数学的美与理

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1、论文关键词：对称简单严谨奇异 论文摘要：数学美是大脑思考所产生的思想结构上的精神美，数学美是一种理性的美、抽象的美，没有一定数学素养的人，不可能感悟数学美，更难以发现数学美。 如果说自然美和艺术美是由视觉、听觉等感官所接受的美感。数学美则是大脑思考所产生的思想结构上的精神美。数学美是一种理性的美、抽象的美。没有一定数学素养的人，不可能感悟数学美，更难以发现数学美。 首先，数学语言具有准确的科学性，具有一般语言文学与艺术所具有的美的特点。 有人认为，“美不是作为科学的数学的特点，因为数学的主要功能并不是给人们提供美的鉴赏品。”应该说，不只是真正有目的的提供美的鉴赏品才具有审美价值和“美”的特点。

2、例如，大自然提供了许多美的景色，它们具有极高的审美价值，足以使人流连忘返，它们也各具“美”的特点。但自然景色并不完全是大自然给人们提供的美的鉴赏品，它并非具有此项“功能”。实际上，审美过程是一个主客体统一的过程，似乎数学是否“美”既要看数学本身，又要看“鉴赏者”的意识。 其次，许多学者、数学家对数学美从不同的侧面作了生动的阐述： 古代的哲学家、数学家普洛克斯说：“哪里有数，哪里就有美”。古希腊伟大的哲学家亚里士多德说：“虽然数学没有明显的提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学研究的原则”。对于图形的比例，达芬奇认为：“美感完全建立在各部分之间

3、神圣的比例关系上”。英国著名哲学家、数理逻辑学家罗素则把数学的美，形容为一种“冷而严肃的美”。他说：“数学如果正确的对待它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不但是投合我们天性的微弱方面，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严肃的只有伟大的艺术能显示的那种完美的境地。” 美国数学家、现代应用数学的开拓者，R柯朗则说过：“数学作为人类思想的表达，反映了积极的愿望、沉思的推理、以及对于美的完善的向往”。 从这些数学家的观点看，把数学的“美”的特点作为数学的特点之一还是有道理的。但是数学的美具有什么特点，美籍华裔学者王浩指出，数

4、学的特有“幽美性(drybeauty)”,即是数学美的特点。其意义是：数学从表面上看来是枯燥乏味的，然而却具有一种隐蔽的、深邃的美，一种理性的美。 由上述看法可以说：数学美是数学科学的本质力量的感性与理性的显现，是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现。是一种真实的美，是反映客观世界并能动的改造客观世界的科学美。 数学美的主要表现形式有：对称、和谐；简单、形象、明快；严谨、统一；奇异、突变。 1、对称、和谐 大家都知道，具有对称性的东西，给人以圆满的匀称美感和精神享受。形体的对称性，在自然界处处可见，人体本身就是左右对称的，形体的对称美，容易被人发现，古希腊的学者认为球是最完美的形体，正

5、出于对对称美的欣赏。其实，解析几何中方程=asin3，=asin2所表示的对称曲线，何尝不美。人们给它们冠以三叶玫瑰线和四叶玫瑰线的美名。 =asin3=asin2 因此，对称和谐是数学美的基本内容。 2、简单、形象、明快 数学语言是最简单的文字，它可以使复杂、冗长的定义、定理变得简单、明了。 简单明快的表述一个问题，不仅可以培养思维的灵活性、创造性，使学生不纠缠于事物的表面现象，能有意识的从本质上和整体上看问题，注意事物之间的联系和矛盾，克服和减少思维的片面性和绝对化3、系统、严谨、统一 严谨、统一是数学美的重要特征。数学将许多不同对象或统一对象的不同组成部分之间所存在的共同规律在严谨的前提

6、下统一起来。 4、奇异、突变 奇异美是与统一美结合起来的新层次的更高的统一。奇异、突变是有“出乎意料”“令人震惊”的数学美。这在中学解题中经常碰到。例如： （1）在等差数列an中，已知a6+a9+a12+a15=30，求S20。 探索思路：由求和公式想到，求S20需要先求出首项a1与公差，已知式中的各项均可用a1与表示出来，但这得到的是关于a1，的一个二元一次方程，无法确定a1、，这似乎“山穷水复疑无路”了。这时突然注意到已知式中的下标：在前20项中，a6与a15，a9与a12不正是与首末两端等距离的两项吗？a6+a15a9+a1215，从而有S201015150，这又变成了“柳暗花明又一村”

