第一章 索洛增长模型

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1、第一章索洛增长模型一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。几乎对于所有有关增长的分析 而言，索洛模型是其起点。理解该模型实质上便是理解增长理论。但该模型也存在缺陷：它 不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。(按 边际产品取得收益的传统途径)。K (t) = F (K (t), A (t) L (t)假设：(1)生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的(F (cK , cAL ) = cF (K, AL ), V c 0) ；(2)除资本、劳动与知识以外的其他投入是相对不重要的，

2、特别地，模型忽略了土地与其他自然资源。规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析：当 c = 1/AL, F (cK , cAL) = cF (K, AL) n F (K ,1) = F (K , AL)，其中，K 是 AL ALAL单位有效劳动的资本量，上F (K , AL)是单位有效劳动的产出。定义k = ，y = Y / AL， ALAL及y = F (k,1) n y = f (k)，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。人均收入：Y / L = A (Y / AL ) = Af (k)紧凑型生产函数f (k)假定满足f (0) = 0， f(k) 0，

3、 f(k) 0，f( k) 0，那么，s的增加是否在长期内提高或降 d s低消费，这取决于资本边际产品f( k *)是否大于或小于(n + g +5 )。当k的上升，每单位 有效劳动的投资的增加必定会等于(n + g +5 )与k的乘积，以便使增加可被维持。如果 f(k *)是小于(n + g +5 )，那么，由增加的资本所获得的产出的增加并不足以把资本存量 维持在较高水平上，消费必定下降以便保持较高的资本存量。如果f(k *)是大于 (n + g +5 )，那么，由必存在相当高的产出去保持k处在较高水平上，消费上升。(s的上升是否提高或降低消费取决于k是处在f (k)的斜率的大小，如果f(k

4、*)大于 持平投资的斜率(n + g +5 )，则s的上升提高消费；f(k *)小于持平投资的斜率(n + g +5 )，则s的上升降低消费，f(k *)等于持平投资的斜率(n + g +5 )一平行，则s的 的边际变动不会对消费产生影响，且在各种平衡增长路径上，消费处在其最大的可能水平上。此时的k*值就是著名的资本存量的黄金律水平。3、储蓄在长期内对产出的影响(定量分析):(1)=0的条件界定的，因此，k*满足:Sy* = f,(上*)祉*(s, n, g,5 ) d s为求出区，需先求出座1，我们知道，k是由kS sS ssf (k *( s, n, g,5 ) = (n + g + 5

5、) k *( s, n, g,5 )对上式求关于s的导数，则得出：sf( k *)也 + f (k *) = (n + g +5 )也 SsSsdk*f(k*)(3)(2)n =d s(n + g + 6 ) 一 sf (k *)把(2)式代入(1)式得到：a y * =f(k *)f( k *)d s(n + g + 6 ) 一 sf (k *)将(3)两边同乘以s / y*转变为弹性，另利用sf (k*) = (n + g + 6 )k*去替换s，得到:s ay *sf(k*) f (k*)y * asf (k*) (n + g + 6 ) - sf (k*)=(n + g +6 )k*f

6、 (k*)f (k*)(n + g + 6 ) sf (k *)=(n + g +6 )k*f，(k*)f (k *)(n + g + 6 ) (n + g + 6 ) k * f( k *) / f (k *)=k * f，( k *)f (k*)(1 k* f(k*) / f (k*)由于k * f( k *) / f (k *)是在k = k *处的产出关于资本的弹性。用以k (k *)表示这个弹性， 即可获得：s a y *a (k *)y * a s1 a (k *)如果市场是竞争性的，并且不存在外部性，资本获得其边际产品，那么，在平衡增长路 径上的每单位有效劳动的资本获得的总产出量

7、是k*f(k*)。因而，如果资本获得其边际产 品，平衡增长路径上分配给资本的总收入份额是k* f(k*) / f (k*)或ak (k*)。(储蓄率的产 出弹性，ak (k*)较小意味着实际投资曲线更弯曲。结果，曲线的向上移动只会把它与持平 投资线的交点向上移出一点；及k的变化对y*产生较小的影响)。4、收敛速度k怎样快地趋向k*。我们知道k是由k决定的，因为k = sf (k) (n + g + 6 )k。因此，可写出k = k(k)。当k趋于k*，k趋于0。在k = k*附近，k(k)的一阶泰勒展开式的近似 值为：I *( k k *) k = k设入表示W) |，那么，上式可变为：d k

8、 k=k*k -人(k(t) - k*)上式表示，在平衡增长路径附近，k大致同k k*的距离成比例的速度趋向k*，即k(t) k*的增长率大致不变且等于-人，这意味着(微分方程解)：k(t) w k* + e上k(0) - k*，其中 k(0)是k 的初始值。要求出入？，对k = sf (k) (n + g + 6 )k求关于k的微分，并且在k = k*处所形成的表 达式取值，得到：,a k (k)p1 k=k *=sf (k*) - (n + g + 6 )=(n + g +6 ) - sf (k*)(n + g +6 )k*f (k*)=(n + g + 6 )f (k *)=1-a k

9、(k *)( n + g +6 )因此，k以速率1-a k (k *)( n + g +6 )收敛于其平衡增长路径值。同样y以k趋向k 的 速率趋向 y *，即 y (t) 一 y * w e-兀y (0) 一 y * 。(假定n + g +6 w 6%，即n w 1% 2%，g w 1% 2%，即用每个工人的平均产出的增长率，6 w 3% 4%，a (k *) = 1/3 n X = 4%，k与y每年走完其各自k*与y *的剩 余距离的4%，且大致花18年的时间走完与其平衡增长路径值的一半距离)索洛模型的核心结论是：如果在市场中资本所要求的报酬是其对产出的贡献，那么，物 质资本积累的变化并不

