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1、2014-2015年高三数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1已知全集，集合，则= 2复数，则复数 3若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标，则点P在直线上的概率为 4为了检测某自动包装流水线的生产情况，在流水线上随机抽取40件产品，分别称出它们的重量（单位:克）作为样本。下图是样本的频率分布直方图，根据图中各组的组中值估计产品的平均重量是 克.5已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则双曲线的离心率为 6已知直线与函数图象的两个相邻交点，线段的长度为，则的值为 7执行如图的流程图，若输出的，则输入的整数的最大值为 8
2、设为互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题： 若； 其中正确命题的序号为 9平行四边形中，已知，点分别满足，则 10如图，在中，已知，点分别是边上的点，且，则的最小值等于 11已知函数，且，则的取值范围是 12在平面直角坐标系中，已知直线和点，动点满足，且存在两点到直线的距离等于，则的取值范围是 13各项均为非负的任意等差数列满足，则的取值范围是 14已知点G是斜ABC的重心，且，则实数的值为 二、解答题：（本题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）在中，角所对的边分别为， ，且（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围1
3、6（本题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，G和H分别是CE和CF的中点.（1）求证：平面平面BDEF；（2）求证：平面BDGH/平面AEF；17（本小题满分15分）某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高，两底面是高为，面积为的等腰梯形，且。若储水窖顶盖每平方米的造价为元，侧面每平方米的造价为元，底部每平方米的造价为元。（1）试将储水窖的造价表示为的函数；（2）该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取）。18（本小题满分15分）设（），曲线在点处的切线方程为（）
4、。(1)求、的值；(2)设集合，集合，若，求实数的取值范围19（本小题满分16分）已知椭圆E：的右焦点到其右准线的距离为1，到右顶点的距离为，圆O：，P为圆O上任意一点（1）求，；（2）过点P作PH轴，垂足为H，线段PH与椭圆交点为M，求；（3）过点P作椭圆E的一条切线，直线是经过点P且与切线垂直的直线，试问：直线是否经过一定点？如果是，请求出此定点坐标；如果不是，请说明理由20（本小题满分16分）已知函数，数列数列满足：=1，（），（1）求证：； (2) 求；（3）在数列中是否存在不同的三项，使得此三项能成为某一三角形的三条边长？若能，请求出这三项；若不能请说明理由试题（附加题）（总分40分
5、，加试时间30分钟）B（矩阵与变换）（本题满分10分）1.已知矩阵有特征值及对应特征向量，且矩阵对应的变换将点变换成，求矩阵的另一个特征值。C（极坐标与参数方程）2.已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.点在直线上，点在曲线上，求的取值范围 3.（本题满分10分） 某班联欢晚会玩投球游戏,规则如下:每人最多可连续投只球,累积有三次投中即可获奖；否则不获奖.同时要求在以下两种情况下中止投球：已获奖；累积3次没有投中目标.已知某同学每次投中目标的概率是常数,且投完3次就中止投掷的概率为，设游戏结束时，该同学投出的球数为
6、.（1）求的值；（2）求的分布列和数学期望.4.（本题满分10分）从这个数中取，个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为（1）当时，写出所有可能的递增等差数列及的值；（2）求证：高三数学参考答案一、填空题123450752637158910【解析】设，则因为，所以，从而，当且仅当时等号成立，所以。11【解析1】当时，则，此时无解；当时，则，即，解得，故。【解析2】由题意可知，函数为奇函数，且在上单调递增，从而由得，解得。12。【解析】设点，则，即，要在圆上存在两点到直线的距离等于1，则需圆心到直线的距离，即，解得或。13【解析1】由题意得，令，则且，从而点在如图所示的四分之一个圆
7、上，故当直线过点时，当直线与四分之一个圆相切于点时，从而。【解析2】令，则因为，所以，故。解析3：由于已知条件及所求结论是对称的，所以根据对称性原理，当时，当或时，故所求的结果为。14【解析1】以AB的中点为原点，AB所在直线为轴建立直角坐标系，转化为直线斜率【解析2】解化边：等价于，再以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，并设， 可得：，所以；【解析3】特殊化，设。二、解答题15【解析】（1）由得，即，故，所以，由，7分（2）由（1）得，即，又为锐角三角形，故从而由，所以，故，所以 由，所以，所以，即14分16【解析】（1）证明：因为四边形是正方形，所以. 又因为平面平面，平面平面，且平面
8、，所以平面. 4分又平面，所以平面平面BDEF6分（2）证明：在中，因为分别是的中点， 所以，8分又因为平面，平面，所以平面. 10分 设，连接，在中，因为，所以，又因为平面，平面，所以平面. 12分又因为，平面， 所以平面平面. 14分17【解析】（1）过作，垂足为，则，令，从而，故，解得，4分所以7分（2）因为，所以10分令，则，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增。所以当时，。答：当时，等价最低，最低造价为51840元。15分18【解析】(1)，由题设，又切点为在切线上，。4分 (2) ，即，设，即，6分若，在上为增函数，这与题设矛盾；9分若方程的判别式，当，即时，.在上单调递
9、减， ，即不等式成立，12分当时，方程，设两根为， ， ，当,单调递增，与题设矛盾，综上所述，15分19【解析】（1）解得：，。3分（2）设，则，得=，=8分（3）方法1：当且时，设切线：，代入椭圆方程，整理得，由得，即：，又，故有，所以，12分当时，直线：，得过定点；当时，直线：，得过定点当时，直线为轴，经过定点或当时，直线为或，经过定点或综上所述，直线经过定点或16分方法2：假设直线经过定点D，由对称性知，点D在轴上，同方法1，当当且时，直线：，令得，=，得，即直线经过定点或当或时，同方法120【解析】（1）证明：，3分（2），由（1）知，设，数列是等比数列，公比为2，首项，数列是等比数列
10、，公比为4，首项，又，=8分（3）设，假设在数列中存在三项（，），使得此三项能成为某一三角形的三条边长，数列是递增数列，要使能成为某一三角形的三条边长，需且只需，依题意，且 由于所以恒成立，所以在数列中不存在不同的三项，使得此三项能成为某一三角形的三条边长16分高三数学加试参考答案21A命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力解：连接OD，则ODDC，在RtOED中，OBOD，所以ODE30，（5分）在RtODC中，DCO30，由DC2得ODDCtan30，所以BC（10分） B命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力【解析】设，则，故又
11、矩阵对应的变换将点变换成，故联立以上两方程组，解得：，故.6分再由得，或，矩阵的另一个特征值是。10分C命题立意：本题主要考查极坐标方程，考查运算求解能力【解析】直线的普通方程为：；2分曲线的直角坐标方程为 ，4分曲线是圆心为，半径为的圆，圆心到直线的距离是6分所以的取值范围是. 10分D命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力证明：因为a1，a2，a3均为正数，且，所以，（8分） 当且仅当时等号成立， 所以.（10分）22.【解析】（1）依题意，解得：或（舍去），所以；4分（2）的所有可能值为，。10分23.【解析】（1）符合要求的递增等差数列为：1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；1，3，5，2，4，6，共6个所以 4分（2）设等差数列首项为，公差为，记的整数部分是，则，即的可能取值为，对于给定的，当分别取时，可得递增等差数列个所以当取时，得符合要求的等差数列的个数设，又，且，所以，当时，恒成立；所以10分
扬州市中学2015届高三数学二模试卷
