat tan)桥。从此之后，挠 度理论一直被应用于大跨度悬索桥的设计计算，包括一些跨度超过1000m曾打破世 界跨度记录的金门大桥等。从80年代前后开始，由于电子计算机得到高速的发展和 广泛的应用，为了更快速和更精确她来分 析结构地受力行为，所有现代用于结构分析 的计算理论都要求能

5、使用电子计算机来进行。因此，悬索桥的计算分析也不例外，开 始出现了有限位移理论。1，现代悬索桥的发展简史20世纪40年代悬索桥发展史上的挫折进入40年代后，美国悬索桥的步子放慢了，这是由于塔科马老桥的风毁事故造 成的。1940年在华盛顿州建成主跨为853m勺塔科马老桥.此桥的加劲梁不 是钢桁梁 而是下承式钢板梁。由于加劲梁断面抗风稳定性差，在建成当年的11月7日近中午 的时候被风吹断。20世纪50年代悬索桥发展的复杂局面1940年塔科马老桥发生事故之后.在美国乃至世界各国对悬索桥建设事 业的 发展整整停止了 10年之久。但以此为转机，成立了塔科马桥的事故调查委员会，经 过利用风洞进行三维模型试

6、验，肯定了无衰减的反复力逐渐累积起来以后 可以发生 极度的共振乃至破坏。1950年按原有跨度重建塔科马新桥。在新桥的设计中，对 力13劲梁利用风洞试验作了反复的研究比较后.决定将加劲梁改为钢桁 梁.梁的高 跨比从1 / 350提高到1/85、宽跨比从1/72提高到1/47，并在桥面部分开有 若千带状孔隙.以进一步改善抗风性能。通过塔科马新桥的设计，悬索桥的模型 风洞试验从此在设计中成为必要的手段。50年代中，美国克服了风灾挫折后重整旗鼓再度致力于修建大跨度悬索桥。 1951年首先于威明登建成主跨为655 m的特拉华纪念桥。1957年又建成主跨为 1158 m的麦基纳克湖口大桥和主跨为610 r

7、n的华尔特.惠斯曼桥。在吸取塔科马老桥惨痛教训的同时.美国还重新检查了一些在30年代所建悬 索桥的抗风能力。为了提高安全度，将加劲桁粱的离跨比与宽跨比分别为1/68与1 似7的金门大桥的横联作适当加固，还将布朗克斯-惠斯登桥的高跨比仅为1 /200 的加劲梁钢板梁改造为1/92的钢桁梁。以上的重建。加固与新建形成了悬索桥 复杂的局面。20世纪60年代欧美的悬索桥进入60年代后，美国首先在1960年于纽约的圣.劳伦斯河上建成跨度655渤勺 Seaway Skyway桥；1961年接着在纽约的东河上建成跨度为549nt勺hron gs-Neck 桥:1964年又再显身手于纽约海湾建成烹跨超过金门大

8、桥18 m的维拉扎诺海峡桥。 此桥曾保持了 17年之久的世界桥梁第一大跨度记录。直到1981年才被英国的主跨 为1410m的恒贝尔桥打破。欧洲最早的大跨度悬索桥是60年代前夕法国建成的主跨为608m的坦卡维尔 桥。其后，英国在1 964年与1 966年先后在苏格兰和布里斯托尔建成主跨为1006m 的福斯公路桥与主跨为988m的首次采用钢箱粱与斜吊索闻名于世的塞文桥。葡萄 牙于1966年也在其首都里斯本建成主跨为1013卅1勺4月25日大桥。20世纪70年代一80年代的欧洲与日本的悬索桥在欧洲，1970年丹麦建成主跨为600*1勺小贝尔特桥；1973年又在士耳其伊斯 坦布尔建成主跨为1074渤勺