7、了。这就是“出人意料”“令人震惊”的美，解这样的题无疑是一种极大的精神享受。 下： 数。这里，用反证法去证，无疑是奇异的美。 （3）已知A（-7，0），B（7，0），C（2，-12）三点，如果一个双曲线以为一个焦点，并且双曲线的两支分别过A、B两点，求这双曲线的另一个焦点的轨迹。 探索思路：这个题如果用求轨迹的一般方式去作将是很难做出来的，但若根据题中的条件，设另一个焦点为F（x，y）。由双曲线定义，有：|AC|-|AF|=-（|BC|-|BF|），即：|BF|+|AF|=28。 是由条件出乎意料得出的结果，是一种奇异的美。 对于数学，不能要求它能象音乐和美术那样使人灵感焕发，一见钟情，因为连

8、最直观的欧氏几何对于一些人已经是一道不易跨越的高栏，而愈来愈加抽象的现代数学，无论用什么比喻，都不能把某些艰涩难懂的数学概念带入一般人的经验范围。但是，随着数学知识的丰富，数学素养的提高，生活经验的积累，一定会有愈来愈多的人感受到数学美。转贴于 中国论文下载中心 一、培养学生对数学的美感，是学生学好数学的原动力 (一)审美教育有助于激发学生的学习兴趣 审美教育是激发学生的学习兴趣、调动学习积极性的最好方法。我国教育家蔡元培先生曾指出：“无不于智育作用中，含有美育之元素，一经教师之提醒，则学者自感有无穷之兴趣。”科学史也表明，人的美感可以转化为激励人们前进的动力。如果教师在教学中能充分地展示数学

9、美、挖掘数学美，并运用数学美的诱发力引起学生浓厚的学习兴趣、强烈的求知欲望，使抽象、高深的数学知识得以形象化、趣味化，那么学生就会从心理上愿意接近它、接受它，直到最终热爱它。 (二)审美教育有助于数学知识的传授 美育有助于知识的传授，美育和智育是相互促进的。教学过程中审美活动的直接效应是引发学生的审美情感，使学生得以在一种积极的情绪体验的氛围中进行，呈现出生机和活力。另外，审美教育活动不仅能够为学生接受知识、探索真理创造良好的心理条件，而且有助于学生有效地获取真知、发展理性，良好的美感成为他们开启数学知识宝库之门的钥匙。 二、培养学生对数学的美感，是学生形成数学研究和数学创造的前提 (一)数学

10、美可以激发人们数学研究的意识 美的事物能唤起人们的愉悦，反过来，又能激发人们去研究、去发现。数学的发明和创造，除了反映客观世界的数量关系和空间形式，还来源于对美的追求。衡量一个理论是否成功，不仅有实践标准、逻辑标准，还有美的标准。当一种理论尚未达到美的境界时，就必须继续改进发展，“按照美的规律来制造”。数学美感是数学家探索未知数学规律的主要心理因素，也是他们进行科学发现的智慧源泉。据说，古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，他很小的时候就跟随丢番图学习数学。有一天他向老师请教一个问题：有四个数，把其中每3个相加，其和分别为22、24、27、20，求这四个数。丢番图提出了一个巧妙的解法：设

11、四个数之和为x，那么四个数就分别为x-22，x-24，x-27和x-20，于是有方程x=(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-20)。解之得x=31。从而得到四个数分别为9、7、4、11。对老师这种体现对称美、简洁美的漂亮的解法，帕普斯非常佩服，从而坚定了毕生研究数学的意愿，后来成为一位著名的数学家。 (二)数学美促进数学的发现 在小学数学教学中，实施美育是促进学生形成数学发现、培养创造性思维能力的重要途径。数学研究和发现虽然与一个人的数学学科知识、数学经验有关，但对美的追求更是一个重要的动机。能感受数学中的和谐、统一、对称、奇异美是数学发现的前提。例如，在低年级应用题教学中，训练学

12、生给应用题补充条件和问题，对于一道缺少条件或问题的应用题，学生会想出各式各样的填法，并且非常贴切、适当，这正说明学生在对美的追求中，发展了自己的思维能力。一题多解和一题多变的变式训练，也是培养创造美感、发展学生能力的好方式。学生在美的熏陶下会不断去追求解法的优化、结论的美化，从而发展了自己的创造能力。 能感受数学中的和谐、统一、对称、奇异美是数学发现的前提。我们看下面的例子： 问题的解决，从审美开始，过程中展现了简洁性、协调性和整体性的高度统一。乘法定义被创造性地运用，使得计算变得如此简单而漂亮。计算成为一种智力游戏，深深地吸引学生，极大地提高了学生的兴趣。 又比如，当我们在讲授约分时，不仅强

13、调约分的意义，还能从数学美的角度让学生认识约分、理解约分。意识到一个式子的化简、求值，都是从复杂走向简单的过程，都是对美的追求的过程。这样的观点对学生理解数学、学好数学是很有价值的。 通过对数学审美，使学生产生对数学学习的兴趣，有了对数学的兴趣，就会形成联想、猜想及想象，从而在类比中发现、在归纳中发现，最后形成数学学习成果。 三、数学美育是提高教师素质的途径 (一)数学美育有利于提高教师的美学修养 按照审美教育与学科融合的原则，要将数学教学按照美的规律进行教学，达到美育与数学教学相互促进的良好效果，作为教师必须先提高自身的美学修养。教师要对学生进行审美教育，首先自己必须明确什么是美，美的标准是