10、能解释世界范围的经济增长的显著部分或国家间的收入差别。例如， 从直接方式看：如果两个经济间每工人平均产出的差异为X倍，那么两个经济间每工人平 均产出对数的差为ln X，由于每工人平均产出关于每工人平均资本的弹性是ak ,每工人平 均资本对数必须有数量为(ln X )/a k的差距。那么，每工人平均资本(k)的差异为e x )/仪火 或 X 1/aK(由该式得到：( X / X )/(AK / K) = a , ln X w AX / X，In K w AK / K，如果X=10倍，ak =1/3，那么，k差异为1000倍，这是不现实的。从间接方式看，由于 模型无法依据每工人平均资本的差异来解释

11、每工人平均产出的较大的变化，因此，考虑资本 所需要的差额意味着资本报酬率的巨大差异(卢卡斯，1990)。如果市场是竞争性的，资本 的报酬率等于其边际产品f (k)减去折旧8。用柯布一道格拉斯生产函数来说明这一点，即f (k) = k a,产出关于资本的弹性为a，资本的边际产品为：f(k) = ak a-1 = a y w-D/a , 即资本的边际产品关于产出的弹性为-(1 -a )/a。如果a = 1/3，每个工人平均产出的10倍的差额来源于每个工人平均资本的差异，这意味着资本的边际产品的100倍的差异(现实 并不存在这种报酬率差异的证据)。因此，每个工人平均实物资本的差异无法说明我们所观察到

12、的每个工人平均产出差异， 或者我们所观察到的每个工人平均产出差异能由每个工人平均实物资本的差异来解释。当 然，索洛模型中，将每个工人平均产出变化的其他潜在来源是劳动的有效性。但这变量是外 生的。A是什么？是杂物袋。五、经验性应用在索洛模型中，第个工人平均产出的长期增长只依存于技术进步。但短期增长或者来源 于技术进步或者来源于资本积累。1、增长因素分析法Y (t) = F (K (t), A (t) L (t) a y (t) a y (t) a y (t) n Y (t) = K (t) + L (t) + A (t) a k (t)a l (t)a a (t)k (t) a y (t) k

13、(t)l (t) a y (t) l (t)a (t) a Y (t) A (t)+y (t)a k(t)k(t)y (t)a l (t)l (t) y (t)a A (t)A (t),、K (t),、L (t)=a (t)+ a (t) + R (t)Y (t)L(t),、K (t)L(t)=Y (t)L (t 厂侦 K * k (t)L (t) +其中，R (t)是索洛剩余。上式是指每个工人平均产出的分解为每个工人平均资本的增 长的贡献与剩余项一索洛残值，它有时被解释为对技术进步贡献的度量。2、收敛性鲍默尔(1986)检验16个工业化国家间由1870-1978年的收敛性模型，如下：YYYl

14、n( N)i ,1978 - ln( N)i ,1870 =。+ b ( N)i ,1870 上式中，如果b为负，则存在收敛性，否则不存在收敛性。六、环境与经济增长1、自然资源与土地：一种基本情形:Y (t) = K (t)a R(t)p T (t)Y A(t)L(t)1-a-P-y a 0, p 0, y 0, a + p + y 0。由于在生产函数中资源与土地的出现意味着K / AL不会收敛于某一值。考虑到资本运动方程：K (t) = sY (t)-5 K (t)，意味着K的增长率为：.切2 = s-5，为使K的增长率不变，Y / K必定不变，那么，Y与K的增长率必K (t)K (t)定相

15、等。对 Y (t) = K (t)a R (t)P T (t)Y A(t)L(t)1-a-Y 两边取对数，得到：In Y (t) = a In K (t) + P In R (t) + Y In T (t) + (1 -a - P - Y )ln A (t) + In L (t)给上式两边求时间的导数，得到：g =a g + p g + Y g + (1 -a - p - Y ) g+ g Y (t)K (t)R (t)T (t)A (t)L (t)二 gY(t)= a gK(t)-P b + (1 以-P - Y )(n + g)如果经济处在一个平衡路径上，gY(t)与gK(,)一定相等，代

16、入上式得：(1 - a p -Y )(n + g) p bg bgp=Y (t)1 - a在平衡增长路径上每个工人平均产出增长率为：g bgP= g bgP g bgP(1 - a - p - y )(n + g) - P b=n1 a(1 - a - p - y ) g - P b - (p + Y ) n1 a上式表明，平衡增长路径上每个工人平均收入的增长率或者为正，或者为负。即资源与 土地的限制会引起每工人平均产出最终下降。一种解释性计算：将原假设T (t) = 0与R (t) = -bR (t)由假设T (t) = nT (t)与R (t) = nR (t)替代，这种假设 经济中，不存在资源与土地的限制一一二者均同人口同增长。那么，使用前面推导方法可得 出：(1 -a - P - Y ) gg bgp =Y/L1 - a源于资源与土地限制的(增长阻力)等于这种假设情形中的增长与资源和土地限制情形 中的增长之间的差额：D rag = gbgp - g bgpY / LY / L=（1 -a -。-y）g _ （1 -a -。-y ）g -。b - （。+y）n1 a1 a8 b + （。+ y ） n1-a因此，增长阻力随资源份额（8 ）、土地份额（y ）、正在下降的资源利用率（b ）、人口 增长率（n）与资本份额（a）而递增。