9、博斯普鲁斯海峡第一大桥；1981年英国建成世界第一大 跨度1410*1勺恒贝尔桥，并一直将此记录保持到1998年.泡达到17年之久。除 此 之外，土耳其于1988年又建成主跨为1090渤勺博斯普鲁斯海峡第三桥。在日本，首先经过修建三座悬索桥的实践，然后在80年代通过本渊四国联络 桥的建设.修建了一系列的大跨度悬索桥。到80年代为止，在本洲四国联络桥的 初期建设审已经建成了六座大跨度的悬索桥。这六座桥是位于尾道母治线上的因岛 大桥大岛大桥：位于神户-鸣门线上的大鸣门桥以及位于儿岛一一坂出线上的下津井 天桥，南备赞犬桥和北备赞大桥。综上所述.在70 80年代共出千手米以上的大跨度悬索桥四座，形成悬

10、索桥发 展史上的第三次高峰。其代表是英国的恒伯尔桥与日本的南备赞大桥。20世纪90年代以亚洲为主的悬索桥进入20世纪90年代.世界悬索桥的发展中心已从欧美移至亚洲。首先是日本在本四联络桥的后期建设中出现再度破记录的神户一鸣门线上主跨达1 990m的明石海峡大桥，以及尾道-今治线上的来岛一桥、二桥与三桥，其中来岛二桥与三桥的 主跨都越过千米.分别为1020m与1030m此外，在日本的东京湾上与北海道已分别 建成主跨为570m勺彩虹桥与主跨为720m勺自鸟大桥.其中彩虹桥的荷载 规模与结 构规模都是相当巨大的。其次是20世纪90年代初开始.中国也进入发展悬索桥的队伍之中。20世纪来 建 成的主跨为

11、1385卅1勺江阴大桥与1998年建成的主跨为1377n香港青马大桥分别 已插身世界犬跨度桥梁序列中的第六位与第七位。中国除了上述两座跨度大于千 米的悬索桥之外.已经在90年代中建成主跨为648nt勺厦门海沧大桥；主跨为900m 的西陵江大桥；888m的广东虎门大桥；452m的广东汕头海湾大桥及450n!勺重庆丰 都长江大桥。进入21世纪，又相继修建了数座跨度超千米的悬索桥，2005年主跨 1490*1勺润杨桥，2007年1280卅1勺阳逻大桥，以及于去年2009年刚建成的世界 悬索桥第二的西堠门大桥，其主跨达1650m2,悬索桥的计算理论简介2.1传统的“弹性理论简介在悬索桥的建造历史上，大

12、约追溯到19世纪以前，当时还没有运动力学分析计 算的理论与方法。直到1823年法国的Navier才总结发表了无加劲梁悬索桥的计算理 论。随后在1858年，英国的Ran-kine才提出了针对有加劲梁的悬索桥计算理论。大 约在1880年前后，在美国以Levy为代表的学者试用Navier及Casgliano建立的结构 分析理论来分析悬索桥的内力，在欧洲Navier和Castigliano本人也尝试将分析拱的 力学理论用于分析悬索桥的内力，这就逐渐建立了最初的悬索桥弹性理论。后又经 Steinman整理为现在习用的标准形式的弹性理论计算公式。用弹性理论对悬索桥进行结构计算分析时，应符合以下条件：假定主

13、缆为完全柔性，吊杆沿跨密布；假定主缆曲线形状和纵坐标在加载后保持不变；加劲梁沿跨径悬挂在主缆上，其截面的惯性矩沿跨径不变；一般加劲梁是在主缆和吊杆安装完毕后才分段吊装就位，最后连接成整体，所以加劲梁等恒载已由主缆承担，加劲梁中仅有车辆活载、风载和温度 变化等可变荷载 产生的内力。根据以上假设可以得到以下结果：(1) 水平力影响线H1.6 ffEcAc L VU cos式中：l一悬索桥计算跨度。lso 一边跨主缆长度E 一加劲梁弹性模量I 一加劲梁惯性矩Ec 一主缆弹性模量f 一主缆垂度Ac 一主缆截面面积.一边跨主缆倾角 I（2）x处主缆内力TT = 一 cos一 X处主缆与水平夹角（3）x处

