Malthus和Logistic模型及其医学应用

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1、Malthus和Logistic模型及其医学应用【摘要】 Malthus模型和Logistic模型是种群生态学的核心理论之一，它们在医学中的应用涉及传染病模型、肿瘤生长、肿瘤治疗等。介绍了Malthus模型和Logistic模型在医学中的主要应用。 【关键词】 Malthus模型 Logistic模型 医 肿瘤Abstract In this paper, Malthus model and Logistic model is among key theories of population ecology. Extensive research has been conducted on m

2、odels, many applied to the field of the increase of cancer, epidemics, etc. Key words malthus model; Logistic model; medical; cancer1 Malthus 模型1.1 Malthus 模型 Malthus模型14是由英国统计学家马尔萨斯（T R Malthus）于1798年提出的人口模型： dN(t)dt=rN(t), N(t=t0)=N0 （1）式中r 代表出生率，假设为常数，N(t) 为t 时刻的人口数量。方程（1）的解为： N(t)=N0er(t-t0)（2）模

3、型（2）表示人口增长将按指数规律增长，称为Malthus人口指数增长模型，简称Malthus模型。实践证明当人口数量不太大时，Malthus模型能够很好的说明人口总数的增长情况。1.2 流行病与传染病的Malthus 模型 Malthus模型在流行病与传染病预防方面具有一定的参考。设某地区的人口数为n ，初始时刻t=t0 共有i0 个人得了某种传染疾病，t时刻已感染（infective）的病人数为i(t) 。假定每一感染者在单位时间内将疾病传播给k 个人，并且该疾病既不会导致死亡也不会康复，则有与（1）式相同的模型1，其解仍为（2）式。式中r 在医学上被称为该疾病在该地区的传染强度，假设为常数

4、。一般地，传染病流传初期，该疾病既不会导致死亡也不会康复，用Malthus模型来描述在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，它将越来越偏离实际情况。1.3 肿瘤生长的Malthus模型 假设某肿瘤t 时刻的体积为V(t) ，初始时刻t0 的体积为V0 ，单位时间内肿瘤的增长率为r （r常数），并且肿瘤的增长率（体积变化率）与当时的体积成正比，则有如下方程2： dV(t)dt=rV(t), V(t=t0)=V0 （3）方程（3）的解为V(t)=V0er(t-t0) ，即肿瘤的增长也符合Malthus模型。在临床应用方面，肿瘤体积增大一倍所需要的时间t（倍增时间）是刻划肿瘤生长的一个重要参数，

5、不难得到： t=ln 2/r(4) 由于肿瘤的增长率r 往往不容易得到，而利用现代影像技术比较容易测出肿瘤的直径D ，所以临床上是将肿瘤近似地看成一个球体，利用体积公式V=43R3= 6=D3，可得 D=D0er(t-t0)3 D=D0eln2tgT3=D0(eln2)T3t=D02T3t=D02k3 （5） 其中T=t-t0=kt，k 为倍增次数。取对数 k=3lg(DD0)/ lg2 （6） 转化为体积可得 k=lg (VV0） / lg2 （7） 当V=2V0 时，DD0=2131.26 。 一个癌细胞的直径约为10m ，重约0.001g 。假设肿瘤按Malthus模型指数增长，恶性肿瘤

6、由初始的一个癌细胞到临床上可以检测出的直径1cm 肿块时，直径增大了1000倍，需要的倍增次数约为30。从直径约为10m 、重约0.001g 增大到直径1cm 的肿块，其重约为1g 。而从直径1cm 到致人死亡的1kg 重的癌症肿块，体积增大1000倍，需要的倍增次数约为10。这说明，癌症在发现前的平均增长期约为发现后的平均存活期的3倍。故及早发现及及早治疗在癌症治疗中起着至关重要的作用。 Skiper等人用老鼠做试验，研究了放射性治疗杀灭白血病细胞的规律，发现按照Malthus 模型指数增长的肿瘤经化疗后也按Malthus 模型指数规律消退，即V(t0+t)=V(t0)e-t ，其中 t为放

7、疗时间，>0 与放疗剂量有关，t0 为开始放疗时刻。由此他们提出了临床上一直使用的对数杀灭概念。设放疗的杀灭率为F ，则 F=1-V(t0-t)V(t0)=1-e-t（8） 若杀灭率为0.9，则残存率为0.1，医学上称为一个对数杀灭；若杀灭率为0.99，则残存率为0.01，医学上称为两个对数杀灭；若残存率为10-k ，则医学上称为k 个对数杀灭等等。1.4 药物在体内分布的Malthus 模型 在快速静脉注射时，设药物的总量为N0 ，药物在瞬间被注入体内，机体的体积设为V ，t时刻体内药物总量为N(t) 。假设机体内的药物分布是均匀的，药物的分解与排泄与当时体内的药物成正比（比例系数为r

8、, r>0 ），对于机体来说，只有药物的输出而没有输入，于是可得与（1）式相同的模型，其解仍为（2）式。即在快速静脉注射方式下药物在体内的分布为负增长率的Malthus模型2。通常药物在体内的浓度C(t)=N(t)/V=e-nN0/ V 被称为是血浆药物浓度，简称血药浓度。医学上将血药浓度减少到一半所需要的时间t1/2 称为药物的半衰期，与（4）式类似地有t1/2=ln2/k 。2 Logistic生长模型 在Malthus 模型（2）中，模型的增长是以er 为公比，按几何级数无限增长。这与实际是不符合的。因为流行病与传染病的Malthus模型、肿瘤生长的Malthus模型等不可能无限制