14、什么，科学的审美依据的原则有哪些。 另外，数学教师本身就应该是美的示范，从你站在讲台上的那一刻起，就应该成为一道亮丽的风景，就要在学生的心中唤起一种审美愉悦，最终影响学生的思想感情。如果教师的仪表整洁、大方、笑容可掬、举止潇洒大方、口齿伶俐、板书美观科学，加之恰到好处的多媒体辅助教学，就能引起学生的美感。教师自身树立了科学的审美观，并应用于审美教育教学实践，才能正确地引导学生去感受美、创造美。 (二)数学美育有利于丰富教师的本体性知识 数学教师丰富的知识和出众的才能是引导学生认识、发现、欣赏和创造美的有力保证。数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学

15、的方法及思维看，有简约之美、类比之美、化归之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。学生在数学学习过程中，首先接触到的是数学概念、公式、定理、运算法则等，它们虽然蕴含着美的因素，这些美的因素是通过数学语言来体现的，通过心灵来感受的，具有一定的间接性、模糊性。因此，并不是所有的学生都能感受到数学美的存在。这就需要教师在教学中有意识地引导学生去发现美、鉴赏美。一方面要引导学生欣赏数学形式的外在美，另一方面又要指导学生揭示数学对象间的深刻的内涵美，使学生产生愉悦、兴奋、惊喜等强烈的感受，感受数学美、体验数学美、创造数学美。 教师要做好这一工作，必须具有丰富的专业知识，需

16、要教师在备课时去努力发掘，才能在教材中发现数学美。例如，圆形等对称图形的优美结构；无论三角形的大小、形状如何，内角和都是180度等数量关系的有趣、奇异和统一；三角形、长方形、平行四边形与梯形面积公式的和谐；教材中的命题、结论、运算法则的完备性和普适性以及问题解决方法的奇异性等。 我们要使学生在数学学习中，感受到数学不是冰冷的符号、枯燥的数字，而是一个有着各种新颖独特的美点缀成的五彩缤纷的万花筒。充满了对称美、动态美、简洁美、优雅美，让学生感悟数学外在的美观及内在的美好，体验到数学方法的美妙，产生激情，获得审美情趣，进一步去追求数学的完美。 (三)有利于提高教师的课堂教学艺术 在数学教学中实施美

17、育，要寓教于乐，让学生在愉快的气氛中进行学习，促使数学教学与审美教育有机结合，需要教师具备较强的教学艺术，要求教师用生动的语言、形象的讲解、巧妙的启发、优美的板书、美好的教学情境的创设等。只有在美的教学情境中，学生的识记能力、思维能力、审美能力才能得到提高，情感得到陶冶。 四、关于数学美育的实施 下面以圆周长的认识教学设计中的几个环节为例谈谈数学美育的具体实施。 1让学生感受数学的美观 首先用多媒体让学生欣赏各种圆形构成的美丽的图形。例如冉冉升起的太阳、国徽、奥运会会徽等由圆形构成的图形。感受圆形是平面图形中最美丽的图形，感受对称图形的美观等，激起了学生的学习兴趣。 2让学生体验数学的美好 提

18、出周长的概念后，由圆形联想到熟悉的正方形，将两者进行类比，提出大胆猜想： 类比猜想让学生进行数学实验，用圆的直径来量一量圆的周长，发现圆的周长总是直径的3倍多一点。总结归纳并告诉学生：数学家们很早很早以前就已经证明了这个倍数是一个固定不变的常数，用希腊字母表示。无论圆的大小如何，周长永远是直径的倍。给学生展示了数学的统一美，同时展示了类比、猜想、迁移等数学方法的美，让学生体会到了数学的美好。 3让学生发现数学的美妙 在公式的应用练习中，根据学生的情况安排一些有挑战性的题目，有利于学生发现数学的奇异美。如图：大圆的直径是3个小圆的直径之和，大圆的周长跟三个小圆的周长的和有什么关系?当学生发现它们是相等关系时，再由3个小圆推广到若干个圆。 4让学生自己去创造数学美 课后让学生自己动手，用圆形构造美丽的图形，设计美妙的问题，进一步引导学生创造数学美。 教师把数学教育与对学生的审美教育结合起来，在进行数学知识、数学思想方法教学的同时，引导学生从感知数学美、体验数学美到创造数学美，步步享受数学带来的美观、美好、美妙以及完美，使学生受到美的熏陶和感染，受到美的教育和激励，激发了学习兴趣，不仅知识得到了升华，同时情操得到了陶冶，真、善、美得到了统一，对学生的健康成长是非常有利的。