14、加劲梁弯矩MxMx = Mo-Hy式中：Mo 一加劲梁x截面处简支梁的弯矩（4）x处加劲梁剪力Qx = Qo - Hta n式中：Qo-加劲梁x截面处简支梁的剪力弹性理论是在不考虑结构体系变形对内力影响的前提下推导出来的计算方 程，而 实际上悬索桥结构的变形对内力是有影响的，体系的挠曲变形将减少加劲梁的弯矩和 悬索水平拉力。按弹性理论计算出的悬索内力和加劲梁弯矩，将随着跨径的增大而减小。因此，在跨度小于200m的悬索桥设计中，当加劲梁高度取为跨 径的1/40左右时，采用弹性理论是合适的。对于跨度大于300m以上的悬索桥，采用弹 性理论计算，所得结果比用挠度理论计算偏大20%- 50%用弹性理论

15、对于大跨径悬索桥设计计算时有两个明显的缺点：一是未考虑到 恒载对悬索桥刚度的有益影响；二是未考虑悬索桥结构非线性大位移影响，使按弹性 理论做的设计太保守，偏于安全，浪费材料。因此，当设计200m以上大跨径悬索桥 时，应采用计入体系变形对内力影响的挠度理论方法计算或有限位移理论计算。弹性理论是悬索桥最早的计算理论，它使用超静定结构计算方法，将悬索桥的结 构看作主缆与加劲梁的结合体，在计算中只考虑由荷载产生的新的构件之间的平衡， 其特点是恒载与活载的内力计算方法没有差别，也就是在计算活载内力时没有计入恒载产生的初始内力，此理论已经对悬索桥的整体刚度作出贡献。此理论是建立在不考虑荷载的产生会影响内力

16、大小与方向的基础之上。因此，弹性理论是基于变形非常微小而可以忽略的计算假设，只能满足早期跨度较小且加劲梁刚度相对较大的悬索桥的使用2.2挠度理论在19世纪上半叶，人们在用弹性理论设计悬索桥时，已意识到受均匀荷载的悬 索桥当再承受一集中荷载时，其行为是非线性的。但一直到1862年才由一些学者提 出了无加劲梁的悬索桥挠度理论。有加劲梁的悬索桥的挠度理论为奥地利Melan教授 首创于1888年,后再1906年作了改进。1909年并将该理论首次应用 于曼哈顿悬索 桥设计。其后Timoshenk于1928年利用收敛的三角级数建立了另一种形式的挠度 理论，D. B. steinman作了些改进，成为国内外

17、常用的一种方 法。挠度理论方法的假 设与弹性理论方法假设基本相同，仅考虑缆索的非线性变形对内力的影响，它们都假 设吊杆密布,即古典膜理论。Pugsley采用按等间距设 计吊杆的实际结构模型进行计 算，这种理论称为“离散吊杆理论”。还有考虑吊杆变形、悬索桥在荷载下的翌向变 形和水平方向变形等因素的一些计算方法。采用挠度理论来计算悬索桥时，考虑原有 荷截（如恒载）已产生的主缆轴力对新的荷载（如活载）产生的翌向变形（挠度）将产生一种新的抗力。这就是说，这种计算理论是在变形之后再来考虑内 力的平衡。用挠度理论来计算活载内力时，已经计入了恒载内力对悬索桥的刚度起到 提高作用。在挠度理论中的计算假定为：恒

18、载沿桥梁纵向是均匀分布的； 在恒载作用下，加劲粱处于无应力状态（吊索之间的局部挠曲应力外）； 吊索是翌向的，且是密布的；在活载作用下，只考虑吊索拉力，但不考虑吊索的 拉伸和倾斜；加劲梁为直线形，并且是等截面；只计主缆及加劲梁的翌向变形（挠度），但不 考虑吊索的纵向变形。挠度理论大多用手算，所以用起来特别复杂。为了简化挠度理论的计算工作， 国内外一些学者曾提出了一些简化的计算方法。常用方法有代换梁法、线性挠度理 论和重力刚度法等。下面重点介绍重力刚度法。由于悬索桥加劲梁的弯曲刚度通常远小于具有很大轴力的主缆刚度，如果忽略加 劲梁的弯曲刚度，而把悬索桥当作一个单纯的索结构来分析，则分析方法大大简化