9、地增长。因此，应该对Malthus模型中关于增长率为常数这一假设进行修改。Logistic模型是由Verhulst于1838年提出的，也就是人们常称之为逻辑斯谛方程。2 经典的Logistic模型 通过分析不难发现，当人口稀少从而资源相对较为丰富，人口增长得较快。当人口数量发展到一定水平后，会产生许多新问题，如食物短缺、居住和交通拥挤等，此外，随着人口密度的增加，传染病会增多，死亡率会上升，所有这些都会导致人口增长率的减少，即诸多因素对人口的增长起着阻滞的作用，并随人口的增加，阻滞作用越来越大。在一定的环境内，对Malthus模型的基本假设进行修改，作以下的假设： 种群的个体不区分大小，分布是

10、均匀的，且系统是封闭的，即没有迁出和迁入发生； 环境内资源的供给始终保持一个常数，且对每一个个体的分配是均等的； 种群具有并保持稳定的年龄分布，种群每个个体具有相同的增长率； 自然环境提供给种群生存和繁殖的资源是有限的。 Verhulst假设人口的相对增长率为： 1/ NdN(t)/dt=r(1-N/K) （9）或 dN(t)/dt=rN(1-N/K)（10） 方程（9）或（10）称为Logistic方程13。其中常数r>0 称为内稟自然增长率（intrinsic rate of natural increase），它表示每个个体在没有受到抑制作用时的最大增长率，也就是该种群个体的平均出

11、生率与死亡率之差，反映了种群的内在特征。K>0 反映了环境资源的丰富程度，当N=K 时，种群不再增长。因此，K 表征了环境能容纳此种群个体的最大数量，称为环境的容纳量。 Logistic方程（9）可以作如下的解释：人口相对增长率应当是人口数量的函数r(N) ，随着人口数量的增加r(N) 将减少，则r(N) 应是减函数，最简单的减函数是线性函数，因此设 r(N)=r-sN （11） 当N=K 时人口不再增长，即r(K)=0 ，代入（11）式得s=r/K ，于是（11）式为： r(N)=r(1-N/K) （12） 方程（9）的另一种解释为：由于资源最多仅能维持 K个个体，故每个个体平均所需要

12、的资源为总资源的1/K 。在 tt时刻N(t) 个个体共消耗了总资源的N(t)/K ，此时剩余为1-N(t)/K 。因此，种群的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比。这种种群密度对种群规模增长的抑制作用，称为密度制约（density dependence）。当不考虑密度制约因素时，Logistic方程就变成了Malthus方程。 方程（10）的解释为：当人口数量较大时，种群间会发生生存竞争，并导致增长率降低。竞争的强弱既和当前的种群数N(t) 有关，又和环境还能供养多少种群K-N 有关，因而和两者的成积成正比。 对剩余资源1-N(t)/K 的分析： 如果种群数量N(t) 趋于0，那么（1-N

13、(t)/K ）项就接近于1，这表示几乎全部K 空间尚未被利用，种群接近于指数增长，或者说种群潜在的最大增长能充分实现。 如果种群数量N(t) 趋于K ，那么（1-N(t)/K ）项就接近于0，这表示几乎全部K 空间已被利用，种群潜在的最大增长不能实现。 当种群数量N(t) 由趋于0逐渐地增加到K ，（1-N(t)/K ）项则由1逐渐地下降到0，这表示种群增长的剩余空间逐渐变小，种群潜在的最大增长的可实现程度逐渐降低。 方程（10）是一个可分离变量的方程，容易求出它满足N(t0)=N0 的解析解为： N(t)=K1+(K/N-1)e-r(t-t0) （13）2.2 肿瘤生长的Logistic模型

14、 在肿瘤增长的过程中，由于营养供应有限，将会阻滞肿瘤细胞的增长速度，研究发现，对中晚期肿瘤增长的更好描述是使用Logistic模型2，假设V(t) 为t 时刻肿瘤的体积，则有: dV(t)/dt=rV(t)-V2(t)（14） 若设K=r/ ，则方程（14）变成与方程（10）的形式。2.3 传染病的SI模型 在传染病的Malthus模型中，假设条件修改为： 疾病在传播期内总人数不变，无死亡和迁移，人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective），t 时刻两类人群的所占的比例分别为S(t) 和N(t) ； 每个病人每天有效接触的平均人数为 ，称为日接触率。 则模型修改为

15、dN(t)/dt=N(t)S(t) ，将N(t)+S(t)=K 代入即得到传染病的SI模型1： dN(t)/dt=N(K-N),N(0)=N0 （15）2.4 Logistic模型的稳定性 设模型为: dN(t)/dt=NF(N)（16） 定理4 如果函数F(N) 满足下列条件，则模型（16）是全局稳定的： 有一个正的平衡点N*>0 ，即有N*0 ，F(N*)=0 ； 对于00； 对于N>N* ，有F(N*)>0 。 对于Logistic模型dN(t)/dt=rN(1-N/K) ，由定理可知，它是全局稳定的。即当种群的数量在受到干扰后，经过一定的时间TR ，种群数量还将恢复到平衡位置。一般来说，干扰的大小会影响TR 的数值大小，这个时间TR 称为特征返回时间，May等人研究得到 TR1/r 。【参考文献】 1 姜启源.谢金星等.数学模型.第3版.北京：高等教育出版社,2003，915；135200.2 杨启帆.数学建模.北京：高等教育出版社,2005，5090.3 余爱华.Logistic模型的研究.南京,南京林业大学硕士研究生学位论文,2003.4 陈兰荪.数学生态模型与研究方法.北京：科学出版社，1998，150.