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1、学习必备欢迎下载期末复习专题三：全等三角形与轴对称全等三角形1.全等三角形的概念及性质；2.三角形全等的判定；3.角平分线的性质及判定。已知两边找第三边SSS找直角HL找边的对角AAS知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：找夹角SAS边为角的对边找任一角AAS找夹角的另一边SAS已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角ASA找夹边ASA已知两角找任一对边AAS切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例1.如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，
2、BDDF，AE=BF，AC=BD。求证：DACFDBDE。知识点二：构造全等三角形例2.如图，在DABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：2=1+C。例3.如图，在DABC中，AB=BC，ABC=90。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE,EF和CF。求证：AE=CF。知识点三：常见辅助线的作法1.连接四边形的对角线例4.如图，AB/CD，AD/BC，求证：AB=CD。2.作垂线，利用角平分线的知识例5.如图，AP,CP分别是DABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN的平分线。学习必备欢迎下载AEB=FEDBE=DEADF=ADC
3、DF=DC1=2AP=AP1=2AP=AP例6.如图，D是DABC的边BC上的点，且CD=AB，ADB=BAD，AE是DABD的中线。求证：AC=2AE。解答过程：延长AE至点F，使EF=AE，连接DF在DABE与DFDE中AE=FEDABEDFDE(SAS)B=EDFADF=ADB+EDF，ADC=BAD+B又ADB=BADADF=ADCAB=DF，AB=CDDF=DC在DADF与DADC中AD=ADDADFDADC(SAS)AF=AC又AF=2AEAC=2AE。4.“截长补短”构造全等三角形例7.如图，在DABC中，ABAC，1=2，P为AD上任意一点。求证：AB-ACPB-PC。解答过程
4、：法一：在AB上截取AN=AC，连接PN在DAPN与DAPC中AN=ACDAPNDAPC(SAS)PN=PC在DBPN中，PB-PNBNPB-PCPBPC。法二：延长AC至M，使AM=AB，连接PM在DABP与DAMP中AB=AMDABPDAMP(SAS)PB=PM在DPCM中，CMPM-PCAB-ACPB-PC。5.怎样的两个图形才成轴对称呢？什么样的图形是轴对称图形呢？探索一：下列哪些图形是轴对称图形？它们的对称轴在哪里？学习必备欢迎下载探索二：下图是轴对称图形，但是其对称轴另一侧的部分被遮挡住了，该怎样将它补充完整呢？探索三：如图，存在一个三角形与已知三角形关于已知直线对称，该怎样画出这
5、个三角形呢？轴对称及作轴对称图形点击一:什么是轴对称？什么是轴对称图形？它们之间有什么区别？有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴轴对称是两个图形之间的关系，轴对称图形是一个图形具有的特征.点击二:图形的轴对称有哪些性质？图形的轴对称主要有下列两条性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对
6、对应点所连线段的垂直平分线轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称点击三：线段的垂直平分线有什么性质？线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合点击四：对称变换性质及坐标对称规律轴对称变换的性质：（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称
7、点。（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分学习必备欢迎下载点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，y）；点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（x，y）；点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（x，y）点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2mx，y）；点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2ny）类型之一:例1：如图，已知：ABC，直线MN，求作1B1C1A1B1C1与ABC关于MN对称类型之二:例2：如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且ACBD，若A到河岸CD的中点的距离为500cm问：（1）牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再
8、回家，试问在何处饮水，所走路程最短？（2）最短路程是多少？类型之三:例3：在锐角AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、DPCD的周长最短ECHPA0DBF学习必备欢迎下载练习：1、如图，已知：点D是ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，BAC=ADE=.如图1，当=60时，BCE=；AAAEBDCBDC图1EDBCE图2图3（图1）（图2）（图3）如图2，当=90时，试判断BCE的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；如图3，当=120时，则BCE=；2、在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+6与x轴交于A，与y轴交于B，BCAB交
9、x轴y于C求ABC的面积.BAOCxD为OA延长线上一动点，以BD为直角边做等腰直角三角形BDE，连结EA.求直线EA的解析式.EyBDAOx学习必备欢迎下载点E是y轴正半轴上一点，且OAE=30，OF平分OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，是判断是否存在这样的点M、N，使得OM+NM的值最小，若存在，请写出其最小值，并加以说明.yEFAOx3.如图，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l与直线l关于x轴对称，已知直121线l的解析式为y=x+3，1yl1（1）求直线l的解析式；（3分）2BA0Cxl2（2）过A点在ABC的外部作一条直线l，过点B作BEl于E,过点C
10、作CFl于F分别，333请画出图形并求证：BECFEFyBA0xC（）ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q学习必备欢迎下载Q，与y轴相交与点M，且BP，在ABC平移的过程中，OM为定值；MC为定值。在（这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。6分）yBP0xAMC4.（本题12分）如图，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2-2ab+b2=0.判断AOB的形状.如图，正比例函数y=kx(k0)的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AMOQ于M，BNOQ于N，若AM=
11、9，BN=4，求MN的长.yNBQMAOx如图，E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角ADE，P为BE的中点，连结PD、PO，试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.yBPDEAOx学习必备欢迎下载1、如图，已知：点D是ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，BAC=ADE=.如图1，当=60时，BCE=120；如图2，当=90时，试判断BCE的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；证明：如图，过D作DFBC，交CA或延长线于F.易证：DCEDAF，得BCE=DFA=45或135.FAAFEBDCBDCE
12、如图3，当=120时，则BCE=30或150；2、求ABC的面积=36；D为OA延长线上一动点，以BD为直角边做等腰直角三角形BDE，连结EA.求解：过E作EFx轴于F，延长EA交y轴于H.易证：OBDFDE；得：DF=BO=AO，EF=OD；AF=EF，EAF=45，AOH为等腰直角三角形.OA=OH，H（0，-6）学习必备欢迎下载直线EA的解析式为：y=-x-6；解：在线段OA上任取一点N，易知使OM+NM的值最小的是点O到点N关于直线AF对称点N之间线段的长.当点N运动时，ON最短为点O到直线AE的距离，即点O到直线AE的垂线段的长.OAE=30，OA=6，所以OM+NM的值为3.3.（
13、1）A（3，0）B（0，3）C（0，3）2分y=-x-33分（2）画图4分答：BE+CF=EF5分易证BEAAFC分BEAF，EAFC，BECFAFEAEF7分（3）对，OM38分过Q点作QHy轴于，则QCHPBO分QHPOOB=CHQHMPOM1分HMOMOM=BC-(OB+CM)=BC-(CH+CM)=BC-OMOM12BC312分在MAO和BON中AMO=BNO4.解：等腰直角三角形1分a2-2ab+b2=0(a-b)2=0a=bAOB=90AOB为等腰直角三角形4分MOA+MAO=90,MOA+MOB=90MAO=MOBAMOQ，BNOQAMO=BNO=90MAO=MOBOA=OBMAONOBOM=BN,AM=ON,OM=BNMN=ON-OM=AM-BN=58分PO=PD且POPD在DEP和CBPDPE=CPB学习必备欢迎下载如图，延长DP到点C，使DP=PC,连结OP、OD、OC、BCDP=PCPE=PB在OAD和OBCDAO=CBOOADOBCDEPCBPCB=DE=DA,DEP=CBP=135DA=CBOA=OBOD=OC,AOD=COBDOC为等腰直角三角形PO=PD，且POPD.12分
八年级上学期期末复习专题《全等三角形及轴对称》