19、， 而计算结构也很实用，这就是对悬索桥进行近似分析的又一方法，称之为重力刚度 法。最早提出重力刚度概念的是罗柏林（Roebing）,他认为：悬索桥的恒载越大， 则其承受活载时抵抗变形的刚度越好。其后，哈德斯狄（Hardesty）和韦斯曼 （Wessman）认为：悬索桥结构分析中，主缆是重要构件，而加劲梁是次要构件;并基 于对无加劲梁的分析和对最不利加载位置的经验估计提出了跨度四分点和二分点处挠 度和弯矩的近似计算公式,詹宁斯J ennings）又沿着这个思路建立了称之为重力刚度 法的近似分析方法。近年，我国青年学者陈仁福在修正了詹 宁斯方法的弯矩计算错误 的基础上进一步加以扩充，并提出了利用重

20、力刚度概念 作影响线和包络图的方法。1,重力刚度的定义为便于更清楚认识悬索的重力刚度，现将悬索桥的加劲梁略去，仅按一个单纯的索结构进行分析，如图1所示，在沿跨径1,有均布荷载的作用下，悬索的平衡 方程可通过以下推导获得：LLLLLLL1 -LLLU “由M B=。得VA 1 q1 VB 2M X = 0得由 1(qix -H 2V1 qi221qi21 qlx =Hy 22qx212、2即 HMx式（2）中的分子MX0恰为同跨简支梁X处的弯矩值，可以这样认为，悬索的几何 形状是与同跨简支梁弯矩的图形相似.即：(3a)现对式（3）两边求导得：-Hy=q将H作线性处理，则在恒载p和活载q共同作用下

21、，同理可得:H （ yq pH-HqHp式中V为活载作用引起的悬索变形，V与H p为非线性关系，作如下推导:V-q p q+HHHqIIVpqHpH f一q若将此变形量视为两部分组成:V *1 _v2. （4）V1 - pHqHP.（5）.（6）HHq式（5）和式（6）为典型的张力弦基本微分方程V1, V2分别为恒载和活载作用下悬索的变形量V2是在均布荷载作用下，其变形可按二次抛物线表示:v 2 axl (1) (7)2l上式中a未知，现引入挠度理论悬索方程的表达式:Hpls2tLT 1 j vdxEAr 为简化计算，暂不考虑温度的影响，则上式可简化为:11vdxEA1式中ry，而 y，代入上

22、式得:H乂 vdxEAHq按无伸长相容方程： vdx=011xVax1 (1) dx = 00 121则V1101 ax1dx2ax 2 dx2=a131212i则 a 二 丁 1 (8)0 Va代入式(7)得：6x(1- x),v 2 30V1l0现按集中荷载作用时，其悬索的形状仍然与同跨径简支梁弯矩图相似可按同跨径简支梁在集中荷载P作用下的弯矩除以H求得V。_ Px(l X)1V1 ，积分 o v1 = V11 / 2v = V1- V2 Px(1 -x)Hl则二Px(1 -x)HlPx (1 x) 6x(1 x)HTV16x(1x)V1i23x(1 _x)、* 1 2P1 33x(1 -

23、 x)x(1 -x)H12厂 一12P1 3H1其中_3x(1 x) x(112为只与跨径和荷载作用位置有关的系数与简支梁受翌向集中荷载作用下的挠度公式1 PI -48进行比较，可见悬索桥重力刚El度的定义式为 HI 2挠度理论认为主缆在恒载作用下取得平衡时的几何形状（二次抛物线）将因 活载的作用而发生改变。主缆因活载作用而增加的拉力所引起的伸长量也应当在计 算中加以考虑。用挠度理论计算所得内力比用弹性理论要小得多，根据悬索桥跨度大小，加劲梁的刚度大小，以及活载影响与恒载影响的比例，一般挠度理论的 内力计算值比弹性理论减少1/2-1/10，因此，采用挠度理论来设计大跨悬索桥可比弹 性理论大大节

24、约材料。这也是相当长的一段时期内挠度理论在大跨度悬索桥设计计 算中一直起主导作用的原因。挠度理论的基本微分方程为非线性，由于受力明确，考虑了主要问题，长期以 来作为大跨度悬索桥的设计理论，受到广泛应用。但假设中忽略了吊索的伸长、吊 索的倾斜、吊索节点的水平位移、加劲梁的剪切变形等非线性影响，它的精度受到影响，随着跨径的增大和活载与恒载比减小，其误差将增大。2.3有限位移理论当现代悬索桥的跨径进一步增大时，加劲梁的刚度不断相对减小。当加劲梁的 高跨比不小于1 /300时，采用线性挠度理论分析悬索桥产生的误差将不容忽视，为 此，有限位移理论开始应用于现代悬索桥的结构分析中，基于矩阵位移法的有限元技

25、术更能适应解决复杂结构的受力分析。一些有代表性的研究成果逐渐完 善和发展了有限位移理论，应用有限位移理论的矩阵法可以综合考虑体系节点 位移 影响和轴力效应，把悬索桥结构分析方法统一到一般非线性有限元中，是目前大跨悬索桥分析计算中普遍采用的方法。有限位移理论可以较全面的考虑结构位移引起悬索桥几何非线性的影响 ，不 仅包含了挠度理论的假设，而且考虑了恒载初始内力对主缆刚度的影响，使计算结 果更接近结构实际受力，并可以采用计算机进行准确计算。其主要影响因素有：恒 载作用下的结构位移；恒载作用初始内力下的结构位移；恒载初始内力对主缆 刚度 的影响。其基本假定如下：主缆的无应力长度不交；保持索塔在成桥状

26、态下不承受不平衡水平力；主缆在索鞍的永不脱离点之间及锚锭处的主缆锚固点间的无应力长度保持不； 变；任何时候结构的任何位置保持平衡状态；主缆为完全柔性的，既不受压力也不受弯矩，因而其截面抗弯刚度对缆形的影响 可以忽略；主缆的全部应力在比例极限以内符合虎克定律；考虑主缆受拉会伸长，截面面积会缩小，受力前后的单位体积质量会发生变化 等 因素；考虑主缆的几何非线性基于矩阵位移法的有限位移理论更能适应解决复杂结构的受力分析，它不仅收 敛迅速和分析严谨，并且特别适合于电算，使用ansys命令流计算。有限位移理论 较全面地考虑了荷载作用下的结构大位移、缆索自重垂度的影响及恒载初始内力对 主缆刚度的影响，因而

27、计算结果精度更高。3仑吉论 本文简要介绍了悬索桥的发展历程及悬索桥的计算理论的发展，弹性理 论、挠度理论和有限位移理论的基本原理。用弹性理论设计悬索桥时，由于没有考 虑恒载对悬索桥刚度的有益影响，也没有考虑缆索非线性大位移的影响，因而所得 结果偏于安全。这不仅浪费材料，而且使得悬索桥的极限跨度受限。因此，在设计 跨 度小于200m的悬索桥时，用弹性理论是适合的。与弹性理论相比，挠度理论考 虑了缆索在活载作用下由于形状的改变而产生的悬索水平拉力对结构二阶影响，这 种非线性对结构有卸载作用，使悬索桥中的缆索、加劲梁的内力变小，计算结果更 加符合悬索桥实际受力变形、情况，是一种较精确的计算理论。但挠

28、度理论忽略了 吊索的伸长、吊索的倾斜、吊索节点的水平位移、加劲梁的剪切变形等非线性影 响，并且挠度理论多采用手算，不仅效率低而且容易出错。因此，当跨度超过600m 时，采用挠度理论会引起不容忽视的误差。有限位移理论是伴随着计算机的发展而 广泛应用起来的，它综合考虑了体系结点位移影响、轴力效应及缆索垂度的影响，把 悬索桥结构统一到一般非线性有限元中，是目前大跨度悬索桥普遍采用的分析方法。参考资料：1 钱冬生.大跨悬索桥的设计与施工.成都：西南交通大学出版社.1999.2 李亚东.桥梁工程概论.成都：西南交通大学出版社.2006.3 裘伯永，盛兴旺，乔建东，文雨松.桥梁工程.北京：中国铁道出版社.20014 严国敏.现代悬索桥.北京：人民交通出版社.19995 徐君兰，向中富.关于悬索桥的重力刚度.重庆交通学院学报.2000.6